Cho hàm số yfx có đạo hàm 2 fxxxx 1 2 với mọi x giá trị nhỏ nhất của hàm số yfx trên đoạn 1 2 là

//toanmath.com/ TÍCH PHÂN CỦA HÀM ẨN BÀI TẬP DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \1  thỏa mãn [ ] 1 1 fx x ′ = − , [ ] 0 2017 f = , [ ] 2 2018 f = . Tính [ ] [ ] 31 Sf f = −− . A. 1 S = . B. ln 2 S = . C. ln 4035 S = . D. 4 S = . Câu 2: Cho hàm số [ ] f x xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn [ ] 2 21 fx x ′ = − và [ ] 01 f = . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] 13 ff −+ bằng A. 4 ln15 + . B. 3 ln15 + . C. 2 ln15 + . D. ln15. Câu 3: Cho hàm số [] fx xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn 2 [] 21 fx x ′ = − , [0] 1 f = và [1] 2 f = . Giá trị của biểu thức [ 1] [3] ff −+ bằng A. 4 ln 5 + . B. 2 ln15 + . C. 3 ln15 + . D. ln15. Câu 4: Cho hàm số [ ] f x xác định trên  thỏa mãn [ ] 2 1 fx x ′ = + và [ ] 15 f = . Phương trình [ ] 5 f x = có hai nghiệm 1 x , 2 x . Tính tổng 21 2 2 log log Sx x = + . A. 1 S = . B. 2 S = . C. 0 S = . D. 4 S = . Câu 5: Cho hàm số [] fx xác định trên 1 \ 3     thỏa mãn [ ] [ ] 3 , 01 31 fx f x ′ = = − và 2 2 3 f  =   . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] 13 ff −+ bằng A. 3 5ln 2 + . B. 2 5ln 2 −+ . C. 4 5ln 2 + . D. 2 5ln 2 + . Câu 6: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \ 2;2 −  và thỏa mãn [ ] [ ] 2 4 ; 30 4 fx f x ′ = −= − ; [ ] 01 f = và [ ] 32 f = . Tính giá trị biểu thức [ ] [ ] [ ] 4 14 Pf f f = − + −+ . A. 3 3 ln 25 P = + . B. 3 ln 3 P = + . C. 5 2 ln 3 P = + . D. 5 2 ln 3 P = − . Câu 7: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \ 2;1 −  thỏa mãn [ ] 2 1 2 fx xx ′ = +− ; [ ] [ ] 3 30 f f −− = và [ ] 1 0 3 f = . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] [ ] 4 14 f f f − + −− bằng A. 11 ln 2 33 + . B. 1 ln80 + . C. 1 4 1 ln 2 ln 35 + + . D. 18 1 ln 35 + . Câu 8: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \ 1;1 −  và thỏa mãn [ ] 2 1 1 fx x ′ = − ; [ ] [ ] 3 30 ff −+ = và 11 2 22 ff    −+ =       . Tính giá trị của biểu thức [ ] [ ] 04 Pf f = + . A. 3 2 ln 5 P = + . B. 3 1 ln 5 P = + . C. 13 1 ln 25 P = + . D. 13 ln 25 P = . Câu 9: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \1 ±  thỏa mãn [ ] 2 1 1 fx x ′ = − . Biết [ ] [ ] 3 30 ff −+ = và 11 2 22 ff    −+ =       . Giá trị [ ] [ ] [ ] 20 4 Tf f f = −+ + bằng: //toanmath.com/ A. 15 2 ln 29 T = + . B. 1 9 1 ln 25 T = + . C. 1 9 3 ln 25 T = + . D. 1 9 ln 25 T = . Câu 10: Cho hàm số [ ] f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [ ] 0; +∞ thỏa mãn [ ] 1 2 15 f = và [ ] [ ] [ ] 2 24 0 fx x f x ′ ++ = . Tính [ ] [ ] [ ] 12 3 ff f + + . A. 7 15 . B. 11 15 . C. 11 30 . D. 7 30 . Câu 11: Cho hàm số [ ] f x xác định và liên tục trên  . Biết [ ] [ ] 6 . 12 13 f x f x x ′ = + và [ ] 02 f = . Khi đó phương trình [ ] 3 f x = có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Câu 12: Cho hàm số [ ] f x xác định trên  thỏa mãn [ ] ee 2 xx fx − ′ = +− , [ ] 05 f = và 1 ln 0 4 f  =   . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] ln16 ln 4 Sf f =−+ bằng A. 31 2 S = . B. 9 2 S = . C. 5 2 S = . D. [ ] [ ] 0. 2 1 f f = . Câu 13: Cho hàm số [ ] f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2 π    , thỏa mãn [ ] 03 f = và [ ] [ ] [ ] 2 . cos . 1 f x f x x f x ′ = + , 0; 2 x π  ∀∈   . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số [ ] f x trên đoạn ; 62 ππ    . A. 21 2 m = , 22 M = . B. 5 2 m = , 3 M = . C. 5 2 m = , 3 M = . D. 3 m = , 22 M = . Câu 14: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn [ ] 0 f x > , x ∀∈  . Biết [ ] 01 f = và [ ] [ ] ' 22 fx x f x = − . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] f x m = có hai nghiệm thực phân biệt. A. me > . B. 01 m . C. 1010 ab + = . D. 3029 ba −= . //toanmath.com/ Câu 17: Cho hàm số [ ] y f x = , 0 x ∀≥ , thỏa mãn [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 .2 0 0 0; 0 1 f x f x f x xf x ff  ′′ ′ − + =     ′ = =   . Tính [ ] 1 f . A. 2 3 . B. 3 2 . C. 6 7 . D. 7 6 . Câu 18: Giả sử hàm số [] fx liên tục, dương trên  ; thỏa mãn [ ] 01 f = và [ ] [ ] 2 1 fx x f x x ′ = + . Khi đó hiệu [ ] [ ] 22 2 1 Tf f = − thuộc khoảng A. [ ] 2;3 . B. [ ] 7;9 . C. [ ] 0;1 . D. [ ] 9;12 . Câu 19: Khi đó [ ] [ ] 1 4 2 00 tan dd cos f t t f x x t π = ∫∫ . Vậy [ ] 1 0 d6 f x x = ∫ .Cho hàm số [ ] y f x = đồng biến trên [ ] 0; +∞ ; [ ] y f x = liên tục, nhận giá trị dương trên [ ] 0; +∞ và thỏa mãn [ ] 2 3 3 f = và [ ] [ ] [ ] 2 ' 1. f x x f x = +     . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. [ ] 2 2613 8 2614 f− , [ ] 00 f = và thỏa [ ] [ ] 2 12 1 f x x x f x ′ += + . Tính [ ] 3 f . A. 0 . B. 3. C. 7 . D. 9. Câu 75: Cho hàm số [ ] 0 f x ≠ thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] [ ] 2 23 fx x f x ′ = + và [ ] 1 0 2 f = − . Biết rằng tổng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 3 ... 2017 2018 a ff f f f b + + ++ + = với [ ] * , ab ∈∈  và a b là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 a b . C. 1010 ab + = . D. 3029 ba −= . Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để [ ] 4 ax b F x x + = + [ ] 40 ab −≠ là nguyên hàm của hàm số [ ] f x và thỏa mãn: [ ] [ ] [ ] 2 21 f x F x f x ′ = −     . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. 1 a = , 4 b = . B. 1 a = , 1 b = − . C. 1 a = , { } \4 b ∈  . D. a ∈  , b ∈  . Câu 77: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên [ ] 1;2 thỏa mãn [ ] 14 f = và [ ] [ ] 32 23 f x xf x x x ′ = −− . Tính [ ] 2 f A. 5. B. 20 . C. 10. D. 15. Câu 78: Cho [ ] 2 cos x f x x = trên ; 22 ππ  −   và [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] xf x ′ thỏa mãn [ ] 00 F = . Biết ; 22 a ππ  ∈−   thỏa mãn tan 3 a = . Tính [ ] 2 10 3 Fa a a −+ . A. 1 ln10 2 − . B. 1 ln10 4 − . C. 1 ln10 2 . D. ln10. Câu 79: Cho hàm số [ ] y f x = xác định và liên tục trên  thỏa mãn đ ồng thời các điều kiện sau [ ] 0 f x > , x ∀∈  , [ ] [ ] 2 e. x fx f x ′ = − x ∀∈  và [ ] 1 0 2 f = . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ 0 ln 2 x = là A. 2 9 2ln 2 3 0 x y + − −=. B. 2 9 2ln 2 3 0 xy − − +=. C. 2 9 2ln 2 3 0 xy − + −=. D. 2 9 2ln 2 3 0 x y + + −=. Câu 80: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 , [ ] f x và [ ] fx ′ đều nhận giá trị dương trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn [ ] 02 f = , [ ] [ ] [ ] [ ] 11 2 00 . 1 d 2 . d f x f x x f x f x x   ′′ +=     ∫∫ . Tính [ ] 1 3 0 d f x x   ∫ . A. 15 4 . B. 15 2 . C. 17 2 . D. 19 2 . //toanmath.com/ Câu 81: Cho [] fx không âm thỏa mãn điều kiện 2 []. '[] 2 [] 1 fx f x x f x = + và [0] 0 f = . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số [] y fx = trên [ ] 1;3 là A. 22 B. 4 11 3 + C. 20 2 + D. 3 11 3 + Câu 82: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn [ ] 01 f = và [ ] [ ] [ ] 2 , x f x ef x x ′ = ∀∈  . Tính tích phân [ ] 1 0 f x dx ∫ bằng A. 2 e − . B. 1 e − . C. 2 2 e − . D. 2 1 e − . Câu 83: Cho hàm số [ ] y f x = xác định và liên tục trên { } \ 0  thỏa mãn [ ] [ ] [ ] [ ] 22 21 1 x f x x f x xf x ′ +− = − với { } \ 0 x ∀∈  và [ ] 12 f = − . Tính [ ] 2 1 f x dx ∫ . A. 1 ln 2 2 −− . B. 3 ln 2 2 −− . C. ln 2 1 2 −− . D. 3 ln 2 22 −− . Câu 84: Cho hàm số [ ] y f x = . Có đạo hàm liên tục trên . Biết [ ] 1e f = và [ ] [ ] [ ] 3 2 x f x xf x x ′ + = − , x ∀∈  . Tính [ ] 2 f . A. 2 4e 4e 4 −+ . B. 2 4e 2e 1 −+ . C. 3 2e 2e 2 −+ . D. 2 4e 4e 4 +− . Câu 85: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn [ ] 00 f = . Biết [ ] 1 2 0 9 d 2 f xx = ∫ và [ ] 1 0 3 cos d 24 x fx x ππ ′ = ∫ . Tích phân [ ] 1 0 d f x x ∫ bằng A. 1 π . B. 4 π . C. 6 π . D. 2 π . Câu 86: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên đoạn [ ] 0; 1 , thỏa mãn [ ] [ ] 11 00 d d1 f x x xf x x = = ∫∫ và [ ] 1 2 0 d4 f x x =   ∫ . Giá trị của tích phân [ ] 1 3 0 d f x x   ∫ bằng A. 1. B. 8 . C. 10. D. 80 . Câu 87: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn [ ] 0 f x > khi [ ] 1,2 x ∈ . Biết [ ] 2 1 ' 10 f x dx = ∫ và [ ] [ ] 2 1 ' ln 2 fx dx f x = ∫ . Tính [ ] 2 f . A. [ ] 2 10 f = − . B. [ ] 2 20 f = . C. [ ] 2 10 f = . D. [ ] 2 20 f = − . Câu 88: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ] 4;8 và [ ] 00 f ≠ với [ ] 4;8 x ∀∈ . Biết rằng [ ] [ ] 2 8 4 4 1 fx dx f x ′   =   ∫ và [ ] [ ] 11 4 ,8 42 ff = = . Tính [ ] 6 f . A. 5 8 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 3 . Câu 89: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn [ ] 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện [ ] 01 f ′ = − và [ ] [ ] 2 fx f x ′ ′′ =   . Đặt [ ] [ ] 10 Tf f = − , hãy chọn khẳng định đúng? A. 21 T − ≤ ∀∈   ′ = =   ′ ′′ + = ∀∈    . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. [ ] 1 ln 1 1 2 f < < . B. [ ] 1 0 ln 1 2 f < < . C. [ ] 3 ln 1 2 2 f < < . D. [ ] 3 1 ln 1 2 f < < . Câu 91: Cho , fg là hai hàm liên tục trên [ ] 1;3 thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 3 1 3 d 10 f x gx x +=   ∫ đồng thời [ ] [ ] 3 1 2 d6 f x gx x −=   ∫ . Tính [ ] [ ] 3 1 d f x gx x +   ∫ . A. 9. B. 6 . C. 7 . D. 8 . Câu 92: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên [ ] ; ab , nếu [ ] d 5 d a f x x = ∫ và [ ] d2 d b f x x = ∫ [với ad b , 0 x ∀> . [ ] y f x ⇒= đồng biến trên [ ] 0; +∞ . [ ] 0 f x ⇒ = có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng [ ] 0; +∞ [ ] 1 . Mặt khác ta có: [ ] 4 2 2 20 fx x x x ′ ≥+ − > , 0 x ∀> [ ] 22 4 2 11 2 21 d 2d 5 fx x x x x x  ′ ⇒ ≥ +− =   ∫∫ [ ] [ ] 21 21 5 ff ⇒ −≥ [ ] 17 2 5 f ⇒≥ . Kết hợp giả thiết ta có [ ] y f x = liên tục trên [ ] 1;2 và [ ] [ ] 2. 1 0 ff < [ ] 2 . Từ [ ] 1 và [ ] 2 suy ra phương trình [ ] 0 f x = có đúng 1 nghiệm trên khoảng [ ] 1;2 . Câu 100: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm [ ] fx ′ liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 1;1 fx ′ ∈− với [ ] 0;2 x ∀∈ . Biết [ ] [ ] 0 21 ff = = . Đặt [ ] 2 0 d I f x x = ∫ , phát biểu nào dưới đây đúng? A. [ ] ;0 I ∈ −∞ . B. [ ] 0;1 I ∈ . C. [ ] 1; I ∈ +∞ . D. [ ] 0;1 I ∈ . //toanmath.com/ Câu 101: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên [ ] 0; 1 thỏa mãn [ ] 1 0 d0 xf x x = ∫ và [ ] [0; 1] max 1. f x = Tích phân [ ] 1 0 ed x I f x x = ∫ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 5 ;. 4  −∞ −   B. 3 ; e 1 . 2   −     C. 53 ; . 4 2  −   D. [ ] e 1; . − +∞ Câu 102: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 01 f = và [ ] [ ] [ ] [ ] 11 2 00 1 3 d2 d 9 f x f x x f x f x x  ′′ +≤     ∫∫ . Tính tích phân [ ] 1 3 0 d f x x   ∫ : A. 3 2 . B. 5 4 . C. 5 6 . D. 7 6 . Câu 103: Cho hai hàm số [ ] f x và [ ] gx có đạo hàm trên đoạn [ ] 1;4 và thỏa mãn hệ thức [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 14 .; . fg g xx f x f x x g x +=    ′′ = −= −   . Tính [ ] [ ] 4 1 d I f x gx x = +   ∫ . A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . D. 4ln 2 . //toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \1  thỏa mãn [ ] 1 1 fx x ′ = − , [ ] 0 2017 f = , [ ] 2 2018 f = . Tính [ ] [ ] 31 Sf f = −− . A. 1 S = . B. ln 2 S = . C. ln 4035 S = . D. 4 S = . Hươngd dẫn giải Chọn A Cách 1: Ta có [ ] [ ] 1 d d ln 1 1 f x x x x C x = = −+ − ∫∫ . Theo giả thiết [ ] 0 2017 f = , [ ] 2 2018 f = nên [ ] [ ] [ ] [ ] ln 1 2017 khi 1 ln 1 2018 khi 1 f x x x f x x x  = −+ <   = −+ >   . Do đó [ ] [ ] 31 Sf f = −− ln 2 2018 ln 2 2017 1 = + −− = . Cách 2: Ta có: 00 0 1 11 33 3 2 22 1 [0] [ 1] '[ ] ln 1 | ln [1] 1 2 [3] [2] '[ ] ln 1 | ln 2 [2] 1 dx f f f x dx x x dx f f f x dx x x − −−  − −= = = − =  −    − = = = −=  −  ∫ ∫ ∫∫ Lấy [1]+[2], ta được [3] [2] [0] [ 1] 0 S 1 ff f f −+− −=⇒= . Câu 2: Cho hàm số [ ] f x xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn [ ] 2 21 fx x ′ = − và [ ] 01 f = . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] 13 ff −+ bằng A. 4 ln15 + . B. 3 ln15 + . C. 2 ln15 + . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] [ ] 1 2. 2 1 2 2 ln 2 1 21 21 dx f x f x dx dx x c x x − ′ = = = = −+ − − ∫ ∫ ∫ . [ ] 01 f = 1 c ⇔= [ ] ln 2 1 1 f x x ⇔ = −+ . [ ] [ ] 1 ln 3 1 3 ln 5 1 f f − = +    = +   [ ] [ ] 1 3 2 ln15 ff ⇔ −+ = + . Câu 3: Cho hàm số [] fx xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn 2 [] 21 fx x ′ = − , [0] 1 f = và [1] 2 f = . Giá trị của biểu thức [ 1] [3] ff −+ bằng A. 4 ln 5 + . B. 2 ln15 + . C. 3 ln15 + . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C Cách 1: • Trên khoảng 1 ; 2  +∞   : 1 2 [ ] ln[2 1] . 21 f x dx x C x = = −+ − ∫ Lại có 1 [1] 2 2. fC =⇒ = • Trên khoảng 1 ; 2  −∞   : 2 2 [ ] ln[1 2 ] . 21 f x dx x C x = = −+ − ∫ //toanmath.com/ Lại có 2 [0] 1 1. fC =⇒= Vậy 1 ln[2 1] 2 2 [] 1 ln[1 2 ] 1 2 x khi x fx x khi x  −+ >   =   −+ <   . Suy ra [ 1] [3] 3 ln15. ff −+ = + Cách 2: Ta có: 00 0 1 11 33 3 1 11 21 [0] [ 1] '[ ] ln 2 1 | ln [1] 21 3 2 [3] [1] '[ ] ln 2 1 | ln 5 [2] 21 dx f f f x dx x x dx f f f x dx x x − −−  − −= = = − =  −    − = = = − =  −  ∫ ∫ ∫∫ Lấy [2]-[1], ta được [3] [1] [0] [ 1] ln15 [ 1] [3] 3 ln15 f ff f f f − − + − = ⇒ −+ = + . Câu 4: Cho hàm số [ ] f x xác định trên  thỏa mãn [ ] 2 1 fx x ′ = + và [ ] 15 f = . Phương trình [ ] 5 f x = có hai nghiệm 1 x , 2 x . Tính tổng 21 2 2 log log Sx x = + . A. 1 S = . B. 2 S = . C. 0 S = . D. 4 S = . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: [ ] [ ] [ ] 2 d 2 1d f x f x x x x x x C ′ = = + = ++ ∫∫ . Mà [ ] [ ] 2 1 5 11 5 3 3 f C C f x x x = ⇔ ++ = ⇔ = ⇒ = + + . Xét phương trình: [ ] 22 1 5 3 5 2 0 2 x f x xx xx x =  = ⇔ ++ = ⇔ +− = ⇔  = −  . 21 2 2 2 2 log log log 1 log 2 1 Sx x = + = + −= . Câu 5: Cho hàm số [] fx xác định trên 1 \ 3     thỏa mãn [ ] [ ] 3 , 01 31 fx f x ′ = = − và 2 2 3 f  =   . