Giải bài tập toán 11 sgk đại số trang 17
Câu a: Ta có \(cosx \leq 1 \ \forall x.\) \(\Rightarrow 2\sqrt{cosx}+1\leq 2.\sqrt{1}+1=3\) ⇒ max y =3 khi cosx = 1 hay khi \(x = k \pi\) Câu b: Ta có \(sinx\geq -1 \ \ \forall x\Rightarrow 3-2sinx\leq 3+2.1=5\) Vậy max y = 5 khi sinx = -1 hay \(x=-\frac{\pi }{2}+k2 \pi.\) -- Mod Toán 11 HỌC247 Hãy xác định các giá trị của \(x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right]\) để hàm số \(y = tanx\) ;
Đáp án :
Bài 2 trang 17 sgk giải tích 11 Tìm tập xác định của các hàm số:
Giải: Câu a: Hàm số \(y=\frac{1+cosx}{sinx}\) xác định khi \(sinx\neq 0\Leftrightarrow x \neq k \pi,k\in \mathbb{Z}\) Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ k \pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\) Câu b: Hàm số \(y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\) xác định khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{1+cosx}{1-cosx}\geq 0\\ \\ 1-cosx\neq 0 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow 1-cosx> 0(do \ \ 1+cosx\geq 0)\) \(\Leftrightarrow cosx\neq 1 \Leftrightarrow x \neq k2 \pi,k\in \mathbb{Z}\) Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ k 2 \pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\) Câu c: Hàm số xác định khi \(cos\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )\neq 0\) xác định khi:\(x-\frac{\pi }{3}\neq \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\neq \frac{5\pi }{6}+k\pi (k\in Z)\) Vậy tập xác định của hàm số \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{5\pi }{6}+k \pi ,k\in Z \right \}\) Câu d: Hàm số xác định khi \(sin \left ( x+\frac{\pi }{6} \right )\neq 0\) xác định khi \(x+\frac{\pi }{6}\neq k\pi \Leftrightarrow x\neq -\frac{\pi }{6}+k\pi,k\in Z\) Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{\pi }{6}+k \pi ,k\in Z \right \}\) Bài 3 trang 17 sgk giải tích 11 Dựa vào đồ thị hàm số \(y = sinx\), hãy vẽ đồ thị của hàm số \(y = |sinx|\). Giải Ta có \(\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| = \left\{ \matrix{ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ge {\rm{0}} \hfill \cr {\rm{ - sinx}},{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \le 0 \hfill \cr} \right.\) Mà \(sinx < 0\) \(⇔ x ∈ (π + k2π , 2π + k2π), k ∈ Z\) nên lấy đối xứng qua trục \(Ox\) phần đồ thị của hàm số \(y = sinx\) trên các khoảng này còn giữ nguyên phần đồ thị hàm số \(y = sinx\) trên các đoạn còn lại ta được đồ thị của hàm số \(y = |sinx|\) Bài 4 trang 17 sgk giải tích 11 Chứng minh rằng \(sin2(x + kπ) = sin 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y = sin2x\). Đáp án : Do \(sin (t + k2π)\) = \(sint\), \(\forall k \in Z\) (tính tuần hoàn của hàm số f\((t) = sint)\), từ đó \(sin(2π + k2π) = sin2x \Rightarrow sin2(tx+ kπ) = sin2x\), \(∀k ∈ Z\). Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số \(y = sin2x\), chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài \(π\) (đoạn \(\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right]\) Chẳng hạn), rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài \(π\) . Với mỗi \(x_0 \in\) \(\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right]\) thì \(x = 2x_0\in [-π ; π]\), điểm \(M(x ; y = sinx)\) thuộc đoạn đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = sinx\), \((x ∈ [-π ; π])\) và điểm \(M’(x_0 ; y_0 = sin2x_0)\) thuộc đoạn đồ thị \((C’)\) của hàm số \(y = sin2x\), ( \(x ∈\) \(\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right]\)) (h.5). Chú ý rằng, \(x = 2x_0 \Rightarrow sinx = sin2x_0\) do đó hai điểm \(M’\) , \(M\) có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của \(M’\) bằng một nửa hoành độ của \(M\). Từ đó ta thấy có thể suy ra \((C’)\) từ \((C)\) bằng cách “co” \((C)\) dọc theo trục hoành như sau : - Với mỗi \(M(x ; y) ∈ (C)\) , gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống trục \(Oy\) và \(M’\) là trung điểm của đoạn \(HM\) thì \(M’\) \(\left( {{x \over 2};y} \right)\) \(∈ (C’)\) (khi \(M\) vạch trên \((C)\) thì \(M’\) vạch trên \((C’))\). Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của \((C’)\) (các điểm \(M’\) ứng với các điểm \(M\) của \((C)\) với hoành độ \(\in \left\{ {0;\,\, \pm {\pi \over 6};\,\, \pm {\pi \over 4};\,\, \pm {\pi \over 3};\,\, \pm {\pi \over 2}} \right\}\) ). |