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] 13 ff −+ bằng A. 3 5ln 2 + . B. 2 5ln 2 −+ . C. 4 5ln 2 + . D. 2 5ln 2 + . Hươngd dẫn giải Chọn A Cách 1: Từ [ ] [ ] 1 1 1 ln 3 1 khi x ; 3 33 dx= 31 31 1 ln 3 1 khi x ; 3 xC f x f x xx xC   − + ∈ −∞     ′ = ⇒=  −−    − + ∈ +∞      ∫ . Ta có: [ ] 11 22 01 01 1 2 02 2 2 3 f CC CC f =  += =   ⇒⇔    += = =      [ ] 1 ln 3 1 1 khi x ; 3 1 ln 3 1 2 khi x ; 3 x f x x   − + ∈ −∞     ⇒=     − + ∈ +∞       . Khi đó: [ ] [ ] 1 3 ln 4 1 ln8 2 3 ln 32 3 5ln 2 ff − + = ++ + = + = + . Cách 2: Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 1 1 1 1 33 3 3 2 2 3 3 22 33 31 0 1 dx dx ln 3 1 ln 1 31 4 23 3 dx dx ln 3 1 ln8 2 3 31 f f f x f x x x f f f x f x x x − − − −  ′ − − = = = = − =  −     ′ − = = = = −=  −    ∫ ∫ ∫∫ //toanmath.com/ Lấy [ ] [ ] 21 − , ta được: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 1 0 ln 32 1 3 3 5ln 2 3 ff f f f f  + −− − = ⇒ −+ = +   . Câu 6: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \ 2;2 −  và thỏa mãn [ ] [ ] 2 4 ; 30 4 fx f x ′ = −= − ; [ ] 01 f = và [ ] 32 f = . Tính giá trị biểu thức [ ] [ ] [ ] 4 14 Pf f f = − + −+ . A. 3 3 ln 25 P = + . B. 3 ln 3 P = + . C. 5 2 ln 3 P = + . D. 5 2 ln 3 P = − . Hươngd dẫn giải Chọn B Từ [ ] 2 4 4 fx x ′ = − [ ] 2 4 4 dx f x x ⇒= − ∫ [ ] [ ] 4 22 dx xx = −+ ∫ [ ] [ ] [ ] 1 2 3 2 ln ;2 2 2 ln 2;2 2 2 ln 2; 2 x C khi x x x C khi x x x C khi x x − + ∈ −∞ −  +   − = + ∈ −  +   − + ∈ +∞  +  Ta có [ ] [ ] [ ] 30 01 22 f f f −=   =   =  1 2 3 ln 5 0 01 1 ln 2 5 C C C   +=  ⇒+ =    + =  1 2 3 ln 5 1 2 ln 5 C C C = −   ⇔=   = +  [ ] f x ⇒ [ ] [ ] [ ] 2 ln -ln5 ;2 2 2 ln 1 2;2 2 2 ln 2 ln5 2; 2 x khi x x x khi x x x khi x x − ∈ −∞ −  +   − = + ∈−  +   − + + ∈ +∞  +  . Khi đó [ ] [ ] [ ] 4 14 Pf f f = − + −+ 1 ln 3 ln 5 ln 3 1 ln 2 ln 5 3 = −+++ ++ 3 ln 3 = + . Câu 7: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \ 2;1 −  thỏa mãn [ ] 2 1 2 fx xx ′ = +− ; [ ] [ ] 3 30 f f −− = và [ ] 1 0 3 f = . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] [ ] 4 14 f f f − + −− bằng A. 11 ln 2 33 + . B. 1 ln80 + . C. 1 4 1 ln 2 ln 35 + + . D. 18 1 ln 35 + . Hươngd dẫn giải Chọn A [ ] 2 1 2 fx xx ′ = +− [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 2 3 11 ln ; 2 32 d d 11 ln 2;1 2 1 23 2 11 ln 1; 32 x C khi x x xx x f x C khi x xx x x x x C khi x x − + ∈ −∞ −  +   − ⇒ = = = + ∈ −  +− − + +   − + ∈ +∞  +  ∫∫ Do đó [ ] [ ] 1 3 31 1 1 2 1 3 3 0 ln 4 ln ln10 3 35 3 f f C C CC −− = ⇒ + − − ⇒ = + . //toanmath.com/ Và [ ] 22 1 1 1 1 11 0 ln ln 2 3 3 2 3 33 f CC =⇒ +=⇒ =+ . [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 11 ln ; 2 32 1 1 11 ln ln 2 2;1 3 2 33 11 1 ln ln10 1; 32 3 x C khi x x x f x khi x x x C khi x x − + ∈ −∞ −  +   − ⇒ = + + ∈−  +   − + + ∈ +∞  +  . Khi đó: [ ] [ ] [ ] 11 1 5 1 11 1 1 1 11 4 1 4 ln ln 2 ln 2 ln ln10 ln 2 3 2 3 33 3 2 3 33 f f f C C       −+−− =+ +++− ++ =+             . Câu 8: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \ 1;1 −  và thỏa mãn [ ] 2 1 1 fx x ′ = − ; [ ] [ ] 3 30 ff −+ = và 11 2 22 ff    −+ =       . Tính giá trị của biểu thức [ ] [ ] 04 Pf f = + . A. 3 2 ln 5 P = + . B. 3 1 ln 5 P = + . C. 13 1 ln 25 P = + . D. 13 ln 25 P = . Hươngd dẫn giải Chọn C [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 22 2 11 ln ; 1 1; 2 1 1 d d 1 1 11 11 ln 1;1 2 1 x C khi x x xx fx x x xx x C khi x x − + ∈ −∞ − ∪ +∞  +  ′= ⇒ = =  − − −+ −  + ∈−  +  ∫ ∫ . Ta có [ ] [ ] 1 11 1 11 3 3 0 ln 2 ln 0 0 2 22 f f C C C −+ = ⇒ + + + = ⇒ = . Và 2 22 1 1 1 11 2 ln 3 ln 2 1 2 2 2 23 f f C CC    − + =⇒ + + + =⇒ =       . Suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 11 ln ; 1 1; 2 1 11 ln 1 1;1 2 1 x khi x x f x x khi x x − ∈ −∞ − ∪ +∞  +  =  −  + ∈ −  +  . Vậy [ ] [ ] 04 Pf f = + = 13 1 ln 25 + . Câu 9: Cho hàm số [ ] f x xác định trên { } \1 ±  thỏa mãn [ ] 2 1 1 fx x ′ = − . Biết [ ] [ ] 3 30 ff −+ = và 11 2 22 ff    −+ =       . Giá trị [ ] [ ] [ ] 20 4 Tf f f = −+ + bằng: A. 15 2 ln 29 T = + . B. 1 9 1 ln 25 T = + . C. 1 9 3 ln 25 T = + . D. 1 9 ln 25 T = . Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có [ ] 2 1 dd 1 fx x x x ′ = − ∫∫ 11 1 d 2 11 x x x  = −  − +  ∫ 11 ln 2 1 x C x − = + + . //toanmath.com/ Do đó [ ] 1 2 11 ln khi 1, 1 21 11 ln khi 1 1 21 x Cx x x Cx f x x x − + + − +−    =  , với mọi [ ] 0; x ∈ +∞ nên ta có [ ] [ ] 2 24 fx x fx ′ − =+ . Suy ra [ ] 2 1 4 x xC f x = ++ . Mặt khác [ ] 1 2 15 f = nên 3 C = hay [ ] 2 1 43 f x x x = ++ . Do đó [ ] [ ] [ ] 12 3 ff f + + 11 1 8 15 24 =++ 7 30 = . Câu 11: Cho hàm số [ ] f x xác định và liên tục trên  . Biết [ ] [ ] 6 . 12 13 f x f x x ′ = + và [ ] 02 f = . Khi đó phương trình [ ] 3 f x = có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Hươngd dẫn giải Chọn A Từ [ ] [ ] 6 . 12 13 f x f x x ′ = + [ ] [ ] [ ] 6 . 12 13 f x f x dx x dx ′ ⇒=+ ∫∫ [ ] [ ] 6 2 6 13 f x df x x x C ⇔ = ++ ∫ [ ] 7 2 6 13 7 f x x xC ⇔ = ++ [ ] 02 2 7 f C = → = . Suy ra: [ ] 72 42 91 2 f x x x = + + . Từ [ ] 3 f x = [ ] 7 2187 f x ⇔= 2 42 91 2 2187 xx ⇒ + += [ ] 2 42 91 2185 0 * xx ⇔ + − = . Phương trình [ ] * có 2 nghiệm trái dầu do 0 ac < . Câu 12: Cho hàm số [ ] f x xác định trên  thỏa mãn [ ] ee 2 xx fx − ′ = +− , [ ] 05 f = và 1 ln 0 4 f  =   . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] ln16 ln 4 Sf f =−+ bằng A. 31 2 S = . B. 9 2 S = . C. 5 2 S = . D. [ ] [ ] 0. 2 1 f f = . Hươngd dẫn giải Chọn C //toanmath.com/ Ta có [ ] ee 2 xx fx − ′ = +− e 1 e x x − = 22 22 e e khi 0 e e khi 0 xx xx x x − −  −≥  =   −<  . Do đó [ ] 22 1 22 2 2e 2e khi 0 2e 2e khi 0 xx xx Cx f x Cx − −  ++ ≥  =   − − + <  . Theo đề bài ta có [ ] 05 f = nên 00 1 2e 2e 5 C + += 1 1 C ⇔ = . [ ] ln 4 ln 4 22 ln 4 2e 2e 1 f − ⇒ = ++ 6 = Tương tự 1 ln 0 4 f  =   nên 1 1 ln ln 4 4 2 2 2 2e 2e 0 C             − − − += 2 5 C ⇔= . [ ] [ ] [ ] ln16 ln16 22 ln16 2e 2e 5 f −− − ⇒− = − − + 7 2 = − . Vậy [ ] [ ] 5 ln16 ln 4 2 Sf f =−+ =. Câu 13: Cho hàm số [ ] f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2 π    , thỏa mãn [ ] 03 f = và [ ] [ ] [ ] 2 . cos . 1 f x f x x f x ′ = + , 0; 2 x π  ∀∈   . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số [ ] f x trên đoạn ; 62 ππ    . A. 21 2 m = , 22 M = . B. 5 2 m = , 3 M = . C. 5 2 m = , 3 M = . D. 3 m = , 22 M = . Hươngd dẫn giải Chọn A Từ giả thiết [ ] [ ] [ ] 2 . cos . 1 f x f x x f x ′ = + [ ] [ ] [ ] 2 . d sin 1 f x f x x xC fx ′ ⇒=+ + ∫ Đặt [ ] [ ] 2 22 11 t fx t fx = + ⇒ =+ [ ] [ ] dd tt f x f x x ′ ⇒= . Thay vào ta được d sin sin t xC t xC = + ⇒= + ∫ [ ] 2 1 sin f x xC ⇒+ = + . Do [ ] 03 f = 2 C ⇒= . Vậy [ ] [ ] 2 2 2 1 sin 2 sin 4sin 3 fx x fx x x + = +⇒ = + + [ ] 2 sin 4sin 3 f x x x ⇒= + + , vì hàm số [ ] f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2 π    . Ta có 1 sin 1 6 22 xx ππ ≤≤ ⇒ ≤ ≤ , xét hàm số [ ] 2 4 3 gt t t = ++ có hoành độ đỉnh 2 t = − loại. Suy ra [ ] [ ] 1 ;1 2 18 max g t g    = = , [ ] 1 ;1 2 1 21 min 24 gt g        = =   . [ ] [ ] [ ] 2 . cos 1 ′ ⇒ = + f x f x x fx //toanmath.com/ Suy ra [ ] ; 62 22 2 max f x f ππ π        = =   , [ ] ; 62 21 min 6 2 f x g ππ π        = =   . Câu 14: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn [ ] 0 f x > , x ∀∈  . Biết [ ] 01 f = và [ ] [ ] ' 22 fx x f x = − . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] f x m = có hai nghiệm thực phân biệt. A. me > . B. 01 m . C. 1010 ab + = . D. 3029 ba −= . Hươngd dẫn giải Chọn D //toanmath.com/ Biến đổi [ ] [ ] [ ] '2 2 3. fx x f x = + [ ] [ ] ' 2 23 fx x fx ⇔=+ [ ] [ ] [ ] ' 2 23 fx dx x dx fx ⇔=+ ∫∫ [ ] [ ] 2 2 11 3 3 x x C f x f x x x C ⇔− = + + ⇒ = − + + . Mà [ ] 1 0 2 f − = nên 2 = . Do đó [ ] [ ] [ ] 2 11 32 1 2 f x xx x x = −= − + + + + . Khi đó [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 ... 2017 2018 a ff f f b = + ++ + 11 1 1 ..... 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020   = − + ++ +     11 11 1 1 1 ..... 2 3 3 4 2018 2019 2020   = − −+−+ +−−     11 2 2020   = − −     1009 2020 − = . Với điều kiện , ab thỏa mãn bài toán, suy ra: 1009 2020 a b = −   =  3029 ba ⇒ − = . Câu 17: Cho hàm số [ ] y f x = , 0 x ∀≥ , thỏa mãn [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 .2 0 0 0; 0 1 f x f x f x xf x ff  ′′ ′ − + =     ′ = =   . Tính [ ] 1 f . A. 2 3 . B. 3 2 . C. 6 7 . D. 7 6 . Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 .2 0 f x f x f x xf x ′′ ′ − + =   [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 .2 f x f x f x x f x ′′ ′ −  ⇔= − [ ] [ ] 2 fx x fx ′  ′ ⇒ = −   [ ] [ ] 2 2 2 fx x C fx ′ ⇒ = −+ [ ] [ ] 2 2 0 0 02 f C f ′ ⇒ = −+ 0 C ⇒= . Do đó [ ] [ ] 2 2 2 fx x fx ′ = − [ ] [ ] 11 2 2 00 dd 2 fx x xx fx ′ ⇒= − ∫∫ [ ] 1 1 3 0 0 1 6 x f x  ⇒− = −   [ ] [ ] 11 1 1 06 ff ⇒− + =− [ ] 6 1 7 f ⇒= . Câu 18: Giả sử hàm số [] fx liên tục, dương trên  ; thỏa mãn [ ] 01 f = và [ ] [ ] 2 1 fx x f x x ′ = + . Khi đó hiệu [ ] [ ] 22 2 1 Tf f = − thuộc khoảng A. [ ] 2;3 . B. [ ] 7;9 . C. [ ] 0;1 . D. [ ] 9;12 . Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] d fx x f x ′ = ∫ 2 d 1 x x x ⇔ + ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 d1 d 1 21 x f x f x x + = + ∫∫ . Vậy [ ] [ ] [ ] 2 1 ln ln 1 2 f x x C = + + , mà [ ] 01 0 f C =⇔= . Do đó [ ] 2 1 f x x = + . Nên [ ] 2 2 3; f = [ ] 2 1 22 f = [ ] [ ] [ ] 22 2 1 3 22 0;1 ff ⇒ − =−∈ . //toanmath.com/ Câu 19: Khi đó [ ] [ ] 1 4 2 00 tan dd cos f t t f x x t π = ∫∫ . Vậy [ ] 1 0 d6 f x x = ∫ .Cho hàm số [ ] y f x = đồng biến trên [ ] 0; +∞ ; [ ] y f x = liên tục, nhận giá trị dương trên [ ] 0; +∞ và thỏa mãn [ ] 2 3 3 f = và [ ] [ ] [ ] 2 ' 1. f x x f x = +     . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. [ ] 2 2613 8 2614 f ∀∈ . Suy ra [] gx đồng biến trên [ ] 1;3 Suy ra: [ ] [ ] 0 2 2 [1] [] [] 3 3 [] 99 3 [] 3 11 f x g g x f x g f x f x ≥ ≤ = ≤ ⇒ ≤ ≤ → ≤ ≤ [ ] 1;3 3 min [ ] 3 [ ] 3 11 fx Max f x  =  ⇒  =   Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn 2 2 []. '[] [] 1 [] 1 fx f x dx f x C f x = ++ + ∫ thì ta có thể sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến [bản chất là một] +] Vi phân: [ ] [ ] [ ] 1 2 22 2 22 []. '[] [] 1 [] [] 1 [] 1 [] 1 2 [] 1 [] 1 fx f x fx dx d f x f x d f x f x C f x f x − = = + + = ++ + + ∫∫ ∫ + Đổi biến: Đặt 2 22 [] 1 [] 1 [] '[] t f x t f x tdt f x f x dx = + ⇒ = + ⇒ = Suy ra: 2 2 []. '[] [] 1 [] 1 f x f x tdt dx dt t C f x C t f x = = = + = ++ + ∫ ∫∫ Câu 82: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn [ ] 01 f = và [ ] [ ] [ ] 2 , x f x ef x x ′ = ∀∈  . Tính tích phân [ ] 1 0 f x dx ∫ bằng A. 2 e − . B. 1 e − . C. 2 2 e − . D. 2 1 e − . Hươngd dẫn giải Chọn B Biến đổi [ ] [ ] [ ] 2 x f x ef x ′ = [ ] [ ] [ ] 2 x fx e f x ′ ⇔= [ ] [ ] x fx e f x ′ ⇔ = [ ] [ ] x fx dx e dx f x ′ ⇒= ∫∫ [ ] [ ] [ ] 1 2 2 x f x df x e dx − ⇔= ∫∫ [ ] 2 22 x f x e C ⇔=+ Vì [ ] 01 0 fC =⇒= [ ] 2 x f x e ⇒= [ ] x f x e ⇔= Suy ra [ ] 1 11 00 0 1 x f x dx edx e e = = = − ∫∫ Câu 83: Cho hàm số [ ] y f x = xác định và liên tục trên { } \ 0  thỏa mãn [ ] [ ] [ ] [ ] 22 21 1 x f x x f x xf x ′ +− = − với { } \ 0 x ∀∈  và [ ] 12 f = − . Tính [ ] 2 1 f x dx ∫ . //toanmath.com/ A. 1 ln 2 2 −− . B. 3 ln 2 2 −− . C. ln 2 1 2 −− . D. 3 ln 2 22 −− . Hươngd dẫn giải Chọn A Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 22 21 1 x f x x f x xf x ′ +− = − [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1* xf x f x xf x ′ ⇔ + = + Đặt [ ] [ ] [ ] h x f x xf x ′ = + [ ] [ ] [ ] h x f x xf x ′′ ⇒= + , khi đó [ ] * có dạng [ ] [ ] 2 h x hx ′ = [ ] [ ] 2 1 hx hx ′ ⇒= [ ] [ ] 2 1 hx dx dx hx ′ ⇒= ∫∫ [ ] [ ] 2 dh x xC hx ⇒=+ ∫ [ ] 1 xC hx ⇔− = + [ ] 1 hx xC ⇒ = − + [ ] 1 1 xf x xC ⇒ +=− + Vì [ ] 12 f = − nên 1 21 1 C −+ =− + 0 C ⇒= Khi đó [ ] 1 1 xf x x +=− [ ] 2 11 f x x x ⇒ = −− Suy ra: [ ] 22 2 11 11 f x dx dx x x   = −−     ∫∫ 2 1 1 ln x x  = −   1 ln 2 2 = −− Câu 84: Cho hàm số [ ] y f x = . Có đạo hàm liên tục trên  . Biết [ ] 1e f = và [ ] [ ] [ ] 3 2 x f x xf x x ′ + = − , x ∀∈  . Tính [ ] 2 f . A. 2 4e 4e 4 −+ . B. 2 4e 2e 1 −+ . C. 3 2e 2e 2 −+ . D. 2 4e 4e 4 +− . Hươngd dẫn giải Chọn D Ta có: [ ] [ ] [ ] 3 2 x f x xf x x ′ + = − [ ] [ ] [ ] 3 2 1 xf x x f x x ′ − + ⇔= [ ] 2 e e x x f x x − − ′  ⇔=   Suy ra [ ] 22 2 11 e d ed x x f x xx x − − ′  =   ∫∫ [ ] [ ] 21 21 2 2 e 2e 1 ee 21 f f − − − −   ⇔ − = − −   [ ] [ ] 21 12 e 2e 1 ee 41 f f − − −− ⇔ − =− [ ] [ ] 2 4e 1 e 1 ff ⇔ = +−   2 4e 4e 4 = +− . Câu 85: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn [ ] 00 f = . Biết [ ] 1 2 0 9 d 2 f xx = ∫ và [ ] 1 0 3 cos d 24 x fx x ππ ′ = ∫ . Tích phân [ ] 1 0 d f x x ∫ bằng A. 1 π . B. 4 π . C. 6 π . D. 2 π . Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] [ ] 11 00 cos d cos d 22 xx f x x f x ππ ′ = ∫∫ [ ] [ ] 1 1 0 0 cos . sin . d 2 22 xx f x f x x π π π = + ∫ [ ] 1 0 sin . d 22 x f x x π π = ∫ . //toanmath.com/ Suy ra [ ] 1 0 3 sin . d 22 x f x x π = ∫ Mặt khác [ ] 2 11 00 11 sin d 1- cos d 22 2 x x xx π π  = =   ∫∫ . Do đó [ ] [ ] 2 11 1 2 00 0 d 2 3sin d 3sin d 0 22 xx f xx f xx x ππ   − + =     ∫∫ ∫ . hay [ ] 2 1 0 3sin d 0 2 x f x x π  − =   ∫ suy ra [ ] 3sin 2 x f x π = . Vậy [ ] 1 11 0 00 66 d 3sin d cos 2 2 x x f x x x π π ππ == −= ∫∫ . Câu 86: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên đoạn [ ] 0; 1 , thỏa mãn [ ] [ ] 11 00 d d1 f x x xf x x = = ∫∫ và [ ] 1 2 0 d4 f x x =   ∫ . Giá trị của tích phân [ ] 1 3 0 d f x x   ∫ bằng A. 1. B. 8 . C. 10. D. 80 . Hươngd dẫn giải Chọn C Xét [ ] [ ] 1 2 0 d f x ax b x ++   ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 11 1 2 2 00 0 d2 . d d f x x f x ax b x ax b x = + + ++       ∫∫ ∫ [ ] [ ] [ ] 1 11 3 00 0 1 42 d 2 d 3 a xf x x b f x x ax b a =+ + ++ ∫∫ [ ] 2 2 42 3 a a b ab b =+ ++ + + . Cần xác định , ab để [ ] 2 2 2 2 40 3 a ba b b + + + + += Ta có: [ ] 22 4 44 24 3 bb bb ∆= ++ − ++ [ ] 2 2 0 3 b −− = ≤ 26 ba ⇒=⇒ = − . Khi đó: [ ] [ ] 1 2 0 6 2d 0 f x x x +− + =   ∫ [ ] 62 f x x ⇒=− Suy ra [ ] [ ] 1 1 3 3 0 0 d 6 2d f x x x x = −   ∫∫ [ ] 1 4 0 1 6 2 10 24 x = −= . Câu 87: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn [ ] 0 f x > khi [ ] 1,2 x ∈ . Biết [ ] 2 1 ' 10 f x dx = ∫ và [ ] [ ] 2 1 ' ln 2 fx dx f x = ∫ . Tính [ ] 2 f . A. [ ] 2 10 f = − . B. [ ] 2 20 f = . C. [ ] 2 10 f = . D. [ ] 2 20 f = − . Hươngd dẫn giải: Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 1 1 ' 2 1 10 f x dx f x f f = = −= ∫ [gt] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 1 1 '2 ln ln 2 ln 1 ln ln 2 1 fx f dx f x f f f x f = = −= =             ∫ [gt] //toanmath.com/ Vậy ta có hệ: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 10 2 20 2 2 1 10 1 ff f f f f − = =    ⇔  = =     Chọn B Câu 88: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ] 4;8 và [ ] 00 f ≠ với [ ] 4;8 x ∀∈ . Biết rằng [ ] [ ] 2 8 4 4 1 fx dx f x ′   =   ∫ và [ ] [ ] 11 4 ,8 42 ff = = . Tính [ ] 6 f . A. 5 8 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 3 . Hươngd dẫn giải Chọn D +] Xét [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 88 22 44 8 1 11 24 2 4 84 f x df x dx fx fx f x f f   ′ = = − = − − = − − =       ∫∫ . +] Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để [ ] [ ] 2 8 2 4 0 fx k dx fx  ′ +=    ∫ . Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 8 8 88 2 22 4 22 4 4 44 2 1 4 4 2 1 fx fx fx k dx dx k dx k dx k k k fx fx f x ′  ′′  + = + + =+ + = +      ∫ ∫ ∫ ∫ . Suy ra: 1 2 k = − thì [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 8 66 2 22 4 44 1 11 0 2 22 fx fx fx dx dx dx fx fx fx  ′ ′′ −=⇔ =⇔ =    ∫ ∫∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 2 4 6 1 11 1 1 1 1 1 4 1 6 4 46 6 3 df x f f x f x f f f ⇔ =⇔− =⇔ −=⇔−=⇔ = ∫ . Chú ý: [ ] 0 b a f x dx = ∫ không được phép suy ra [ ] 0 f x = , nhưng [ ] [ ] 2 00 b k a f x dx f x =⇔= ∫ . Câu 89: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn [ ] 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện [ ] 01 f ′ = − và [ ] [ ] 2 fx f x ′ ′′ =   . Đặt [ ] [ ] 10 Tf f = − , hãy chọn khẳng định đúng? A. 21 T − ≤ ∀∈   ′ = =   ′ ′′ + = ∀∈    . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. [ ] 1 ln 1 1 2 f < < . B. [ ] 1 0 ln 1 2 f < < . C. [ ] 3 ln 1 2 2 f < < . D. [ ] 3 1 ln 1 2 f < < . Hươngd dẫn giải Chọn D Ta có 22 xy y yy ′ ′′ + = 2 2 yy y x y ′′ ′ − ⇔= y x y ′ ′  ⇔=   2 2 yx C y ′ ⇔= + hay [ ] [ ] 2 2 fx x C f x ′ = + . Lại có [ ] [ ] 0 01 ff ′ = = 1 C ⇒= . Ta có [ ] [ ] 2 1 2 fx x f x ′ = + [ ] [ ] 11 2 00 d 1d 2 fx x xx f x ′   ⇔=+     ∫∫ [ ] [ ] 1 0 7 ln 6 f x ⇔= [ ] 7 ln 1 6 f ⇔= . [ ] [ ] 3 1 ln 1 2 f ⇒ < < . Câu 91: Cho , fg là hai hàm liên tục trên [ ] 1;3 thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 3 1 3 d 10 f x gx x +=   ∫ đồng thời [ ] [ ] 3 1 2 d6 f x gx x −=   ∫ . Tính [ ] [ ] 3 1 d f x gx x +   ∫ . A. 9. B. 6 . C. 7 . D. 8 . Hươngd dẫn giải Chọn B Đặt [ ] 3 1 d a f x x = ∫ , [ ] 3 1 d b gx x = ∫ . Khi đó [ ] [ ] 3 1 3 d 10 f x gx x +=   ∫ 3 10 ab ⇔+ = , [ ] [ ] 3 1 2 d6 f x gx x −=   ∫ 26 ab ⇔ −=. Do đó: 3 10 26 ab ab +=   −=  4 2 a b =  ⇔  =  . Vậy [ ] [ ] 3 1 d f x gx x +   ∫ 6 ab = + = . Câu 92: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên [ ] ; ab , nếu [ ] d 5 d a f x x = ∫ và [ ] d2 d b f x x = ∫ [với ad b . [ ] [ ] [ ] 3 0 d 3 00 fx x f f ′ = −< ∫ , do đó [ ] [ ] 30 ff < [ ] [ ] [ ] 5 0 d 5 00 fx x f f ′ = −< ∫ , do đó [ ] [ ] 50 ff < Câu 95: Cho hàm số [ ] f x liên tục và có đạo hàm tại mọi [ ] 0; x ∈ +∞ đồng thời thỏa mãn điều kiện: [ ] [ ] [ ] sin ' cos f x x x f x x = ++ và [ ] 3 2 2 sin d 4. f x x x π π = − ∫ Khi đó, [ ] f π nằm trong khoảng nào? A. [ ] 6;7 . B. [ ] 5;6 . C. [ ] 12;13 . D. [ ] 11;12 . Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có: [ ] [ ] [ ] sin cos f x x x f x x ′ = ++ [ ] [ ] 22 sin cos f x xf x xx x x x ′ − ⇒=+ [ ] [ ] 11 cos cos f x f x x xc x x xx ′ ′     ⇒ = ⇒= +        5 − 3 5 1 x O y //toanmath.com/ [ ] cos f x x cx ⇒= + Khi đó: [ ] 3 2 2 sin d 4 f x x x π π = − ∫ [ ] 3 2 2 cos sin d 4 x cx x x π π ⇔+ = − ∫ 33 22 22 cos sin d sin d 4 xx x c xx x ππ ππ ⇔ += − ∫∫ [ ] 0 24 c ⇔ + − =− 2 c ⇔= [ ] cos 2 f x x x ⇒= + [ ] [ ] 2 1 5;6 fππ ⇒ = −∈ . Câu 96: Cho hàm số [ ] f x xác định trên 0; 2 π    thỏa mãn [ ] [ ] 2 2 0 2 2 2 sin d 4 2 f x f x x x π ππ   −   − −=         ∫ . Tích phân [ ] 2 0 d f x x π ∫ bằng A. 4 π . B. 0 . C. 1. D. 2 π . Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có: 2 2 0 2sin d 4 xx π π   −     ∫ 2 0 1 cos 2 d 2 xx π π    =−−       ∫ [ ] 2 0 1 sin 2 d xx π = − ∫ 2 0 1 cos 2 2 xx π  = +   2 2 π − = . Do đó: [ ] [ ] 2 2 0 2 2 sin d 4 f x f x x x π π     − −         ∫ 2 2 0 2sin d 4 xx π π   +−     ∫ 22 0 2 2 π π −− = += [ ] [ ] 2 22 0 2 2 sin 2sin d 0 44 f x f x x x x π ππ       ⇔ − − + − =            ∫ [ ] 2 2 0 2 sin d 0 4 f x x x π π     ⇔− − =         ∫ Suy ra [ ] 2 sin 0 4 f x x π   − −=     , hay [ ] 2 sin 4 f x x π   = −     . Bởi vậy: [ ] 22 00 d 2 sin d 4 f x x x x ππ π   = −     ∫∫ 2 0 2 cos 0 4 x π π   = − −=     . Câu 97: Cho hàm số [] y fx = liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 2 21 3 2 2 1e 4 xx f x f x x −+ + −= − + . Tính tích phân [ ] 2 0 d I f x x = ∫ ta được kết quả: A. e4 I = + . B. 8 I = . C. 2 I = . D. e2 I = + . Đề ban đầu bị sai vì khi thay 0 x = và 2 x = vào ta thấy mâu thuẫn nên tôi đã sửa lại đề Hươngd dẫn giải Chọn C //toanmath.com/ Theo giả thuyết ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 21 00 3 2 d 2 1e 4 d * xx f x f x x x x −+   +− = − +     ∫∫ . Ta tính [ ] [ ] [ ] [ ] 22 2 00 0 2d 2d 2 d f xx f x x f xx − = − − −= ∫∫ ∫ . Vì vậy [ ] [ ] [ ] 2 2 0 0 3 2 d4 d f x f x x f x x +− =   ∫ ∫ . Hơn nữa [ ] [ ] 22 2 22 2 21 21 2 21 0 00 2 1 d e d 2 1 e 0 xx xx xx x e x x x −+ −+ −+ − = − += = ∫∫ và 2 0 4d 8 x = ∫ . Câu 98: Suy ra [ ] [ ] 22 00 4 d8 d 2 f x x f x x = ⇔= ∫∫ . Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên { } \ 0; 1 −  thỏa mãn điều kiện [ ] 1 2ln 2 f = − và [ ] [ ] [ ] 2 1. x x f x f x x x ′ + + =+ . Giá trị [ ] 2 ln 3 f ab = + , với , ab ∈  . Tính 22 ab + . A. 25 4 . B. 9 2 . C. 5 2 . D. 13 4 . Hươngd dẫn giải Chọn B Từ giả thiết, ta có [ ] [ ] [ ] 2 1. x x f x f x x x ′ + + =+ ⇔ [ ] [ ] [ ] 2 1 . 1 1 1 x x f x f x x x x ′+= + + + [ ] . 11 xx f x xx ′  ⇔=  ++  , với { } \ 0; 1 x ∀∈ −  . Suy ra [ ] . 1 x f x x + d 1 x x x = + ∫ hay [ ] . 1 x f x x + ln 1 xx C = − ++ . Mặt khác, ta có [ ] 1 2ln 2 f = − nên 1 C = − . Do đó [ ] . 1 x f x x + ln 1 1 xx = − +− . Với 2 x = thì [ ] 2 . 2 1 ln 3 3 f = − ⇔ [ ] 33 2 ln 3 22 f = − . Suy ra 3 2 a = và 3 2 b = − . Vậy 22 9 2 ab += . Câu 99: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm trên  và [ ] 4 2 2 2 fx x x x ′ ≥+ − 0 x ∀> và [ ] 11 f = − . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình [ ] 0 f x = có 1 nghiệm trên [ ] 0;1 . B. Phương trình [ ] 0 f x = có đúng 3 nghiệm trên [ ] 0; +∞ . C. Phương trình [ ] 0 f x = có 1 nghiệm trên [ ] 1;2 . C. Phương trình [ ] 0 f x = có 1 nghiệm trên [ ] 2;5 . Hươngd dẫn giải Chọn C [ ] 4 2 2 2 fx x x x ′ ≥+ − 63 2 22 xx x −+ = [ ] 2 3 2 11 0 x x −+ = > , 0 x ∀> . [ ] y f x ⇒= đồng biến trên [ ] 0; +∞ . [ ] 0 f x ⇒ = có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng [ ] 0; +∞ [ ] 1 . Mặt khác ta có: //toanmath.com/ [ ] 4 2 2 20 fx x x x ′ ≥+ − > , 0 x ∀> [ ] 22 4 2 11 2 21 d 2d 5 fx x x x x x  ′ ⇒ ≥ +− =   ∫∫ [ ] [ ] 21 21 5 ff ⇒ −≥ [ ] 17 2 5 f ⇒≥ . Kết hợp giả thiết ta có [ ] y f x = liên tục trên [ ] 1;2 và [ ] [ ] 2. 1 0 ff < [ ] 2 . Từ [ ] 1 và [ ] 2 suy ra phương trình [ ] 0 f x = có đúng 1 nghiệm trên khoảng [ ] 1;2 . Câu 100: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm [ ] fx ′ liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 1;1 fx ′ ∈− với [ ] 0;2 x ∀∈ . Biết [ ] [ ] 0 21 ff = = . Đặt [ ] 2 0 d I f x x = ∫ , phát biểu nào dưới đây đúng? A. [ ] ;0 I ∈ −∞ . B. [ ] 0;1 I ∈ . C. [ ] 1; I ∈ +∞ . D. [ ] 0;1 I ∈ . Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] [ ] 2 12 0 01 d dd I f x x f x x f x x = = + ∫ ∫∫ .  [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 11 1 0 0 0 00 1 d 1 1 d 1 1 d1 1 d 2 f xx x f x x f xx x f xx xx ′′ = − − − =+ − ≥− − = ∫ ∫ ∫∫ [ ] 1 .  [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 2 1 1 11 d 1 1d 1 1d f xx x f x x f xx x f xx ′′ =− − − =− − ∫ ∫∫ [ ] 2 1 1 11 d 2 xx ≥− − = ∫ [ ] 2 . Từ [ ] 1 và [ ] 2 suy ra 11 1 22 I≥+ = . Câu 101: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên [ ] 0; 1 thỏa mãn [ ] 1 0 d0 xf x x = ∫ và [ ] [0; 1] max 1. f x = Tích phân [ ] 1 0 ed x I f x x = ∫ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 5 ;. 4  −∞ −   B. 3 ; e 1 . 2   −     C. 53 ; . 4 2  −   D. [ ] e 1; . − +∞ Hươngd dẫn giải Chọn C Với mọi [ ] 0;1 a ∈ , ta có [ ] 1 0 0d xf x x = ∫ [ ] 1 0 d a xf x x = ∫ [ ] 1 0 d axf x x = ∫ Kí hiệu [ ] [ ] 1 0 ed x I a ax x = − ∫ . Khi đó, với mọi [ ] 0;1 a ∈ ta có [ ] 1 0 ed x f x x ∫ [ ] [ ] 11 00 ed d x f x x axf x x = − ∫ ∫ [ ] [ ] 1 0 e d x ax f x x = − ∫ [ ] 1 0 e . d x ax f x x ≤− ∫ [ ] [ ] 1 0;1 0 e .max d x x ax f x x ∈ ≤− ∫ [ ] 1 0 e d x ax x I a = −= ∫ . Suy ra [ ] [ ] [ ] 1 0;1 0 e d min x a f x x Ia ∈ ≤ ∫ Mặt khác Với mọi [ ] 0;1 a ∈ ta có [ ] [ ] 11 00 e de d xx I a ax x ax x = −= − ∫∫ 1 2 0 e 2 x a x  = −   e1 2 a = − − //toanmath.com/ [ ] [ ] 0;1 3 min e 2 a Ia ∈ = − [ ] 1 0 3 e d e 1,22 2 x f x x ⇒ ≤− ≈ ∫ . Vậy 53 ; 42 I   ∈−     . Câu 102: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 01 f = và [ ] [ ] [ ] [ ] 11 2 00 1 3 d2 d 9 f x f x x f x f x x  ′′ +≤     ∫∫ . Tính tích phân [ ] 1 3 0 d f x x   ∫ : A. 3 2 . B. 5 4 . C. 5 6 . D. 7 6 . Hươngd dẫn giải Chọn D Từ giả thiết suy ra: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 0 3 2.3 1 d 0 f xf x f xf x x   ′′ − + ≤     ∫ [ ] [ ] 1 2 0 3 1d 0 f xf x x   ′ ⇔ − ≤   ∫ . Suy ra [ ] [ ] 3 10 f xf x ′ −= [ ] [ ] 1 3 f xf x ′ ⇔= [ ] [ ] 2 1 . 9 f x f x ′⇔= . Vì [ ] [ ] [ ] 32 3. f x f xf x ′ ′  =  nên suy ra [ ] 3 1 3 f x ′  =  [ ] 3 1 3 f x xC ⇒=+ . Vì [ ] 01 f = nên [ ] 3 01 f = 1 C ⇒= . Vậy [ ] 3 1 1 3 f x x ⇒=+ . Suy ra [ ] 1 3 0 d f x x   ∫ 1 0 1 7 1d 36 xx   = + =     ∫ . Câu 103: Cho hai hàm số [ ] f x và [ ] gx có đạo hàm trên đoạn [ ] 1;4 và thỏa mãn hệ thức [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 14 .; . fg g xx f x f x x g x +=    ′′ = −= −   . Tính [ ] [ ] 4 1 d I f x gx x = +   ∫ . A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . D. 4ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A Cách 1: Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] f xg x x f xg x ′′ + = − +     [ ] [ ] [ ] [ ] 1 f x gx f x gx x + ⇔= − ′′ + [ ] [ ] [ ] [ ] 1 dd f x gx xx f x gx x + ⇔= − ′′ + ∫ ∫ [ ] [ ] ln f x gx ⇒+ ln xC = −+ Theo giả thiết ta có [ ] [ ] ln 1 ln 1 1 C fg −= + ln 4 C ⇒= . Suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 f x gx x f x gx x  + =    + = −   , vì [ ] [ ] 1 14 fg += nên [ ] [ ] 4 f x gx x + = [ ] [ ] 4 1 d 8ln 2 I f x gx x ⇒= + =   ∫ . Cách 2: Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] f xg x x f xg x ′′ + = − +     [ ] [ ] [ ] [ ] dd f xg x x x f xg x x ′′ ⇒+ = − +         ∫∫ . //toanmath.com/ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dd f x gx x x f x gx f x gx x ⇒ + = − ++ +     ∫∫ . [ ] [ ] [ ] [ ] C x f x gx C f x gx x ⇒− + = ⇒ + =−   . Vì [ ] [ ] 11 4 f g CC + =−⇒ =− Do đó [ ] [ ] 4 f x gx x + = . Vậy [ ] [ ] 4 1 d 8ln 2 I f x gx x = +=   ∫ . //toanmath.com/ DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 Câu 104: Cho [ ] 4 0 d 16 f x x = ∫ . Tính [ ] 2 0 2d f xx ∫ A. 16 . B. 4. C. 32. D. 8. Câu 105: Nếu [ ] 6 0 d 12 f x x = ∫ thì [ ] 2 0 3d f xx ∫ bằng A. 6 . B. 36. C. 2. D. 4. Câu 106: Cho [ ] 2 2 1 1 d 2 f x x x += ∫ . Khi đó [ ] 5 2 d I f x x = ∫ bằng: A. 2. B. 1. C. 1 − . D. 4. Câu 107: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và thỏa mãn [ ] 1 5 d 9 f x x − = ∫ . Tính tích phân [ ] 2 0 1 3 9d fx x −+   ∫ . A. 27 . B. 21. C. 15. D. 75. Câu 108: Biết [ ] f x làm hàm liên tục trên  và [ ] 9 0 d 9 f x x = ∫ . Khi đó giá trị của [ ] 4 1 3 3d f x x − ∫ là A. 27 . B. 3. C. 0 . D. 24 . Câu 109: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa [ ] 1 0 d 10 f x x = ∫ . Tính 2 0 d 2 x fx    ∫ . A. 2 0 5 d 22 x fx  =   ∫ . B. 2 0 d 20 2 x fx  =   ∫ . C. 2 0 d 10 2 x fx  =   ∫ . D. 2 0 d 5 2 x fx  =   ∫ . Câu 110: Cho [ ] 5 1 d4 f x x − = ∫ . Tính [ ] 2 1 2 1d I fx x − = + ∫ . A. 2 I = . B. 5 2 I = . C. 4 I = . D. 3 2 I = . Câu 111: Giả sử hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và [ ] 5 3 d f x x a = ∫ , [ ] a ∈  . Tích phân [ ] 2 1 2 1d I fx x = + ∫ có giá trị là A. 1 1 2 Ia = + . B. 21 Ia = + . C. 2 Ia = . D. 1 2 Ia = . Câu 112: Cho [ ] 2 2 1 1 d 2 f x x x += ∫ . Khi đó [ ] 5 2 d I f x x = ∫ bằng A. 2. B. 1. C. 1 − . D. 4. Câu 113: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 1; +∞ và [ ] 3 0 1d 8 fx x += ∫ . Tích phân [ ] 2 1 d I xf x x = ∫ bằng: A. 16 I = . B. 2 I = . C. 8 I = . D. 4 I = Câu 114: Biết [ ] 11 1 d 18 f x x − = ∫ . Tính [ ] [ ] 2 2 0 2 3 1d I x fx x = +− ∫ . //toanmath.com/ A. 5 I = . B. 7 I = . C. 8 I = D. 10 I = . Câu 115: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và [ ] 1 0 2d 8 f xx = ∫ . Tính [ ] 2 2 0 d I xf x x = ∫ A. 4. B. 16 . C. 8. D. 32. Câu 116: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và có [ ] [ ] 13 00 d 2; d 6 f x x f x x = = ∫∫ . Tính [ ] 1 1 2 1d I f x x − = − ∫ . A. 2 3 I = . B. 4 I = . C. 3 2 I = . D. 6 I = . Câu 117: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên [ ] 0;4 và [ ] 2 0 d1 f x x = ∫ ; ; [ ] 4 0 d 3 f x x = ∫ . Tính [ ] 1 1 3 1d fx x − − ∫ . A. 4. B. 2. C. 4 3 . D. 1. Câu 118: Cho [ ] f x là hàm số liên tục trên  và [ ] 1 0 d4 f x x = ∫ , [ ] 3 0 d6 f x x = ∫ . Tính [ ] 1 1 2 1d I f x x − = + ∫ . A. 3 I = . B. 5 I = . C. 6 I = . D. 4 I = . Câu 119: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa [ ] 1 0 2d 2 f xx = ∫ và [ ] 2 0 6 d 14 f xx = ∫ . Tính [ ] 2 2 5 2d fx x − + ∫ . A. 30. B. 32. C. 34. D. 36. Câu 120: Cho tích phân [ ] 2 0 cos . sin 8 I x f x dx = = ∫ π . Tính tích phân [ ] 2 0 sin . cos K x f x dx = ∫ π . A. 8 K = − . B. 4 K = . C. 8 K = . D. 16 K = . Câu 121: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên R, thỏa mãn [ ] 1 0 1 f x dx = ∫ . Tính [ ] [ ] 4 2 0 tan 1 . tan I f x dx = + ∫ π . A. 1 I = . B. 1 I = − . C. 4 I = π . D. 4 I = − π . Câu 122: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 23 f x f x = , x ∀∈  . Biết rằng [ ] 1 0 d1 f x x = ∫ . Giá trị của tích phân [ ] 2 1 d I f x x = ∫ bằng bao nhiêu? A. 5 I = . B. 3 I = . C. 8 I = . D. 2 I = . //toanmath.com/ Câu 123: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn [ ] 22 f = − ; [ ] 2 0 d1 f x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 4 0 d I f xx ′ = ∫ . A. 10 I = − . B. 5 I = − . C. 0 I = . D. 18 I = − . Câu 124: Cho [ ] 2 1 d2 f x x = ∫ . Tính [ ] 4 1 d fx Ix x = ∫ bằng A. 1 I = . B. 2 I = . C. 4 I = . D. 1 2 I = . Câu 125: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] 16 1 d6 fx x x = ∫ và [ ] 2 0 sin cos d 3 f x x x π = ∫ . Tính tích phân [ ] 4 0 d I f x x = ∫ . A. 2 I = − . B. 6 I = . C. 9 I = . D. 2 I = . Câu 126: Cho [ ] f x liên tục trên  thỏa [ ] 9 1 d4 fx x x = ∫ và [ ] 2 0 sin cos d 2 f x x x π = ∫ . Tính [ ] 3 0 d I f x x = ∫ . A. 10 I = . B. 6 I = . C. 4 I = . D. 2 I = . Câu 127: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] 1;4 và thỏa mãn [ ] [ ] 21 ln f x x f x x x − = + . Tính tích phân [ ] 4 3 d I f x x = ∫ . A. 2 3 2ln 2 I = + . B. 2 2ln 2 I = . C. 2 ln 2 I = . D. 2ln 2 I = . Câu 128: Cho hàm số [ ] fx liên tục trên [ ] 4; − +∞ và [ ] 5 0 4d 8 fx x += ∫ . Tính [ ] 2 3 .d I xf x x = ∫ . A. 8 I = . B. 4 I = . C. 16 I = − . D. 4 I = − . Câu 129: Cho và . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 130: Cho hàm [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] 4 0 tan d 3 f xx π = ∫ và [ ] 2 1 2 0 d1 1 xf x x x = + ∫ . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ . A. 4. B. 2. C. 5. D. 1. Câu 131: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên R và [ ] [ ] 2 1 4 2 00 tan d4; d2 1 xf x f xx x x π = = + ∫∫ . Tính [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . A. 6 I = . B. 2 I = . C. 3 I = . D. 1 I = . [ ] 1 0 2 1 d 12 f x x += ∫ [ ] 2 2 0 sin sin 2 d 3 f x x x π = ∫ [ ] 3 0 d fx x ∫ 26 22 27 15 //toanmath.com/ Câu 132: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa [ ] 2018 0 d2 f x x = ∫ . Khi đó tích phân [ ] [ ] 2018 e1 2 2 0 ln 1 d 1 x fx x x − + + ∫ bằng A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 133: Tìm tất cả các giá trị dương của m để [ ] 3 0 10 3 9 m x x dx f  ′′ −= −   ∫ , với [ ] 15 ln f x x = . A. 20 m = . B. 4 m = . C. 5 m = . D. 3 m = . Câu 134: Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 4 f x fx −= . Biết [ ] 3 1 d 5 xf x x = ∫ . Tính [ ] 3 1 d I fx x = ∫ . A. 5 2 I = . B. 7 2 I = . C. 9 2 I = . D. 11 2 I = . Câu 135: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên đoạn [ ] 1;3 thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 4 , 1;3 f x f x x − = ∀∈ và [ ] 3 1 d2 xf x x = − ∫ . Giá trị [ ] 3 1 d f x x ∫ bằng A. 2 . B. 1 − . C. 2 − . D. 1. Câu 136: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ] 6;5 − , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị [ ] 5 6 2d I f x x − = +     ∫ . A. 2 35 I π = + . B. 2 34 I π = + . C. 2 33 I π = + . D. 2 32 I π = + . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn : [ ] [ ] [ ] [ ] . .. . A f x Bu f u C f a b x g x ′ + + +− = +] Với [ ] [ ] ua a ub b =    =   thì [ ] [ ] 1 bb aa f x dx g x dx A BC = + + ∫∫ . +] Với [ ] [ ] ua b ub a =    =   thì [ ] [ ] 1 bb aa f x dx g x dx ABC = −+ ∫∫ . Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số ,, A BC . Nếu [ ] f x liên tục trên [ ] ; ab thì [ ] [ ] bb aa f a b x dx f x dx +− = ∫∫ . Câu 137: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] [ ] 23 6 6 31 f x xf x x = − + . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ A. 2 . B. 4 . C. 1 − . D. 6 . O x y 5 4 − 6 − 1 − 3 //toanmath.com/ Câu 138: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 22 4 3 11 xf x f x x + −= − . Tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ bằng A. 4 I π = . B. 6 I π = . C. 20 I π = . D. 16 I π = Câu 139: Cho hàm số [] fx liên tục trên [ ] 0;2 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 22 f x f x x + −=. Tính giá trị của tích phân [ ] 2 0 I f x dx = ∫ . A. 4 I = − . B. 1 2 I = . C. 4 3 I = . D. 2 I = . Câu 140: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn [ ] [ ] 2 31 1 f x f x x + −= − . Tích phân [ ] 1 0 d f x x ∫ bằng A. 2 3 . B. 1 6 . C. 2 15 . D. 3 5 . Câu 141: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 2 31 1 f x f x x x − −= − . Tính tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . A. 1 25 I = . B. 4 15 I = − . C. 1 15 I = − . D. 4 75 I = . Câu 142: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 1;2 − và thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 23 2 2 31 4 f x xf x f x x + −+ − = . Tính giá trị của tích phân [ ] 2 1 I f x dx − = ∫ . A. 5 I = . B. 5 2 I = . C. 3 I = . D. 15 I = . Câu 143: Hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 1;2 − và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 2 2 3. f x x xf x = ++ − Tính giá trị của [ ] 2 1 d I f x x − = ∫ A. 14 3 I = . B. 28 3 I = . C. 4 3 I = . D. 2 I = . Câu 144: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 2 1 1 31 1 f x xf x f x x + − + −= + . Tính giá trị của tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . A. 9 ln 2 2 I = . B. 2 ln 2 9 I = . C. 4 3 I = . D. 3 2 I = . Câu 145: Cho hàm số [ ] y f x = và thỏa mãn [ ] [ ] 3 34 2 8 0 1 x f x xf x x − += + . Tích phân [ ] 1 0 2 ab I f x dx c − = = ∫ với ,, abc ∈  và ; ab cc tối giản. Tính abc ++ A. 6 . B. 4 − . C. 4 . D. 10 − . //toanmath.com/ Câu 146: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] ln 2;ln 2 − và thõa mãn [ ] [ ] 1 1 x f x f x e + − = + . Biết [ ] ln 2 ln 2 d ln 2 ln 3 f x x a b − = + ∫ , với , ab ∈  . Tính giá trị của P ab = + . A. 1 2 P = . B. 2 P = − . C. 1 P = − . D. 2 P = . Câu 147: Biết hàm số 2 y fx  = +   π là hàm số chẵn trên đoạn ; 22   −     ππ và [ ] sin cos 2 f x f x x x  + += +   π . Tính [ ] 2 0 I f x dx = ∫ π . A. 0 I = . B. 1 I = . C. 1 2 I = . D. 1 I = − . Câu 148: Cho hàm số [ ] y fx = có đạo hàm liên tục trên  , [ ] 00 f = và [ ] sin .cos 2 fx f x x x π + −=   với x ∀∈  . Giá trị của tích phân [ ] 2 0 xf x dx π ′ ∫ bằng A. 4 π − . B. 1 4 . C. 4 π . D. 1 4 − . Câu 149: Cho hàm số [ ] fx liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 2 2 1 2x 1 2x , 1 x ff x x + + − = ∀∈ +  . tính tích phân [ ] 3 1 I f x dx − = ∫ . A. 2 2 I π = − . B. 1 4 I π = − . C. 1 28 I π = − . D. 4 I π = . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt [ ] t ux = và [ ] t vx = để giải hệ phương trình hai ẩn [trong đó có ẩn [ ] fx ] để suy ra hàm số [ ] fx [nếu [ ] ux x = thì chỉ cần đặt một lần [ ] t vx = ]. Các kết quả đặc biệt: Cho [ ] [ ] [ ] .. A f ax b B f ax c g x + + −+ = với 22 AB ≠ ] khi đó [ ] 22 .. x b xc Ag B g aa fx AB −−     −     −     = − [*] +]Hệ quả 1 của [*]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 22 .. .. Ag x B g x A fx B f x g x fx AB −− + −= ⇒ = − +]Hệ quả 2 của [*]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] .. gx A fx B f x g x fx AB + −= ⇒ = + với [ ] gx là hàm số chẵn. Câu 150: Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên  và [ ] 1 23 fx f x x  + =   . Tính [ ] 2 1 2 fx I dx x = ∫ . A. 3 2 I = . B. 1 I = . C. 1 2 I = . D. 1 I = − . Câu 151: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên { } \ 0  và thỏa mãn [ ] 2 15 23 3 2 x f x f x  + = −   , [ ] 9 3 d f x x k = ∫ . Tính 3 2 1 2 1 d If x x  =   ∫ theo k . A. 45 9 k I + = − . B. 45 9 k I − = . C. 45 9 k I + = . D. 45 2 9 k I − = . //toanmath.com/ Câu 152: Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 2018 2 sin f x f x x x −+ = . Tính giá trị của [ ] 2 2 d I f x x π π − = ∫ . A. 2 2019 I = . B. 2 1009 I = . C. 4 2019 I = . D. 1 1009 I = . Câu 153: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 2018 x f x f x e −+ =. Tính giá trị của [ ] 1 1 I f x dx − = ∫ A. 2 1 2019e e I − = . B. 2 1 2018e e I − = . C. 0 I = . D. 2 1 e I e − = . Câu 154: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn [ ] [ ] 2 2 2 1 12 fx f x x + −= . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [ ] y f x = tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. 22 yx = + . B. 46 yx = − . C. 26 yx = − . D. 42 yx = − . Câu 155: Cho [ ] f x là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn [ ] 1 0 2018 = ∫ f x dx và [ ] gx là hàm số liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 1 + − = gx g x , ∀∈  x . Tính tích phân [ ] [ ] 1 1 − = ∫ I f x g x dx . A. 2018 = I . B. 1009 2 = I . C. 4036 = I . D. 1008 = I . Câu 156: Cho số dương a và hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] f x f x a + − = , x ∀∈  . Giá trị của biểu thức [ ] d a a f x x − ∫ bằng A. 2 2a . B. a . C. 2 a . D. 2a . Câu 157: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa điều kiện [ ] [ ] 2sin f x f x x + − = . Tính [ ] 2 2 d f x x π π − ∫ A. 1 − . B. 0 . C. 1. D. 2. Câu 158: Cho [] fx là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 2 2cos 2 f x f x x + − = − . Tính tích phân [ ] 3 2 3 2 d I f x x π π − = ∫ . A. 3 I = . B. 4 I = . C. 6 I = . D. 8 I = . Câu 159: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên R và thỏa mãn [ ] [ ] 2 2cos 2 f x f x x + − = + . Tính [ ] 2 2 I f x dx − = ∫ π π . A. 1 I = − . B. 1 I = . C. 2 I = − . D. 2 I = . //toanmath.com/ Câu 160: Cho hàm số liên tục trên và . Tính A. . B. . C. . D. . Câu 161: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] ln 2;ln 2 − và thỏa mãn [ ] [ ] 1 1 x f x f x e + − = + . Biết [ ] ln 2 ln 2 d ln 2 ln 3 f x x a b − = + ∫ [ ] ; ab ∈  . Tính P ab = + . A. 1 2 P = . B. 2 P = − . C. 1 P = − . D. 2 P = . Câu 162: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 2 31 1 + −= − f x f x x x . Tính tích phân [ ] 1 0 = ∫ I f x dx . A. 4 15 = − I . B. 1 15 = I . C. 4 75 = I . D. 1 25 = I . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 163: Cho [ ] f x và [ ] gx là hai hàm số liên tục trên [ ] 1,1 − và [ ] f x là hàm số chẵn, [ ] gx là hàm số lẻ. Biết [ ] 1 0 5 f x dx = ∫ và [ ] 1 0 7 g x dx = ∫ . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. [ ] 1 1 10 f x dx − = ∫ . B. [ ] 1 1 14 g x dx − = ∫ . C. [ ] [ ] 1 1 10 f x g x dx − + =   ∫ . D. [ ] [ ] 1 1 10 f x g x dx − −=   ∫ . Câu 164: Nếu hàm [ ] f x CHẴN thì [ ] [ ] 0 2 aa a f x dx f x dx − = ∫∫ 2. Nếu hàm [ ] f x LẺ thì [ ] 0 a a f x dx − = ∫ Nếu chứng minh thì như sau: Đặt [ ] [ ] [ ] 1 2 1 01 1 10 A A A f x dx f x dx f x dx −− = = + ∫ ∫ ∫     [ ] 0 1 1 A f x dx − = ∫ . Đặt tx = − dt dx ⇒= − Đổi cận: [ ] [ ] [ ] [ ] 0 11 1 1 00 . A f t dt f t dt f x dx ⇒= − − = − = − ∫ ∫∫ [Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân] [ ] 1 0 f x dx = ∫ [Do [ ] f x là hàm chẵn [ ] [ ] f x f x ⇒ − = ] Vậy [ ] [ ] [ ] 1 11 10 0 10 A f x dx f x dx f x dx − = = += ∫ ∫∫ [1] Đặt [ ] [ ] [ ] 1 2 1 0 1 1 10 B B B g x dx g x dx g x dx −− = = + ∫ ∫∫     [ ] f x  [ ] [ ] 2 3 2 tan f x f x x −− = [ ] π 4 π 4 d f x x − ∫ π 1 2 − π 1 2 − π 1 4 + π 2 2 − //toanmath.com/ [ ] 0 1 1 B g x dx − = ∫ . Đặt tx = − dt dx ⇒= − Đổi cận: [ ] [ ] [ ] [ ] 0 11 1 1 00 . B g t dt g t dt g x dx ⇒= − − = − = − ∫ ∫∫ [Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân] [ ] 1 0 g x dx = − ∫ [Do [ ] f x là hàm chẵn [ ] [ ] g x gx ⇒ − = − ] Vậy [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 0 0 0 B g x dx g x dx g x dx − == − + = ∫ ∫∫ [2] Từ [1] và [2] Chọn B Câu 165: Cho hàm số [ ] y f x = là hàm lẻ và liên tục trên [ ] 4;4 − biết [ ] 0 2 d2 f xx − − = ∫ và [ ] 2 1 2d 4 f xx −= ∫ . Tính [ ] 4 0 d I f x x = ∫ . A. 10 I = − . B. 6 I = − . C. 6 I = . D. 10 I = . Câu 166: Cho hàm số chẵn [ ] y f x = liên tục trên  và [ ] 1 1 2 d8 1 2 x fx x − = + ∫ . Tính [ ] 2 0 d f x x ∫ . A. 2 . B. 4 . C. 8. D. 16. Câu 167: Cho [ ] f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [ ] 1; 1 − và [ ] 1 1 d2 f x x − = ∫ . Kết quả [ ] 1 1 d 1e x f x Ix − = + ∫ bằng A. 1 I = . B. 3 I = . C. 2 I = . D. 4 I = . Câu 168: Cho [ ] y f x = là hàm số chẵn và liên tục trên .  Biết [ ] [ ] 12 01 1 d d1 2 f x x f x x = = ∫∫ . Giá trị của [ ] 2 2 d 31 x f x x − + ∫ bằng A. 1. B. 6 . C. 4. D. 3. Câu 169: Cho hàm số [ ] fx liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 3 , f xf xx x + = ∀ ∈  . Tính [ ] 2 0 I f x dx = ∫ A. 2 I = . B. 3 2 I = . C. 1 2 I = . D. 5 4 I = . Câu 170: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 32 23 6 f x f x f x x − + = , x ∀∈  . Tính tích phân [ ] 5 0 d I f x x = ∫ . A. 5 4 I = . B. 5 2 I = . C. 5 12 I = . D. 5 3 I = . Câu 171: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 3 21 x f x f x ++ = , x ∀∈ . Tính [ ] 1 2 d I f x x − = ∫ . A. 7 4 I = . B. 7 2 I = . C. 7 3 I = . D. 5 4 I = . //toanmath.com/ TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 Bài toán: “ Cho [ ] [ ] 2 . f x fa b x k +− = , khi đó [ ] d 2 b a x ba I k fx k − = = + ∫ Chứng minh: Đặt t ab x = +− [ ] [ ] 2 dt dx k fx ft = −   ⇒  =   và x a t b = ⇒ − ; x b t a = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] [ ] 2 fd d d1 bb b aa a x x xx I k k fx k k fx k ft = = = ++ + ∫∫ ∫ . [ ] [ ] [ ] fd d 1 2 bb aa x x x I k fx k k fx = += ++ ∫∫ [ ] 11 d b a x ba kk = − ∫ 2 ba I k − ⇒= . Câu 172: Cho hàm số [ ] f x liên tục và nhận giá trị dương trên [ ] 0;1 . Biết [ ] [ ] .1 1 f x f x −= với [ ] 0;1 x ∀∈ . Tính giá trí [ ] 1 0 d 1 x I f x = + ∫ A. 3 2 . B. 1 2 . C. 1. D. 2. Câu 173: Cho hàm số [ ] fx liên tục trên  , ta có [ ] 0 fx > và [ ] [ ] 0 . 2018 1 ff x − = . Giá trị của tích phân [ ] 2018 0 d 1 x I fx = + ∫ A. 2018 I = . B. 0 I = C. 1009 I = D. 4016 Câu 174: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm, liên tục trên  và [ ] 0 f x > khi [ ] 0;5 x ∈ . Biết [ ] [ ] .5 1 f x f x −= , tính tích phân [ ] 5 0 d 1 x I f x + = ∫ . A. 5 4 I = . B. 5 3 I = . C. 5 2 I = . D. 10 I = . Câu 175: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 4 f x f x −= . Biết [ ] 3 1 d 5 xf x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 3 1 d f x x ∫ . A. 5 2 . B. 7 2 . C. 9 2 . D. 11 2 . Câu 176: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên R và [ ] 0 f x > khi x ∈ [0; a] [ 0 a > ]. Biết [ ] [ ] .1 f x f a x −= , tính tích phân [ ] 0 1 a dx I f x = + ∫ . A. 2 a I = . B. 2 Ia = . C. 3 a I = . D. 4 a I = . Câu 177: Cho [ ] f x là hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;a thỏa mãn [ ] [ ] [ ] [ ] .1 0, 0; f x f a x f x x a −=    > ∀∈   và [ ] 0 d , 1 a x ba f x c = + ∫ trong đó b , c là hai số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó bc + có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? //toanmath.com/ A. [ ] 11;22 . B. [ ] 0;9 . C. [ ] 7;21 . D. [ ] 2017;2020 . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 178: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 1;4 , đồng biến trên đoạn [ ] 1;4 và thỏa mãn đẳng thức [ ] 2. x xf x + [ ] 2 fx ′ =  , [ ] 1;4 x ∀∈ . Biết rằng [ ] 3 1 2 f = , tính [ ] 4 1 d I f x x = ∫ ? A. 1186 45 I = . B. 1174 45 I = . C. 1222 45 I = . D. 1201 45 I = . Câu 179: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm trên  thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 32 1 2 2 3 .e 0 f xx x fx fx −− ′ −= và [ ] 01 f = . Tích phân [ ] 7 0 . d xf x x ∫ bằng A. 27 3 . B. 15 4 . C. 45 8 . D. 5 7 4 . Câu 180: Cho hàm số [ ] 4 32 43 1 f x x x x x = + − −+ , x ∀∈  . Tính [ ] [ ] 1 2 0 .d I f x f x x ′ = ∫ . A. 2. B. 2 − . C. 7 3 − . D. 7 3 . Câu 181: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên khoảng [ ] 0;1 và [ ] 0 f x ≠ , [ ] 0;1 x ∀∈ . Biết rằng 1 2 fa  =   , 3 2 f b  =    và [ ] [ ] 24 x xf x f x ′ += − , [ ] 0;1 x ∀∈ . Tính tích phân [ ] 2 3 2 6 sin .cos 2sin 2 sin d xx x Ix f x π π + = ∫ theo a và b . A. 3 4 ab I ab   . B. 3 4 b a I ab   . C. 3 4 ba I ab   . D. 3 4 ab I ab   . Câu 182: Cho hàm số f liên tục, [ ] 1 f x >− , [ ] 00 f = và thỏa [ ] [ ] 2 12 1 f x x x f x ′ += + . Tính [ ] 3 f . A. 0 . B. 3. C. 7 . D. 9. Câu 183: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và [ ] 5 2 d4 f x x = ∫ , [ ] 53 f = , [ ] 22 f = . Tính [ ] 2 32 1 1 d I xf x x ′ = + ∫ A. 3. B. 4 . C. 1. D. 6 . Câu 184: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] 1;4 và thỏa mãn [ ] [ ] 21 ln f x x f x x x − = + . Tính tích phân [ ] 4 3 d I f x x = ∫ . A. 2 3 2ln 2 I = + . B. 2 2ln 2 I = . C. 2 ln 2 I = . D. 2ln 2 I = . //toanmath.com/ Câu 185: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 16 2 2 1 4 cot . sin d d 1 fx xf x x x x π π = = ∫ ∫ . Tính tích phân [ ] 1 1 8 4 d fx x x ∫ . A. 3 I = . B. 3 2 I = . C. 2 I = . D. 5 2 I = . Câu 186: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 22 4. 3 1 1 xf x f x x + −= − . Tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ bằng: A. 4 I π = . B. 6 I π = . C. 20 I π = . D. 16 I π = . Câu 187: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 11 f = , [ ] 1 2 0 9 d 5 fx x ′ =   ∫ và [ ] 1 0 2 d 5 f x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . A. 3 5 I = . B. 1 4 I = . C. 3 4 I = . D. 1 5 I = . //toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 Câu 104: Cho [ ] 4 0 d 16 f x x = ∫ . Tính [ ] 2 0 2d f xx ∫ A. 16 . B. 4. C. 32. D. 8. 1 7 THướng dẫn giải 1 7 TChọn D 1 7 TXét tích phân 1 7 T [ ] 2 0 2d f xx ∫ ta có Đặt 2x t = 1 d dt 2 x ⇒= . Khi 0 x = thì 0 t = ; khi 2 x = thì 4 t = . Do đó [ ] [ ] 24 00 1 2 d dt 2 f x x ft = ∫∫ [ ] 4 0 1 d 2 f x x = ∫ 1 .16 2 = 8 = . Câu 105: Nếu [ ] 6 0 d 12 f x x = ∫ thì [ ] 2 0 3d f xx ∫ bằng A. 6 . B. 36. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt 3 d 3d tx t x = ⇒= . Đổi cận: 00 xt = ⇒= , 26 xt = ⇒= Khi đó: [ ] [ ] 26 00 11 3 d d .12 4 33 f x x ft t = = = ∫ ∫ . Câu 106: Cho [ ] 2 2 1 1 d 2 f x x x += ∫ . Khi đó [ ] 5 2 d I f x x = ∫ bằng: A. 2. B. 1. C. 1 − . D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt 2 12 t x dt xdx = + ⇒ = . Đổi cận: 12 xt = ⇒= , 2 5 xt = ⇒= . Khi đó: [ ] [ ] 25 2 12 1 1 d d 2 f x x x f t t += ∫∫ [ ] [ ] 52 2 21 d 2 1 d 4 f t t f x x x ⇒ = += ∫∫ . Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: [ ] [ ] 55 22 d d4 I f x x ft t = = = ∫∫ . Câu 107: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và thỏa mãn [ ] 1 5 d 9 f x x − = ∫ . Tính tích phân [ ] 2 0 1 3 9d fx x −+   ∫ . A. 27 . B. 21. C. 15. D. 75. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 13 tx = − d 3d t x ⇒= − . Với 01 xt = → = và 25 xt = → =− . Ta có [ ] 2 0 1 3 9d fx x −+   ∫ [ ] 22 00 1 3 d 9d f xx x = −+ ∫∫ [ ] 5 2 0 1 d 9 3 t ft x − = +   − ∫ [ ] 1 5 1 d 18 3 f x x − = +   ∫ //toanmath.com/ 1 .9 18 21 3 = += . Câu 108: Biết [ ] f x làm hàm liên tục trên  và [ ] 9 0 d 9 f x x = ∫ . Khi đó giá trị của [ ] 4 1 3 3d f x x − ∫ là A. 27 . B. 3. C. 0 . D. 24 . Hướng dẫn giải Chọn B [ ] 4 1 3 3d I f x x = − ∫ . Đặt 33 tx = − d 3d tx ⇒= Đổi cận: 10 9 4 xt x t = ⇒=   = ⇒=  [ ] 9 0 1 d 3 I ft t = ∫ [ ] 9 0 1 d 3 f x x = ∫ 3 = . Câu 109: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa [ ] 1 0 d 10 f x x = ∫ . Tính 2 0 d 2 x fx    ∫ . A. 2 0 5 d 22 x fx  =   ∫ . B. 2 0 d 20 2 x fx  =   ∫ . C. 2 0 d 10 2 x fx  =   ∫ . D. 2 0 d 5 2 x fx  =   ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 2 x t = 1 dd 2 t x ⇒= . Đổi cận: 0 x = 0 t ⇒= ; 2 x = 1 t ⇒=. Ta có: 2 0 d 2 x fx    ∫ [ ] 1 0 2. d ft t = ∫ 2.10 = 20 = . Câu 110: Cho [ ] 5 1 d4 f x x − = ∫ . Tính [ ] 2 1 2 1d I fx x − = + ∫ . A. 2 I = . B. 5 2 I = . C. 4 I = . D. 3 2 I = . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 1 tx = + 2d dt x ⇒= 1 dd 2 x t ⇒= . Với 1 1 x t =−⇒ =− , với 2 5 xt = ⇒= . Khi đó ta có [ ] 2 1 2 1d I fx x − = + ∫ [ ] 5 1 1 .d 2 I ft t − ⇒= ∫ [ ] 5 1 1 d 2 ft t − = ∫ [ ] 5 1 1 d 2 f x x − = ∫ 1 .4 2 2 = = . Câu 111: Giả sử hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và [ ] 5 3 d f x x a = ∫ , [ ] a ∈  . Tích phân [ ] 2 1 2 1d I fx x = + ∫ có giá trị là A. 1 1 2 Ia = + . B. 21 Ia = + . C. 2 Ia = . D. 1 2 Ia = . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt 2 1 d 2d tx t x = + ⇒ = . Đổi cận: 13 xt = ⇒= ; 2 5 xt = ⇒= . //toanmath.com/ [ ] [ ] 55 33 11 1 dd 22 2 I ft t f x x a ⇒= = = ∫∫ . Câu 112: Cho [ ] 2 2 1 1 d 2 f x x x += ∫ . Khi đó [ ] 5 2 d I f x x = ∫ bằng A. 2. B. 1. C. 1 − . D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt 2 1 d 2d t x t x x = + ⇒ = Đổi cận: 12 xt = ⇒= ; 2 5 xt = ⇒= . Khi đó: [ ] [ ] [ ] 5 5 5 2 2 2 11 2 d d d 4. 22 f t t f x x I f x x = = ⇒= = ∫ ∫ ∫ . Câu 113: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 1; +∞ và [ ] 3 0 1d 8 fx x += ∫ . Tích phân [ ] 2 1 d I xf x x = ∫ bằng: A. 16 I = . B. 2 I = . C. 8 I = . D. 4 I = Hướng dẫn giải Chọn D [ ] 3 0 1d 8 I fx x = += ∫ . Đặt 2 1 12 dd t x t x tt x = + ⇒ = + ⇒ = ; đổi cận: 01 xt = ⇒= ; 3 2 xt = ⇒= . Khi đó [ ] 2 1 2 d8 I tf t t = = ∫ [ ] 2 1 d4 tf t t ⇒ = ∫ . Vậy [ ] 2 1 d4 I xf x x = = ∫ . Câu 114: Biết [ ] 11 1 d 18 f x x − = ∫ . Tính [ ] [ ] 2 2 0 2 3 1d I x fx x = +− ∫ . A. 5 I = . B. 7 I = . C. 8 I = D. 10 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 2 31 tx = − d 6d t x x ⇒= . Đổi cận 01 xt =⇒=− , 2 11 xt = ⇒= [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 11 2 2 0 0 0 1 11 2 3 1 d 2 d 3 1 d 4 d 4 .18 7 66 I x fx x x x xfx x f t t − = + − = + − =+ =+ = ∫ ∫∫ ∫ . Câu 115: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và [ ] 1 0 2d 8 f xx = ∫ . Tính [ ] 2 2 0 d I xf x x = ∫ A. 4. B. 16. C. 8. D. 32. Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2 2 2 d 2d d d x t x x t x x t =⇒ = ⇒= . Đổi cận: 00 xt = ⇒= , 2 1 xt = ⇒= . Ta có: [ ] 1 0 2d 8 I f tt = = ∫ . Câu 116: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và có [ ] [ ] 13 00 d 2; d 6 f x x f x x = = ∫∫ . Tính [ ] 1 1 2 1d I f x x − = − ∫ . A. 2 3 I = . B. 4 I = . C. 3 2 I = . D. 6 I = . Hướng dẫn giải //toanmath.com/ Chọn B Có [ ] [ ] [ ] 1 11 2 12 1 11 2 21 d 1 2 d 21 d I f x x f xx f x x I I −− = − = − + −=+ ∫ ∫∫ Tính [ ] 1 2 1 1 12 d I f xx − = − ∫ .Đặt 1 2 d 2d u x u x =− ⇒ = − . Đổi cận: 1 3 1 0 2 x u xu =−⇒ =    = ⇒=   . [ ] [ ] 03 1 30 11 du du 3 22 I fu fu − ⇒= = = ∫∫ Tính [ ] 1 2 1 2 2 1d I fx x = − ∫ . Đặt 2 1 d 2d ux u x = −⇒ = . Đổi cận: 11 1 0 2 xu xu = ⇒=    = ⇒=   . [ ] [ ] 11 2 00 11 du du 1 22 I fu fu ⇒ = = = ∫∫ Vậy 12 4 II I = += . Câu 117: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên [ ] 0;4 và [ ] 2 0 d1 f x x = ∫ ; ; [ ] 4 0 d 3 f x x = ∫ . Tính [ ] 1 1 3 1d fx x − − ∫ . A. 4. B. 2. C. 4 3 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn C [ ] [ ] [ ] 1 1/3 1 1 1 1/3 31 d 1 3 d 31 d f x x f x x f x x −− − = − + − ∫ ∫∫ . [ ] [ ] [ ] [ ] 1/3 1 1 1/3 11 13 d 13 3 1 d 3 1 33 f xx f xx − = − −− + −− ∫ ∫ . [ ] [ ] [ ] 02 40 11 dd 33 ft t ft t = − + ∫∫ [ ] 1 14 3 .1 3 33 = − −+ = . Câu 118: Cho [ ] f x là hàm số liên tục trên  và [ ] 1 0 d4 f x x = ∫ , [ ] 3 0 d6 f x x = ∫ . Tính [ ] 1 1 2 1d I f x x − = + ∫ . A. 3 I = . B. 5 I = . C. 6 I = . D. 4 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 2 1 ux = + 1 d d 2 x u ⇒= . Khi 1 x = − thì 1 u = − . Khi 1 x = thì 3 u = . Nên [ ] 3 1 1 d 2 I fu u − = ∫ [ ] [ ] 03 10 1 d d 2 fu u fu u −  = +   ∫∫ [ ] [ ] 03 10 1 dd 2 f uu f uu −  = −+   ∫∫ . //toanmath.com/ Xét [ ] 1 0 d4 f x x = ∫ . Đặt xu = − dd xu ⇒= − . Khi 0 x = thì 0 u = . Khi 1 x = thì 1 u = − . Nên [ ] 1 0 4d f x x = = ∫ [ ] 1 0 d f uu − −− ∫ [ ] 0 1 d f uu − = − ∫ . Ta có [ ] 3 0 d6 f x x = ∫ [ ] 3 0 d6 fu u ⇒= ∫ . Nên [ ] [ ] 03 10 1 dd 2 I f uu f uu −  = −+   ∫∫ [ ] 1 46 5 2 = + = . Câu 119: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa [ ] 1 0 2d 2 f xx = ∫ và [ ] 2 0 6 d 14 f xx = ∫ . Tính [ ] 2 2 5 2d fx x − + ∫ . A. 30. B. 32. C. 34. D. 36. Hướng dẫn giải Chọn B + Xét [ ] 1 0 2d 2 f xx = ∫ . Đặt 2 d 2d ux u x = ⇒= ; 00 xu = ⇒= ; 12 xu = ⇒= . Nên [ ] 1 0 2 2d f xx = ∫ [ ] 2 0 1 d 2 fu u = ∫ [ ] 2 0 d4 fu u ⇒= ∫ . + Xét [ ] 2 0 6 d 14 f xx = ∫ . Đặt 6 d 6d vx v x = ⇒= ; 00 xv =⇒= ; 2 12 x v = ⇒= . Nên [ ] 2 0 14 6 d f xx = ∫ [ ] 12 0 1 d 6 fv v = ∫ [ ] 12 0 d 84 fv v ⇒= ∫ . + Xét [ ] 2 2 5 2d fx x − + ∫ [ ] [ ] 02 20 5 2d 5 2d fx x fx x − = ++ + ∫∫ .  Tính [ ] 0 1 2 5 2d I fx x − = + ∫ . Đặt 5 2 tx = + . Khi 20 x −< < , 52 t x = −+ d 5d tx ⇒= − ; 2 12 xt =− ⇒ = ; 02 xt = ⇒= . [ ] 2 1 12 1 d 5 I ft t − = ∫ [ ] [ ] 12 2 0 0 1 dd 5 ft t ft t  = −   ∫∫ [ ] 1 84 4 16 5 = − = .  Tính [ ] 2 1 0 5 2d I fx x = + ∫ . Đặt 5 2 tx = + . Khi 02 x thì chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất 3 m = . Câu 134: Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 4 f x fx −= . Biết [ ] 3 1 d 5 xf x x = ∫ . Tính [ ] 3 1 d I fx x = ∫ . A. 5 2 I = . B. 7 2 I = . C. 9 2 I = . D. 11 2 I = . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] ; ab và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] [ ] ,; f a b x f x x ab +− = ∀ . Khi đó [ ] [ ] dd 2 bb aa ab xf x x f x x + = ∫ ∫ Chứng minh: Đặt t ab x = +− dd xt ⇒= − , với [ ] ; x ab ∈ . Đổi cận: khi xa t b = ⇒= ; khi x b t b = ⇒= Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] dd d bb a aa b xf x x xf a b x x a b t f t t = +− =− +− ∫∫ ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d dd d d b bb b b a aa a a a b t ft t a b ft t tft t a b f x x xf x x = +− = + − = + − ∫ ∫∫ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2d d d d 2 b bb b a aa a ab xf x x a b f x x xf x x f x x + ⇒ =+ ⇒ = ∫ ∫∫ ∫ . Áp dụng tính chất trên với 1 a = , 3 b = . [ ] f x liên tục trên [ ] ; ab và thỏa mãn [ ] [ ] 13 f x f x +− = . Khi đó [ ] [ ] [ ] 3 3 3 1 1 1 13 5 d dd 42 xf x x f x x f x x + = ⇒= ∫ ∫∫ . Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt 4 tx = − , với [ ] 1;3 x ∈ . Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3 3 3 33 1 1 1 11 d 4 d 4 d4 d . d xf x x xf x x t f t t f t t t f t t = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫∫ [ ] [ ] 33 11 5 54 d 5 d 2 f t t ft t ⇒ = − ⇒ = ∫ ∫ . Câu 135: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên đoạn [ ] 1;3 thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 4 , 1;3 f x f x x − = ∀∈ và [ ] 3 1 d2 xf x x = − ∫ . Giá trị [ ] 3 1 d f x x ∫ bằng A. 2 . B. 1 − . C. 2 − . D. 1. Hướng dẫn giải //toanmath.com/ Chọn B Xét 3 1 [ ]d I xf x x = ∫ [1]. Đặt 4 x t = − , ta có dd xt = − ; 13 xt = ⇒= , 31 xt = ⇒= . Suy ra [ ] 3 1 4 [4 ]d I tf t t =−− ∫ [ ] 3 1 4 [ ]d t ft t = − ∫ , hay [ ] 3 1 4 [] I x f x dx = − ∫ [2]. Cộng [1] và [2] vế theo vế ta được 3 1 2 4 [] I f x dx = ∫ 3 1 [] 1 2 I f x dx ⇒= = − ∫ . Câu 136: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ] 6;5 − , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị [ ] 5 6 2d I f x x − = +     ∫ . 1 7 TA. 1 7 T 2 35 I π = + . 1 7 TB. 1 7 T 2 34 I π = + . 1 7 TC. 1 7 T 2 33 I π = + . 1 7 TD. 1 7 T 2 32 I π = + . Hướng dẫn giải 1 7 TChọn D 1 7 TTa có 1 7 T [ ] 2 1 2 khi 6 2 2 1 4 khi 2 2 21 khi 2 5 33 xx f x x x xx  + − ≤ ≤−    = + − −≤ ≤    − ≤≤   1 7 T. [ ] [ ] 5 55 6 66 2d d 2 d I f x x f x x x − −− = += +     ∫ ∫∫ [ ] 22 5 2 62 2 1 21 2 d 1 4 d d 22 2 33 x x xx x x − −−     = + + +− + − +         ∫ ∫ ∫ 25 22 62 11 2 22 28 4 33 x x x J x J − −    = + ++ − + = +       . Tính [ ] 2 2 2 14 d J xx − = +− ∫ Đặt 2sin xt = d 2cos d x tt ⇒= . Đổi cận: Khi 2 x = thì 2 t π = − ; khi 2 x = thì 2 t π = . [ ] [ ] 2 22 22 2 22 1 4 d 44 cos d 42 1 cos 2 d 42 J x x tt t t ππ ππ π − −− = +− =+ =+ + =+ ∫ ∫∫ . Vậy 32 2 I π = + . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn : [ ] [ ] [ ] [ ] . .. . A f x Bu f u C f a b x g x ′ + + +− = O x y 5 4 − 6 − 1 − 3 //toanmath.com/ +] Với [ ] [ ] ua a ub b =    =   thì [ ] [ ] 1 bb aa f x dx g x dx A BC = + + ∫∫ . +] Với [ ] [ ] ua b ub a =    =   thì [ ] [ ] 1 bb aa f x dx g x dx ABC = −+ ∫∫ . Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số ,, A BC . Nếu [ ] f x liên tục trên [ ] ; ab thì [ ] [ ] bb aa f a b x dx f x dx +− = ∫∫ . Câu 137: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] [ ] 23 6 6 31 f x xf x x = − + . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ A. 2 . B. 4 . C. 1 − . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: [Dùng công thức] Biến đổi [ ] [ ] 23 6 6 31 f x xf x x = − + [ ] [ ] 23 6 2.3 . 31 f x x fx x ⇔ − = − + với 1 A = , 2 B = − . Áp dụng công thức ta có: [ ] [ ] 1 1 0 0 16 d d4 12 31 f x x x x = −= +− + ∫∫ . Cách 2: [Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức] Từ [ ] [ ] 23 6 6 31 f x xf x x = − + [ ] [ ] 11 1 23 00 0 1 d 23 d 6 d 31 f x x xf x x x x ⇒ − = − + ∫∫ ∫ Đặt 32 3 dx u x du x = ⇒ = ; Với 00 xu = ⇒= và 11 xu = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] 1 11 23 0 00 3 d d d xf x x f u u f x x = = ∫ ∫ ∫ thay vào [ ] * , ta được: [ ] [ ] 11 1 00 0 1 d2 d 6 d 31 f x x f x x x x −= − + ∫∫ ∫ [ ] 11 00 1 d6 d 4 31 f x x x x ⇔= = + ∫∫ . Câu 138: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 22 4 3 11 xf x f x x + −= − . Tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ bằng A. 4 I π = . B. 6 I π = . C. 20 I π = . D. 16 I π = Hướng dẫn giải Chọn C Từ [ ] [ ] [ ] [ ] 1 11 2 22 2 0 00 4. 3 1 1 2 2 d 3 1 d 1 d x fx f x x xfx x f x x x x + −= − ⇒ + − = − ∫ ∫∫ [ ] ∗ +] Đặt 2 d 2d u x u x x = ⇒= ; Với 00 xu = ⇒= và 11 xu = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] [ ] 1 11 2 0 00 2 d d d1 xf x x f u u f x x = = ∫ ∫ ∫ +] Đặt 1 dd t x t x =−⇒ =− ; Với 01 xt = ⇒= và 10 xt = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] [ ] 1 11 0 00 1d d d 2 f xx f t t f xx −= = ∫ ∫ ∫ Thay [ ] [ ] 1, 2 vào [ ] ∗ ta được: //toanmath.com/ [ ] [ ] 1 11 2 0 00 2 d3 d 1 d f x x f x x x x +=− ∫ ∫∫ [ ] 11 2 00 1 d 1d 5 20 f x x x x π ⇔ = − = ∫∫ . Câu 139: Cho hàm số [] fx liên tục trên [ ] 0;2 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 22 f x f x x + −= . Tính giá trị của tích phân [ ] 2 0 I f x dx = ∫ . A. 4 I = − . B. 1 2 I = . C. 4 3 I = . D. 2 I = . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: [Dùng công thức] Với [ ] [ ] 22 f x f x x + −= ta có 1 A = ; 1 B = , suy ra: [ ] 2 0 I f x dx = ∫ 2 0 1 2 11 x dx = + ∫ 2 2 0 2 x = 2 = . Cách 2: [Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức] Từ [ ] [ ] 22 f x f x x + −= [ ] [ ] 2 2 2 0 0 0 22 f x dx f x dx xdx ⇒ + − = ∫∫ ∫ 4 = [*] Đặt 2 ux = − du dx ⇒= − ; Với 0 x = 2 u ⇒ = và 2 x = 0 u ⇒= . Suy ra [ ] 2 0 2 f x dx − ∫ [ ] 2 0 f u du = ∫ [ ] 2 0 f x dx = ∫ . Thay vào [*], ta được [ ] 2 0 24 f x dx = ∫ [ ] 2 0 2 f x dx ⇔= ∫ . Câu 140: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn [ ] [ ] 2 31 1 f x f x x + −= − . Tích phân [ ] 1 0 d f x x ∫ bằng A. 2 3 . B. 1 6 . C. 2 15 . D. 3 5 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 1 dd t x x t =−⇒ =− . Suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 1 01 1 0 1 00 1d d d d f x x ft t ft t f x x −= − = = ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] [ ] 2 31 1 f x f x x + −= − [ ] 11 00 5 d 1 d f x x xx ⇔=− ∫∫ [ ] 1 3 0 22 1 33 x = − −= . Suy ra [ ] 1 0 2 d 15 f x x = ∫ . Chú ý: Ta có thể dùng công thức [ ] [ ] 22 11 dd x ax b x ax b f ax b x f x x + + + = ∫∫ . Khi đó: Từ [ ] [ ] 2 31 1 f x f x x + −= − suy ra: [ ] [ ] 11 1 00 0 2 d 3 1 d 1 d f xx f xx x x + −= − ∫∫ ∫ [ ] [ ] 10 1 01 0 2 d 3 1 d 1 d f xx f xx x x ⇔ − −= − ∫∫ ∫ [ ] [ ] 11 00 22 5 d d 3 15 f x x f x x ⇔ = ⇔= ∫∫ . Câu 141: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 2 31 1 f x f x x x − −= − . Tính tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . //toanmath.com/ A. 1 25 I = . B. 4 15 I = − . C. 1 15 I = − . D. 4 75 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Do [ ] [ ] 2 31 1 f x f x x x − −= − [ ] [ ] [ ] 12 11 1 00 0 2 d 31 d 1 d 1 II f xx f xx x x x ⇒ − −= − ∫∫ ∫      . + Xét [ ] 1 1 0 31 d I f xx = − ∫ : Đặt 1 dd t x x t =−⇒ =− . Khi 0 1; 1 0 x t x t = ⇒= = ⇒= . Khi đó [ ] 1 1 0 3 d 3 I ft t I = = ∫ . + Xét 1 2 0 1 d I x xx = − ∫ . Đặt 2 1 1 d 2 dt t xx t x t = −⇒ =− ⇒ = − . Khi 0 1; 1 0 x t x t = ⇒= = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] 0 0 53 2 2 1 1 22 4 1 2d 5 3 15 tt I tt t t  =−− = − =   ∫ . Thây vào [ ] 44 1 : 2 3 15 15 I I I − = ⇔= − . Câu 142: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 1;2 − và thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 23 2 2 31 4 f x xf x f x x + −+ − = . Tính giá trị của tích phân [ ] 2 1 I f x dx − = ∫ . A. 5 I = . B. 5 2 I = . C. 3 I = . D. 15 I = . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: [Dùng công thức – Dạng 2] Với: [ ] [ ] [ ] [ ] 23 2 2 31 4 f x xf x f x x + −+ − = . Ta có: 1; 1; 3 A BC = = = và 2 2 ux = − thỏa mãn [ ] [ ] 11 22 u u − = −    =   . Khi đó áp dụng công thức có: [ ] 2 2 2 4 3 1 1 1 1 4 dx 3 11 3 5 x I f x x − − − = = = = ++ ∫∫ . Cách 2: [Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức] Từ [ ] [ ] [ ] 23 2 2 31 4 f x xf x f x x + −+ − = . [ ] [ ] [ ] [ ] 22 2 2 23 11 1 1 dx 2 . 2 dx 3 1 dx 4 dx * f x xf x f x x −− − − ⇒ + − + − = ∫∫ ∫ ∫ +] Đặt 2 2 du 2 dx ux x = −⇒ = ; với 11 x u =−⇒ =− và 22 xu = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 2 1 11 2 . 2 dx du dx 1 xf x f u f x − −− −= = ∫ ∫∫ +] Đặt 1 dt dx tx =−⇒ =− ; Với 12 x t =−⇒ = và 21 xt = ⇒=− . Khi đó [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 11 1 dx dt dx 2 f x ft f x − − − −= = ∫ ∫ ∫ //toanmath.com/ Thay [ ] [ ] 1, 2 vào [ ] * ta được: [ ] [ ] 22 11 5 dx 15 dx 3 f x f x −− =⇒= ∫ ∫ . Câu 143: Hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 1;2 − và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 2 2 3. f x x xf x = ++ − Tính giá trị của [ ] 2 1 d I f x x − = ∫ A. 14 3 I = . B. 28 3 I = . C. 4 3 I = . D. 2 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: [ Dùng công thức]. Với [ ] [ ] 2 23 f x x xf x = ++ − [ ] [ ] [ ] 2 1 . 2x . 3 2 2 f x f x x ⇒ +− − = + 1 1; ; 0 2 AB C = = = và 2 3 ux = − thỏa mãn [ ] [ ] 12 21 u u − =    = −   Khi đó áp dụng công thức ta có: [ ] 22 11 1 28 d 2d = 1 3 10 2 I f x x x x −− = = + −+ ∫∫ . Cách 2: [ Dùng phương pháp đổi biến]. Từ [ ] [ ] 2 32 f x xf x x − −= + [ ] [ ] 22 2 2 11 1 14 d 3 d 2d 3 f x x xf x x x x −− − ⇒ − − = += ∫∫ ∫ [*] Đặt 2 3 d 2d u x u x x =− ⇒ = − với 12 21 x u xu =−⇒ =   =⇒= −  Khi đó [ ] 2 2 1 3d xf x x − −= ∫ [ ] [ ] 2 2 1 1 11 dd 22 fu u f x x − − = ∫ ∫ thay vào [*] ta được [ ] [ ] [ ] 22 2 11 1 1 14 28 dx d d = 23 3 f x f x x f x x −− − −=⇔ ∫∫ ∫ . Câu 144: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 2 1 1 31 1 f x xf x f x x + − + −= + . Tính giá trị của tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . A. 9 ln 2 2 I = . B. 2 ln 2 9 I = . C. 4 3 I = . D. 3 2 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: [Dùng công thức] Với: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 .2 1 3 1 2 2 f x xf x f x x − − − + −=. Ta có: 1 A = ; 1 2 B − = ; và 2 2 ux = − thỏa mãn [ ] [ ] 01 10 u u =    =   . Khi đó áp dụng công thức ta có: [ ] 1 0 d I f x x = ∫ 1 0 1d 1 1 13 2 x x = +   − − +     ∫ 1 2 ln 1 0 9 x = + 2 ln 2 9 = . Cách 2: [Dùng công thức đổi biến nếu không nhớ công thức] //toanmath.com/ Từ [ ] [ ] [ ] 2 1 1 31 1 f x xf x f x x + − + −= + [ ] [ ] [ ] 11 1 2 00 0 d 1 d3 1 d f x x xf x x f x x ⇒ + −+ − ∫ ∫ ∫ 1 0 1 d 1 x x = + ∫ 1 0 ln 1 ln 2 x = += . [*] +] Đặt 2 1 ux = − 2 du xdx ⇒ = − ; Với 0 1 xu = ⇒= và 10 xu = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] 1 11 2 0 00 11 1d d d 22 xf x x f u u f x x − = = ∫ ∫∫ [1]. +] Đặt 1 ux = − dd u x x ⇒= − ; Với 01 xt = ⇒= và 10 xt = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] 1 11 0 00 1d d d xf x x ft t ft t −= = ∫ ∫ ∫ [2]. Thay [1], [2] vào [*] ta được: [ ] [ ] [ ] 1 11 0 00 1 d d 3 d ln 2 2 f x x f x x f x x + += ∫ ∫ ∫ [ ] 1 0 9 d ln 2 2 f x x ⇒= ∫ [ ] 1 0 2 d ln 2 9 f x x ⇔= ∫ . Câu 145: Cho hàm số [ ] y f x = và thỏa mãn [ ] [ ] 3 34 2 8 0 1 x f x xf x x − += + . Tích phân [ ] 1 0 2 ab I f x dx c − = = ∫ với ,, abc ∈  và ; ab cc tối giản. Tính abc ++ A. 6 . B. 4 − . C. 4 . D. 10 − . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: [Dùng công thức]. Biến đổi [ ] [ ] 3 34 2 8 0 1 x f x xf x x − += + [ ] [ ] [ ] 3 34 2 2. 4 1 x f x x fx x ⇔ − = − + với 1; 2 AB = = − Áp dụng công thức ta có: [ ] [ ] 1 11 33 22 0 00 1 12 11 x x dx f x dx dx xx  = −=  +− ++  ∫ ∫∫ . Đặt 2 22 11 t x t x tdt xdx = + ⇒ = + ⇒ = ; Với 01 xt = ⇒= và 12 xt = ⇒= . Khi đó: [ ] 11 2 2 00 . 1 x f x dx xdx x = + ∫∫ 2 2 1 1 . t tdt t − = ∫ [ ] 2 2 1 1 t dt = − ∫ 2 3 1 3 t t  = −   22 3 − = 2 ab c − = Suy ra 2; 1; 3 6 a b c abc = = = ⇒ ++ = . Cách 2: [Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức] Từ [ ] [ ] 3 34 2 8 0 1 x f x xf x x − += + [ ] [ ] 1 1 1 3 34 2 0 0 0 2 4 0 [*] 1 x f x dx x f x dx dx x ⇔− + = + ∫∫ ∫ Đặt 4 3 4 u x du x dx = ⇒ = ; Với 00 xu = ⇒= và 11 xu = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] 1 11 34 0 00 4x f x dx f u du f x dx = = ∫ ∫∫ thay vào [*], ta được: [ ] [ ] 1 1 1 3 2 0 0 0 20 1 x f x dx f x dx dx x −+ = + ∫ ∫∫ [ ] 11 3 2 00 1 x f x dx dx x ⇔= + ∫∫ Đặt 2 22 11 t x t x tdt xdx = + ⇒ = + ⇒ = ; Với 01 xt = ⇒= và 12 xt = ⇒= . Khi đó: [ ] 11 2 2 00 . 1 x f x dx xdx x = + ∫∫ 2 2 1 1 . t tdt t − = ∫ [ ] 2 2 1 1 t dt = − ∫ 2 3 1 3 t t  = −   22 3 − = 2 ab c − = Suy ra 2; 1; 3 6 a b c abc = = = ⇒ ++ = . //toanmath.com/ Câu 146: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] ln 2;ln 2 − và thõa mãn [ ] [ ] 1 1 x f x f x e + − = + . Biết [ ] ln 2 ln 2 d ln 2 ln 3 f x x a b − = + ∫ , với , ab ∈  . Tính giá trị của P ab = + . A. 1 2 P = . B. 2 P = − . C. 1 P = − . D. 2 P = . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Dùng công thức Với [ ] [ ] 1 1 x f x f x e + − = + ta có 1; 1 AB = = , suy ra [ ] ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 d1 d d 11 1 2 1 xx xx f x x ee − −− = = ++ + ∫ ∫∫ Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến nếu không nhớ công thức Từ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1d d d* 11 x x x f x f x f x x f x x ee −− − + − = ⇒ + − = ++ ∫∫ ∫ Đặt dd ux u x =−⇒ =− [ ] [ ] [ ] ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 d du d f xx f u f xx − −− ⇒ − = = ∫ ∫∫ thay vào [ ] * ta được: [ ] [ ] ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 d 1d 2 d d 1 21 xx xx f x x f x x ee − −− − = ⇔= ++ ∫ ∫∫ ∫ Đặt d xx te dte x = ⇒= Với 1 ln 2 , ln 2 2 2 x tx t =− ⇒= = ⇒= [ ] [ ] 2 ln 2 ln 2 2 1 1 ln 2 ln 2 2 2 d dd ln ln 2 1 11 1 x x xx x ex t t e t t t e e −− ⇒= = = = + ++ + ∫∫ ∫ Khi đó: [ ] ln 2 , ln 2 11 d ln 2 ln 2 ln 3 , 0 22 ab f x x a b a b ∈ − = = + →= = ∫  1 2 P ab ⇒ = + = . Câu 147: Biết hàm số 2 y fx  = +   π là hàm số chẵn trên đoạn ; 22   −     ππ và [ ] sin cos 2 f x f x x x  + += +   π . Tính [ ] 2 0 I f x dx = ∫ π . A. 0 I = . B. 1 I = . C. 1 2 I = . D. 1 I = − . Hướng dẫn giải: Đặt 2 t x dt dx = −⇒ =− π Đổi cận: [ ] 0 22 00 2 . 2 22 I f t dt f t dt f x dx     ⇒= − − = − = −         ∫ ∫∫ ππ π π ππ [Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân] 2 0 2 fx  = +   ∫ π π    Vì 2 fx  +   π là hàm số chẵn 22 f xf x      ⇒ + = −           π π //toanmath.com/ Vậy [ ] [ ] [ ] 22 2 00 0 2 sin cos cos sin 1 1 2 2 I f x f x dx x x dx x x   = + + = + = − =−− =−     ∫ ∫ π π π π 1 I ⇒= − ⇒ Chọn D Câu 148: Cho hàm số [ ] y fx = có đạo hàm liên tục trên  , [ ] 00 f = và [ ] sin .cos 2 fx f x x x π + −=   với x ∀∈  . Giá trị của tích phân [ ] 2 0 xf x dx π ′ ∫ bằng A. 4 π − . B. 1 4 . C. 4 π . D. 1 4 − . Hướng dẫn giải Cách 1: [Dùng công thức] Với [ ] sin .cos 2 fx f x x x π + −=   , ta có 1; 1 A B = = . Suy ra [ ] 22 00 11 sin .cos . 11 4 f x dx x x dx ππ = = + ∫ ∫ . Cách 2: [Dùng phương pháp đổi biến – nếu nhớ công thức] Từ [ ] sin .cos 2 fx f x x x π + −=   [ ] 22 2 00 0 1 sin .cos 22 f x f x dx x xdx ππ π π ⇒ + − = =   ∫∫ ∫ [*] Đặt 2 u x du dx π =−⇒ = − Với 0; 0 22 x ux u ππ = ⇒ = = ⇒ = . Suy ra [ ] [ ] 2 22 0 00 2 f x dx f u du f x dx π ππ π − = =   ∫ ∫ ∫ , thay vào [*] ta được [ ] [ ] 22 00 11 2 24 f x dx f x dx ππ = ⇔ = ∫∫ [1] Đặt [ ] [ ] u x du dx dv f x dx v f x = =  ⇒  ′ = =   [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 22 0 00 0 22 xf x dx xf x f x dx f f x dx π π π π ππ  ′ ⇒ = − = −   ∫ ∫∫ [*] Từ điều kiện [ ] sin .cos 2 fx f x x x π + −=   suy ra [ ] [ ] 00 2 0 2 00 2 f f f ff  π  −=   π    ⇒=   π    + =     [2]. Thay [1], [2] vào [*], ta được [ ] 2 0 1 4 xf x dx π ′ = − ∫ . Chọn D Câu 149: Cho hàm số [ ] fx liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 2 2 1 2x 1 2x , 1 x ff x x + + − = ∀∈ +  . tính tích phân [ ] 3 1 I f x dx − = ∫ . A. 2 2 I π = − . B. 1 4 I π = − . C. 1 28 I π = − . D. 4 I π = . Hướng dẫn giải. Đặt 1 2 12 2 t x xt = + ⇒− = − và 1 2 t x − = , khi đó điều kiện trở thành //toanmath.com/ [ ] [ ] [ ] [ ] 22 22 21 2 1 22 25 2 5 tt x x f t f t f x f x tt x x − + − + +− = ⇒ +− = − + − + [*] Cách 1: [Dùng công thức] Với [ ] [ ] 2 2 21 2 25 xx fx f x xx −+ + −= −+ ta có 1; 1 A B = = . Suy ra [ ] 2 33 2 11 1 21 0,429 2 11 2 5 2 xx f x dx dx xx − − −+ π = ≈=− + −+ ∫∫ Chọn A Cách 2: [Dùng công thức đổi biến – nếu nhớ công thức] Từ [*], ta có [ ] [ ] 2 2 21 2 25 xx fx f x xx −+ + −= −+ [ ] [ ] 2 33 3 2 11 1 21 2 25 xx f x dx f x dx dx xx − − − −+ ⇒ + −= −+ ∫∫ ∫ [2*] Đặt 2 u x du dx =−⇒ = − . Với 1 3; 3 1 x u x u = − ⇒ = =⇒ = − . Suy ra [ ] [ ] [ ] 3 33 1 11 2 f x dx f u du f x dx − −− −= = ∫ ∫∫ , thay vào [*], ta được: [ ] 2 33 2 11 21 2 25 xx f x dx dx xx −− −+ = −+ ∫∫ [ ] 2 33 2 11 1 21 0,429 2- 2 25 2 xx f x dx dx xx −− −+ π ⇒ = ≈= −+ ∫∫ //toanmath.com/ TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt [ ] t ux = và [ ] t vx = để giải hệ phương trình hai ẩn [trong đó có ẩn [ ] fx ] để suy ra hàm số [ ] fx [nếu [ ] ux x = thì chỉ cần đặt một lần [ ] t vx = ]. Các kết quả đặc biệt: Cho [ ] [ ] [ ] .. A f ax b B f ax c g x + + −+ = với 22 AB ≠ ] khi đó [ ] 22 .. x b xc Ag B g aa fx AB −−     −     −     = − [*] +]Hệ quả 1 của [*]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 22 .. .. Ag x B g x A fx B f x g x fx AB −− + −= ⇒ = − +]Hệ quả 2 của [*]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] .. gx A fx B f x g x fx AB + −= ⇒ = + với [ ] gx là hàm số chẵn. Câu 150: Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên  và [ ] 1 23 fx f x x  + =   . Tính [ ] 2 1 2 fx I dx x = ∫ . A. 3 2 I = . B. 1 I = . C. 1 2 I = . D. 1 I = − . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt, 11 tx xt = ⇒= khi đó điều kiện trở thành [ ] [ ] 1 3 1 3 22 . f ft f x f t t xx    +=⇒ + =       Hay [ ] 16 42 fx f xx  + =   , kết hợp với điều kiện [ ] 1 23 fx f x x  + =   . Suy ra : [ ] [ ] 2 62 3 3x 1 fx fx x xx = − ⇒ = −⇒ [ ] 22 2 11 22 2 2 23 1 1 2 2 fx I dx dx x xx x −    = = − = − = ∫ ∫       . Chọn B Câu 151: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên { } \ 0  và thỏa mãn [ ] 2 15 23 3 2 x f x f x  + = −   , [ ] 9 3 d f x x k = ∫ . Tính 3 2 1 2 1 d If x x  =   ∫ theo k . A. 45 9 k I + = − . B. 45 9 k I − = . C. 45 9 k I + = . D. 45 2 9 k I − = . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 tx = ⇒ 1 dd 2 x t = . Đổi cận 1 1 2 3 3 2 xt xt = ⇒= = ⇒= . Khi đó 3 1 1 2 d 2 I f x t  =   ∫ . Mà [ ] 2 15 23 3 2 x f x f x  + = −   ⇔ [ ] 2 52 3 23 x f f x x  = − −   Nên [ ] [ ] [ ] 3 33 3 1 11 1 1 52 5 1 1 3 d d 3d 5 3d 2 23 4 3 3 x I f x x x x f x x f x x   = − − =− − =− −     ∫ ∫∫ ∫ [*] //toanmath.com/ Đặt 3 ux = ⇒ 1 dd 3 xx = . Đổi cận 13 3 9 xu x t = ⇒= =⇒= . Khi đó [ ] 9 3 1 45 5 d5 9 9 9 kk I ft t + =− − =− − =− ∫ . Câu 152: Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 2018 2 sin f x f x x x −+ = . Tính giá trị của [ ] 2 2 d I f x x π π − = ∫ . A. 2 2019 I = . B. 2 1009 I = . C. 4 2019 I = . D. 1 1009 I = . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: [Dùng công thức] Với [ ] [ ] 2018 2 sin f x f x x x −+ = ta có 1; 2018 AB = = Suy ra [ ] 2 2 d I f x x π π − = ∫ 2 2 1 2 sin d 1 2018 x x x π π − = + ∫ 4 2019 Casio = ⇒ Đáp án C Cách 2: Áp dụng Hệ quả 2: [ ] [ ] [ ] . A f x Bf x g x + − = [ ] [ ] gx f x AB ⇒= + với [ ] gx là hàm số chẵn. Ta có [ ] [ ] 2018 2 sin f x f x x x −+ = [ ] 2 sin 2019 xx f x ⇒= [ ] 2 2 d I f x x π π − = ∫ 2 2 2 sin d 2019 x x x π π − = ∫ 4 2019 Casio = ⇒ Đáp án C Câu 153: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 2018 x f x f x e −+ =. Tính giá trị của [ ] 1 1 I f x dx − = ∫ A. 2 1 2019e e I − = . B. 2 1 2018e e I − = . C. 0 I = . D. 2 1 e I e − = . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: [Dùng công thức]. Với [ ] [ ] 2018 x f x f x e −+ = ta có 1; 2018 AB = = . Suy ra [ ] 1 1 I f x dx − = ∫ 1 1 1 1 2018 x e dx − = + ∫ 1 1 1 2019 x e − = 2 1 2019e e − = . Cách 2: [Dùng công thức] Áp dụng Hệ quả 1: [ ] [ ] [ ] .. Af x B f x g x + − = [ ] [ ] [ ] 22 .. A g x B g x f x A B − − ⇒= − . Ta có: [ ] [ ] 2018 x f x f x e −+ = [ ] 2 2018 2018 1 xx ee f x − − ⇒= − [ ] [ ] 11 11 1 2018 2019.2017 xx f x dx e e dx − −− ⇒= − ∫∫ //toanmath.com/ 2 3 1 1,164.10 2019e e − − ≈≈ [Casio]. Câu 154: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn [ ] [ ] 2 2 2 1 12 fx f x x + −= . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [ ] y f x = tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. 22 yx = + . B. 46 yx = − . C. 26 yx = − . D. 42 yx = − . Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng kết quả “Cho [ ] [ ] [ ] .. A f ax b B f ax c g x + + −+ = [với 22 AB ≠ ] khi đó [ ] 22 . .g x b x c A g B a a f x A B −−    −       = − ”. Ta có [ ] [ ] [ ] 2 2 2 1 12 f x f x x gx + −= = [ ] 2 1 2. 22 21 xx gg f x −    −    −    ⇔= − [ ] 2 2 2 6 31 21 3 x x x x −− = = +− . Suy ra [ ] [ ] 12 14 f f =    ′=   , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: 42 yx = − . Câu 155: Cho [ ] f x là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn [ ] 1 0 2018 = ∫ f x dx và [ ] gx là hàm số liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 1 + − = gx g x , ∀∈  x . Tính tích phân [ ] [ ] 1 1 − = ∫ I f x g x dx . A. 2018 = I . B. 1009 2 = I . C. 4036 = I . D. 1008 = I . Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng Hệ quả [ ] [ ] [ ] .. + − = A g x B g x h x [ ] [ ] ⇒= + hx gx AB với [ ] hx là hàm số chẵn. Ta có: [ ] [ ] [ ] 1 + − == g x g x hx [ ] 11 11 2 ⇒= = + gx . Kết hợp với điều kiện [ ] f x là hàm số chẵn, ta có: [ ] [ ] [ ] 11 11 1 2 −− = = ∫ ∫ I f x g x dx f x dx [ ] 1 0 2018 = = ∫ f x dx . Chú ý: N ếu [ ] f x là hàm s ố chẵn, liên t ục trên [ ] [ ] [ ] 0 ; 2 − −⇒ = ∫∫ aa a a a f x dx f x dx . Câu 156: Cho số dương a và hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] f x f x a + − = , x ∀∈  . Giá trị của biểu thức [ ] d a a f x x − ∫ bằng A. 2 2a . B. a . C. 2 a . D. 2a . Hướng dẫn giải Chọn C //toanmath.com/ Đặt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d d dd aa a a aa a a x t f xx f t t f t t f xx − − −− = −⇒ = − − = − = − ∫∫ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 22 2d d d 2d 2 d a a aa a a a aa a f x x f x f x x a x f x x a f x x a − − −− − ⇒ = + − = ⇔ = ⇔ =   ∫ ∫ ∫∫ ∫ . Câu 157: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa điều kiện [ ] [ ] 2sin f x f x x + − = . Tính [ ] 2 2 d f x x π π − ∫ A. 1 − . B. 0 . C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử [ ] 2 2 d I f x x π π − = ∫ . Đặt tx = − dd tx ⇒= − , đổi cận 22 xt ππ =− → = 22 xt ππ = → =− . Khi đó [ ] [ ] 2 2 22 dd I ft t ft t ππ ππ − − = −= ∫∫ . Suy ra [ ] [ ] 2 2 2 d I f x f x x π π − = + −   ∫ 2 2 2sin 0 d xx π π − = = ∫ 20 I ⇒ = 0 I ⇒= Câu 158: Cho [] fx là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 2 2cos 2 f x f x x + − = − . Tính tích phân [ ] 3 2 3 2 d I f x x π π − = ∫ . A. 3 I = . B. 4 I = . C. 6 I = . D. 8 I = . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] [ ] 33 0 22 33 0 22 d dd I f x x f x x f x x π π π π − − = = + ∫ ∫ ∫ . Xét [ ] 0 3 2 d f x x π − ∫ Đặt dd tx t x =−⇒ =− ; Đổi cận: 33 22 xt ππ =− ⇒= ; 00 xt = ⇒= . Suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 33 00 22 33 00 22 d dt d d f xx f t f t t f xx ππ π π − =− −= − = − ∫ ∫∫ ∫ . //toanmath.com/ Theo giả thiết ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 33 22 00 2 2cos 2 d 2 2cos d f x f x x f x f x x x x ππ + − = − ⇔ + − = − ∫ ∫ [ ] [ ] 33 3 22 2 00 0 d d 2 sin d f xx f xx x x ππ π ⇔ + − = ∫∫ ∫ [ ] [ ] 33 0 22 3 0 00 2 d d 2 sin d 2 sin d f x x f x x xx xx π π π π − ⇔+ = − ∫ ∫ ∫∫ Câu 159: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên R và thỏa mãn [ ] [ ] 2 2cos 2 f x f x x + − = + . Tính [ ] 2 2 I f x dx − = ∫ π π . A. 1 I = − . B. 1 I = . C. 2 I = − . D. 2 I = . Hướng dẫn giải [ ] 2 2 I f x dx − = ∫ π π [1] Đặt t x dt dx =−⇒ =− Đổi cận: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 2 22 . I f t dt f t dt f x dx − −− ⇒= − − = − = − ∫ ∫ ∫ π ππ π ππ [2] [Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân] [1] + [2] [ ] [ ] 22 22 2 2 2cos 2 I f x f x dx xdx −− ⇒ = + − = +   ∫∫ ππ ππ [ ] 2 2 2 1 cos 2x dx − = += ∫ π π [ ] 2 22 2 2 2 2 22 2 2cos 2 cos 2 cos 2sin 2 1 1 4 xdx x dx xdx x − − −− = = = = −− =     ∫ ∫∫ π ππ π π π ππ 2 I ⇒= Chọn D Câu 160: Cho hàm số liên tục trên và . Tính A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D [ ] f x  [ ] [ ] 2 3 2 tan f x f x x −− = [ ] π 4 π 4 d f x x − ∫ π 1 2 − π 1 2 − π 1 4 + π 2 2 − //toanmath.com/ Cách 1: Ta có . Đặt , đổi cận , . Suy ra, Vậy Cách 2: [ Trắc nghiệm] Chọn [Thỏa mãn giả thiết]. Khi đó Câu 161: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] ln 2;ln 2 − và thỏa mãn [ ] [ ] 1 1 x f x f x e + − = + . Biết [ ] ln 2 ln 2 d ln 2 ln 3 f x x a b − = + ∫ [ ] ; ab ∈  . Tính P ab = + . A. 1 2 P = . B. 2 P = − . C. 1 P = − . D. 2 P = . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi [ ] ln 2 ln 2 d I f x x − = ∫ . Đặt tx = − ⇒ d d t x = − . Đổi cận: Với ln 2 x = − ⇒ ln 2 t = ; Với ln 2 x = ⇒ ln 2 t = − . Ta được [ ] ln 2 ln 2 d I f tt − = −− ∫ [ ] ln 2 ln 2 d f tt − = − ∫ [ ] ln 2 ln 2 d f xx − = − ∫ . Khi đó ta có: 2I [ ] [ ] ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 dd f xx f xx −− = + − ∫∫ [ ] [ ] ln 2 ln 2 d f x f x x − = = + −   ∫ ln 2 ln 2 1 d e1 x x − = + ∫ . Xét ln 2 ln 2 1 d e1 x x − + ∫ . Đặt e x u = ⇒ d ed x ux = Đổi cận: Với ln 2 x = − ⇒ 1 2 u = ; ln 2 x = 2 u ⇒=. π 4 2 π 4 tan d x x − ∫ 4 2 4 1 1d cos x x π π −  = −   ∫ [ ] π 4 π 4 tan xx − = − ππ 1 1 44   = − − −+     π 2 2 = − [ ] [ ] π 4 π 4 π 2 3 2d 2 f x f x x − ⇒− = − −   ∫ dd tx t x =−⇒ =− ππ 44 x t =− ⇒= π π 44 xt = ⇒=− [ ] [ ] π 4 π 4 3 2d f x f x x − −−   ∫ [ ] [ ] π 4 π 4 32 d ft f t t − = − −   ∫ [ ] [ ] π 4 π 4 32 d f x f x x − = − −   ∫ [ ] [ ] ππ 44 ππ 44 dd f xx f xx −− = − ∫∫ [ ] [ ] π 4 π 4 π 2 3 2d 2 f x f x x − ⇒− = −   ∫ [ ] π 4 π 4 π 2d 2 f x x − ⇔− = ∫ [ ] π 4 π 4 π d2 2 f x x − = − ∫ [ ] [ ] 2 tan f x f x x = − = [ ] ππ π 44 4 2 2 ππ π 44 4 1 d tan x d 1 d 2 cos 2 f x x x x x π −− −  = = −=−   ∫∫ ∫ //toanmath.com/ Ta được ln 2 ln 2 1 d e1 x x − + ∫ [ ] ln 2 ln 2 e d e e 1 x xx x − = + ∫ [ ] ln 2 ln 2 1 d 1 u uu − = + ∫ ln 2 ln 2 11 d 1 u uu −  = −  +  ∫ [ ] 2 1 2 ln ln 1 uu = −+ ln 2 = Vậy ta có 1 2 a = , 1 0 2 b ab = ⇒ + = . Câu 162: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 2 31 1 + −= − f x f x x x . Tính tích phân [ ] 1 0 = ∫ I f x dx . A. 4 15 = − I . B. 1 15 = I . C. 4 75 = I . D. 1 25 = I . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: [Dùng công thức] Với [ ] [ ] 2 31 1 + −= − f x f x x x ta có 2; 3 = = A B . Suy ra: [ ] 11 00 1 1 23 = − + ∫∫ f x dx x xdx [ ] 4 0,05 3 75 = = Casio . Áp dụng kết quả “Cho [ ] [ ] [ ] .. + + −+ = A f ax b B f ax c g x [Với 22 ≠ AB ] khi đó [ ] 22 .. −−    −    −    = − x b x c A g B g aa f x A B ” . Ta có: [ ] [ ] [ ] 2 31 1 + − = −= f x f x x x gx [ ] [ ] [ ] 2 2 2 31 23 − − ⇒= − gx g x f x [ ] 2 1 31 5 −− − = − x x x x . Suy ra: [ ] [ ] 11 00 2 1 31 5 −− − = = − ∫∫ x x x x I f x dx dx [ ] 4 0,05 3 75 = = Casio . Cách 3: [Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức] Từ [ ] [ ] 2 31 1 + −= − f x f x x x [ ] [ ] 11 1 00 0 2 31 1 ⇒ + −= − ∫∫ ∫ f x dx f x dx x xdx [ ] [ ] 4 0, 2 6 15 = = ∗ Casio Đặt 1 =−⇒ =− u x du dx ; Với 0 1 = ⇒= xu và 10 = ⇒= xu . Suy ra [ ] [ ] [ ] 1 11 0 00 1−= = ∫ ∫∫ f x dx f u du f x dx thay vào [ ] ∗ , ta được: [ ] [ ] 22 00 44 5 15 75 =⇔= ∫∫ f x dx f x dx . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 163: Cho [ ] f x và [ ] gx là hai hàm số liên tục trên [ ] 1,1 − và [ ] f x là hàm số chẵn, [ ] gx là hàm số lẻ. Biết [ ] 1 0 5 f x dx = ∫ và [ ] 1 0 7 g x dx = ∫ . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. [ ] 1 1 10 f x dx − = ∫ . B. [ ] 1 1 14 g x dx − = ∫ . //toanmath.com/ C. [ ] [ ] 1 1 10 f x g x dx − + =   ∫ . D. [ ] [ ] 1 1 10 f x g x dx − −=   ∫ . Hướng dẫn giải Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: Câu 164: Nếu hàm [ ] f x CHẴN thì [ ] [ ] 0 2 aa a f x dx f x dx − = ∫∫ 2. Nếu hàm [ ] f x LẺ thì [ ] 0 a a f x dx − = ∫ Nếu chứng minh thì như sau: Đặt [ ] [ ] [ ] 1 2 1 01 1 10 A A A f x dx f x dx f x dx −− = = + ∫ ∫ ∫     [ ] 0 1 1 A f x dx − = ∫ . Đặt tx = − dt dx ⇒= − Đổi cận: [ ] [ ] [ ] [ ] 0 11 1 1 00 . A f t dt f t dt f x dx ⇒= − − = − = − ∫ ∫ ∫ [Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân] [ ] 1 0 f x dx = ∫ [Do [ ] f x là hàm chẵn [ ] [ ] f x f x ⇒ − = ] Vậy [ ] [ ] [ ] 1 11 10 0 10 A f x dx f x dx f x dx − = = += ∫ ∫∫ [1] Đặt [ ] [ ] [ ] 1 2 1 0 1 1 10 B B B g x dx g x dx g x dx −− = = + ∫ ∫ ∫     [ ] 0 1 1 B g x dx − = ∫ . Đặt tx = − dt dx ⇒= − Đổi cận: [ ] [ ] [ ] [ ] 0 11 1 1 00 . B g t dt g t dt g x dx ⇒= − − = − = − ∫ ∫∫ [Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân] [ ] 1 0 g x dx = − ∫ [Do [ ] f x là hàm chẵn [ ] [ ] g x gx ⇒ − = − ] Vậy [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 0 0 0 B g x dx g x dx g x dx − == − + = ∫ ∫∫ [2] Từ [1] và [2] Chọn B Câu 165: 1 7 TCho hàm số 1 7 T [ ] y f x = 1 7 T là hàm lẻ và liên tục trên 1 7 T [ ] 4;4 − 1 7 T biết 1 7 T [ ] 0 2 d2 f xx − − = ∫ 1 7 T và 1 7 T [ ] 2 1 2d 4 f xx −= ∫ 1 7 T. Tính 1 7 T [ ] 4 0 d I f x x = ∫ 1 7 T. 1 7 TA. 1 7 T 10 I = − . 1 7 TB. 1 7 T 6 I = − . 1 7 TC. 1 7 T 6 I = . 1 7 TD. 1 7 T 10 I = . 1 7 THướng dẫn giải 1 7 TChọn B 1 7 TCách 1: Sử dụng công thức: 1 7 T [ ] [ ] 22 11 1 dd xx xx f ax b x f ax x a + = ∫∫ 1 7 T và tính chất 1 7 T [ ] d0 a a f x x − = ∫ 1 7 T với 1 7 T [ ] f x 1 7 T là hàm số lẻ trên đoạn 1 7 T [ ] ; aa − 1 7 T. //toanmath.com/ Áp dụng, ta có: • [ ] [ ] [ ] 2 42 24 1 11 4 2d d d 22 f xx f xx f xx − − − − =−= − = ∫ ∫∫ [ ] 2 4 d8 f x x − − ⇔= ∫ . • [ ] [ ] [ ] 0 02 20 2 2d f x x f x f x − =− = − = ∫ ∫∫ [ ] 2 0 2 f x ⇔ = ∫ Suy ra: [ ] [ ] [ ] [ ] 4 20 4 4 4 20 0d d d d f x x f x x f x x f x x − −− − = = + + ∫ ∫ ∫∫ [ ] [ ] [ ] 22 20 08 d d f x x f x x I − ⇔= + − + ∫∫ [ ] 0 8 02 6 II ⇔=+ − + ⇔= − . Cách 2: Xét tích phân [ ] 0 2 d2 f xx − − = ∫ . Đặt x t − = d dt x ⇒= − . Đổi cận: khi 2 x = − thì 2 t = ; khi 0 x = thì 0 t = do đó [ ] [ ] 00 22 d dt f x x ft − − = − ∫∫ [ ] 2 0 dt ft = ∫ [ ] 2 0 dt 2 ft ⇒= ∫ [ ] 2 0 d2 f x x ⇒= ∫ . Do hàm số [ ] y f x = là hàm số lẻ nên [ ] [ ] 22 f x fx −= − . Do đó [ ] [ ] 22 11 2d 2d f xx f xx −= − ∫∫ [ ] 2 1 2d 4 f xx ⇒= − ∫ . Xét [ ] 2 1 2d f xx ∫ . Đặt 2x t = 1 d dt 2 x ⇒= . Đổi cận: khi 1 x = thì 2 t = ; khi 2 x = thì 4 t = do đó [ ] [ ] 24 12 1 2 d dt 4 2 f x x ft = = − ∫∫ [ ] 4 2 dt 8 ft ⇒= − ∫ [ ] 4 2 d8 f x x ⇒= − ∫ . Do [ ] 4 0 d I f x x = ∫ [ ] [ ] 24 02 dd f x x f x x = + ∫ ∫ 28 6 =−=− . Câu 166: Cho hàm số chẵn [ ] y f x = liên tục trên  và [ ] 1 1 2 d8 1 2 x fx x − = + ∫ . Tính [ ] 2 0 d f x x ∫ . A. 2 . B. 4 . C. 8. D. 16. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có [ ] [ ] 12 1 2 2 d 8 d 16 1 2 12 x x f x f x xx − − = ⇔= + + ∫∫ . Đặt dd tx t x =−⇒ =− , khi đó [ ] [ ] [ ] 2 22 2 22 2 16 d dt d 12 12 12 t x tt f x f t ft Ix t −− − − − = == −= + ++ ∫ ∫∫ . Suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 22 2 2 2 0 2 2 d d d2 d 12 12 x xx f x f x I x x f x x f x x − −− = + == ++ ∫ ∫ ∫∫ . Vậy [ ] 2 0 d 16 f x x = ∫ . //toanmath.com/ Câu 167: Cho [ ] f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [ ] 1; 1 − và [ ] 1 1 d2 f x x − = ∫ . Kết quả [ ] 1 1 d 1e x f x Ix − = + ∫ bằng A. 1 I = . B. 3 I = . C. 2 I = . D. 4 I = . Hướng dẫn giải Chọn A [ ] [ ] [ ] 1 01 12 1 10 d dd 1e 1e 1e x xx f x f x f x I x x xI I −− ==+=+ + + + ∫ ∫∫ Xét [ ] 0 1 1 d 1e x f x Ix − = + ∫ Đặt dd xt x t =−⇒ =− , đổi cận: 00 xt = ⇒= , 11 x t =−⇒ = [ ] [ ] [ ] 0 1 1 1 0 e . dd 1e 1e t tt f x f x I tt − = −= ++ ∫∫ . Lại có [ ] [ ] 1 1 0 0 e . e . dd 1e 1e tx t x ft f x tx = ++ ∫∫ . Suy ra: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 11 1 1 1 0 00 0 1 1 e. e . 1 d d d d d d1 1e 1e 1e 1e 2 t t x tt t ft f x ft ft I x t x t ft t ft t −− + = = += = = = + ++ + ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ . Câu 168: Cho [ ] y f x = là hàm số chẵn và liên tục trên .  Biết [ ] [ ] 12 01 1 d d1 2 f x x f x x = = ∫∫ . Giá trị của [ ] 2 2 d 31 x f x x − + ∫ bằng A. 1. B. 6 . C. 4. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn Ta có: [ ] [ ] 0 dd 1 aa x a f x x f x x b − = + ∫ ∫ , với [ ] f x là hàm số chẵn và liên tục trên [ ] ; aa − . Áp dụng ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 12 2 0 01 ddd d 1 2 3 31 x f x x f x x f x x f x x − = = + = += + ∫ ∫ ∫∫ Cách 2: Do [ ] 1 0 d f x x = ∫ [ ] 2 1 1 d1 2 f x x = ∫ [ ] 1 0 d1 f x x ⇒= ∫ và [ ] 2 1 d2 f x x = ∫ [ ] [ ] 12 01 dd f x x f x x ⇒ + ∫∫ [ ] 2 0 d 3 f x x = = ∫ . Mặt khác [ ] 2 2 d 31 x f x x − = + ∫ [ ] [ ] 02 20 dd 31 31 xx f x f x x x − + + + ∫∫ và [ ] y f x = là hàm số chẵn, liên tục trên  [ ] [ ] f x f x x ⇒ − = ∀∈  . Xét [ ] 0 2 d 31 x f x Ix − = + ∫ . Đặt dd tx x t =−⇒ =− //toanmath.com/ Suy ra [ ] 0 2 d 31 x f x Ix − = = + ∫ [ ] 0 2 d = 31 t f t t − − − + ∫ [ ] 2 0 d = 1 1 3 t f t t − + ∫ [ ] 2 0 3 d = 31 t t ft t + ∫ [ ] 2 0 3 d 31 x x f x x + ∫ [ ] 2 2 d 31 x f x x − ⇒ = + ∫ [ ] [ ] 02 20 dd 31 31 xx f x f x x x − += + + ∫∫ [ ] [ ] 22 00 3 dd 31 31 x xx f x f x x x += ++ ∫∫ [ ] [ ] 2 0 31 d 31 x x f x x + = + ∫ [ ] 2 0 d 3 f x x = ∫ . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 “ Cho hàm số [ ] y fx = thỏa mãn [ ] g fx x  =  và [ ] gt là hàm đơn điệu [ luôn đồng biến hoặc nghịch biến] trên  .Hãy tính tích phân [ ] b a I f x dx = ∫ “ Cách giải: Đặt [ ] [ ] [ ] y f x x g y dx g y dy ′ = ⇒ = ⇒ = Đổi cận [ ] [ ] x a gy a y x b gy b y α β  = → = ⇔=   = → = ⇔=   Suy ra [ ] [ ] b a I f x dx yg y dy β α = = ∫ ∫ Câu 169: Cho hàm số [ ] fx liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 3 , f xf xx x + = ∀ ∈  . Tính [ ] 2 0 I f x dx = ∫ A. 2 I = . B. 3 2 I = . C. 1 2 I = . D. 5 4 I = . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt [ ] [ ] 32 31 y f x x y y dx y dy = ⇒ = + ⇒ = + Đổi cận 3 3 0 00 2 21 x yy y x yy y  = → +=⇔ =   = → += ⇔ =   Khi đó [ ] [ ] [ ] 21 1 2 3 00 0 5 31 3 4 I f x dx y y dy y y dy = = += + =⇒ ∫∫ ∫ đáp án D Câu 170: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 32 23 6 f x f x f x x − + = , x ∀∈  . Tính tích phân [ ] 5 0 d I f x x = ∫ . A. 5 4 I = . B. 5 2 I = . C. 5 12 I = . D. 5 3 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt [ ] 32 2 3 6 y fx x y y y = ⇒= − + [ ] 2 d 6 1 d x yy y ⇒ = −+ . Đổi cận: với 32 02 3 6 0 0 x yy y y = ⇒ − + = ⇔= và 32 52 3 6 5 1 x yy y y = ⇒ − + = ⇔= . Khi đó [ ] [ ] 11 2 00 d .6 1 d I f x x y y y y = = −+ ∫∫ [ ] 1 32 0 5 6d 2 y y yy = −+ = ∫ . //toanmath.com/ Câu 171: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  thỏa mãn [ ] [ ] 3 21 x f x f x ++ = , x ∀∈  . Tính [ ] 1 2 d I f x x − = ∫ . A. 7 4 I = . B. 7 2 I = . C. 7 3 I = . D. 5 4 I = . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt [ ] [ ] 32 2 1 d 3 2d y f x x y y x y y = ⇒ =− − + ⇒ =− − . Đổi cận: Với 3 2 21 2 1 x yy y =− ⇒− − +=−⇔ = ; 3 1 2 1 1 0 x yy y = ⇒− − + = ⇔ = . Khi đó: [ ] 0 2 1 7 3 2d 4 I yy y = −− = ∫ . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 Bài toán: “ Cho [ ] [ ] 2 . f x fa b x k +− = , khi đó [ ] d 2 b a x ba I k fx k − = = + ∫ Chứng minh: Đặt t ab x = +− [ ] [ ] 2 dt dx k fx ft = −   ⇒  =   và x a t b = ⇒ − ; x b t a = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] [ ] 2 fd d d1 bb b aa a x x xx I k k fx k k fx k ft = = = ++ + ∫∫ ∫ . [ ] [ ] [ ] fd d 1 2 bb aa x x x I k fx k k fx = += ++ ∫∫ [ ] 11 d b a x ba kk = − ∫ 2 ba I k − ⇒= . Câu 172: Cho hàm số [ ] f x liên tục và nhận giá trị dương trên [ ] 0;1 . Biết [ ] [ ] .1 1 f x f x −= với [ ] 0;1 x ∀∈ . Tính giá trí [ ] 1 0 d 1 x I f x = + ∫ A. 3 2 . B. 1 2 . C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 11 fx fx f x fx + = −+ [ ] [ ] [ ] 1 1 11 fx fx f x = ⇒ + −+ Xét [ ] 1 0 d 1 x I f x = + ∫ . Đặt 11 t xx t = −⇔ = − dd xt ⇒= − . Đổi cận: 01 xt = ⇒= ; 10 xt = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 01 1 1 1 00 0 d dd d 11 11 11 1 f x x tt x I ft ft f x f x = −=== +− +− +− + ∫∫∫ ∫ Mặt khác [ ] [ ] [ ] [ ] 11 1 1 00 0 0 d1 d d d1 1 1 1 [] f x x f x x xx f x f x f t + += == + + + ∫∫ ∫ ∫ hay 21 I = . Vậy 1 2 I = . Câu 173: Cho hàm số [ ] fx liên tục trên  , ta có [ ] 0 fx > và [ ] [ ] 0 . 2018 1 ff x − = . Giá trị của tích phân [ ] 2018 0 d 1 x I fx = + ∫ //toanmath.com/ A. 2018 I = . B. 0 I = C. 1009 I = D. 4016 Hướng dẫn giải Chọn C ta có I = [ ] 2018 0 1 2018 0 d 1009 1 2.1 x fx − = = + ∫ . Câu 174: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm, liên tục trên  và [ ] 0 f x > khi [ ] 0;5 x ∈ . Biết [ ] [ ] .5 1 f x f x −= , tính tích phân [ ] 5 0 d 1 x I f x + = ∫ . A. 5 4 I = . B. 5 3 I = . C. 5 2 I = . D. 10 I = . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 5 xt = − dd xt ⇒= − 0 5 x t = ⇒=; 5 0 x t = ⇒= [ ] [ ] [ ] 05 50 d d 15 1 I ft t t f t ft = ++ = − − ∫∫ [do [ ] [ ] 1 5 f f t t −= ] 5 0 2 d5 I t ⇒ = = ∫ 5 2 I ⇒= . Câu 175: Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 4 f x f x −= . Biết [ ] 3 1 d 5 xf x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 3 1 d f x x ∫ . A. 5 2 . B. 7 2 . C. 9 2 . D. 11 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 4 tx = − dd tx ⇒= − và 13 xt = ⇒= ; 31 xt = ⇒= . Khi đó: [ ] [ ] [ ] 33 11 5 d 4 4d xf x x t f t t = =−− ∫∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 33 11 4 4d 4 d xf x x xf x x = − −= − ∫∫ . Suy ra: [ ] [ ] [ ] 33 11 10 d 4 d xf x x x f x x = + − ∫∫ [ ] 3 1 5 4d 2 f x x = = ∫ . Câu 176: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên R và [ ] 0 f x > khi x ∈ [0; a] [ 0 a > ]. Biết [ ] [ ] .1 f x f a x −= , tính tích phân [ ] 0 1 a dx I f x = + ∫ . A. 2 a I = . B. 2 Ia = . C. 3 a I = . D. 4 a I = . Hướng dẫn giải: [ ] 0 1 a dx I f x = + ∫ [1] Đặt t a x dt dx =−⇒ =− Đổi cận: [ ] [ ] [ ] 0 00 11 11 1 aa a dt I dt dx f a t f a t f a x ⇒= − = = +− +− +− ∫∫ ∫ [2] [Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân] [1] + [2] [ ] [ ] 0 1 1 2 11 a I dx f x f a x  ⇒ = +  + +−  ∫ //toanmath.com/ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 00 11 2 1. 2 a f a x f x f a x f x dx dx dx a f x f a x f x f a x f a x f x + − + + + − + = = = = + − + + − + − + ∫ ∫ 2 a I ⇒= Chọn A Câu 177: Cho [ ] f x là hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;a thỏa mãn [ ] [ ] [ ] [ ] .1 0, 0; f x f a x f x x a −=    > ∀∈   và [ ] 0 d , 1 a x ba f x c = + ∫ trong đó b , c là hai số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó bc + có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. [ ] 11;22 . B. [ ] 0;9 . C. [ ] 7;21 . D. [ ] 2017;2020 . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Đặt dd t ax t x =−⇒ =− Đổi cận 0 ; 0. x t a x a t = ⇒= = ⇒= Lúc đó [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 0 d ddd d 1 11 1 1 1 a a a a a f x x x t xx I f x f a t f a x f x f x − = = = = = + +− +− + + ∫∫ ∫ ∫ ∫ Suy ra [ ] [ ] [ ] 00 0 d d 2 1d 11 aa a f x x x I I I xa f x f x = + = + = = + + ∫∫ ∫ Do đó 1 1; 2 3. 2 I a b c bc = ⇒ = = ⇒ += Cách 2. Chọn [ ] 1 f x = là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được 1 1; 2 3. 2 I a b c bc = ⇒ = = ⇒ += //toanmath.com/ TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 178: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 1;4 , đồng biến trên đoạn [ ] 1;4 và thỏa mãn đẳng thức [ ] 2. x xf x + [ ] 2 fx ′ =  , [ ] 1;4 x ∀∈ . Biết rằng [ ] 3 1 2 f = , tính [ ] 4 1 d I f x x = ∫ ? A. 1186 45 I = . B. 1174 45 I = . C. 1222 45 I = . D. 1201 45 I = . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có [ ] 2. x xf x + [ ] 2 fx ′ =  [ ] [ ] . 1 2 x f x f x ′ ⇒ + = [ ] [ ] 1 2 fx x f x ′ ⇒= + , [ ] 1;4 x ∀∈ . Suy ra [ ] [ ] dd 1 2 fx x xx C f x ′ = + + ∫∫ [ ] [ ] d dd 1 2 f x x xx C f x ⇔=+ + ∫∫ [ ] 3 2 2 1 2 3 f x x C ⇒+ = + . Mà [ ] 3 1 2 f = 4 3 C ⇒= . Vậy [ ] 2 3 2 2 4 1 3 3 2 x f x  +−   = . Vậy [ ] 4 1 1186 d 45 I f x x = = ∫ . Câu 179: Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm trên  thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 32 1 2 2 3 .e 0 f xx x fx fx −− ′ −= và [ ] 01 f = . Tích phân [ ] 7 0 . d xf x x ∫ bằng A. 27 3 . B. 15 4 . C. 45 8 . D. 5 7 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] [ ] 32 1 2 2 3 .e 0 f xx x fx fx −− ′ −= ⇔ [ ] [ ] [ ] 3 2 21 3 . .e 2 .e fx x f x f x x + ′ = Suy ra [ ] 3 2 1 e e fx x C + = + . Mặt khác, vì [ ] 01 f = nên 0 C = . Do đó [ ] 3 2 1 e e fx x + = [ ] 32 1 f x x ⇔=+ [ ] 3 2 1 f x x ⇔= + . Vậy [ ] 7 0 . d xf x x ∫ 7 3 2 0 . 1d xx x = + ∫ [ ] 7 3 22 0 1 1d 1 2 xx = ++ ∫ [ ] 7 3 22 0 3 1 1 8 x x  = + +  45 8 = . Câu 180: Cho hàm số [ ] 4 32 43 1 f x x x x x = + − −+ , x ∀∈  . Tính [ ] [ ] 1 2 0 .d I f x f x x ′ = ∫ . A. 2. B. 2 − . C. 7 3 − . D. 7 3 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt [ ] [ ] dd tf x tf x x ′ = ⇒= . Đổi cận: [ ] 0 01 x tf = ⇒= = , [ ] 1 12 x tf = ⇒= = . Khi đó 2 2 3 2 1 1 81 7 d 3 33 3 t I tt = = =−= ∫ . //toanmath.com/ Câu 181: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên khoảng [ ] 0;1 và [ ] 0 f x ≠ , [ ] 0;1 x ∀∈ . Biết rằng 1 2 fa  =   , 3 2 f b  =    và [ ] [ ] 24 x xf x f x ′ += − , [ ] 0;1 x ∀∈ . Tính tích phân [ ] 2 3 2 6 sin .cos 2sin 2 sin d xx x Ix f x π π + = ∫ theo a và b . A. 3 4 ab I ab   . B. 3 4 b a I ab   . C. 3 4 ba I ab   . D. 3 4 ab I ab   . Hướng dẫn giải Chọn D [ ] 0;1 x ∀∈ ta có: [ ] [ ] 24 x xf x f x ′ += − [ ] [ ] 42 x f x xf x ′ ⇔ += − [ ] [ ] 22 42 x x xf x x f x ′ ⇒+ = − [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 4 xf x x f x x x fx fx ′ − + ⇔= [ ] [ ] 22 2 4 x x x f x f x ′   + ⇔=       . Tính [ ] [ ] 22 33 22 66 sin .cos 2sin 2 sin .cos 4sin .cos sin sin dd xx x xx xx Ix x f x f x ππ ππ + + = = ∫∫ Đặt sin cos dd t x t xx = ⇒= , đổi cận 1 62 xt π = ⇒= , 3 32 xt π = ⇒= . Ta có [ ] 3 2 2 2 1 2 4 d tt It ft + = ∫ [ ] 3 2 2 1 2 t ft = 2 2 3 1 2 2 1 3 2 2 f f        = −        3 13 44 4 ab b a ab − = −= . Câu 182: Cho hàm số f liên tục, [ ] 1 f x >− , [ ] 00 f = và thỏa [ ] [ ] 2 12 1 f x x x f x ′ += + . Tính [ ] 3 f . A. 0 . B. 3. C. 7 . D. 9. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 12 1 1 1 fx x f x x x f x f x x ′ ′ += +⇔ = + + [ ] [ ] [ ] [ ] 33 3 33 2 2 00 0 00 2 d d 1 1 11 1 1 fx x x x f x x f x f x x ′ ⇔ = ⇔ += +⇔ += + + ∫ ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 31 0 1 1 31 2 3 3 ff f f ⇔ + − += ⇔ += ⇔ = . Câu 183: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và [ ] 5 2 d4 f x x = ∫ , [ ] 53 f = , [ ] 22 f = . Tính [ ] 2 32 1 1 d I xf x x ′ = + ∫ A. 3. B. 4 . C. 1. D. 6 . //toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 1 tx = + d 2d t x x ⇒= . 12 xt = ⇒= ; 2 5 xt = ⇒= . Khi đó [ ] [ ] 5 2 1 1d 2 I t ft t ′ = − ∫ . Đặt 1 d d ut u t = −⇒ = ; [ ] d d, v ft t ′ = chọn [ ] v ft = . [ ] [ ] [ ] 5 5 2 2 11 1d 22 I t ft ft t =− − ∫ [ ] [ ] [ ] 1 4 5 2 23 2 ff = − − = . Câu 184: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên đoạn [ ] 1;4 và thỏa mãn [ ] [ ] 21 ln f x x f x x x − = + . Tính tích phân [ ] 4 3 d I f x x = ∫ . A. 2 3 2ln 2 I = + . B. 2 2ln 2 I = . C. 2 ln 2 I = . D. 2ln 2 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] 4 1 d f x x ∫ [ ] 4 1 21 ln d f x x x x x  −  = +   ∫ [ ] 44 11 21 ln dd f x x x x x x − = + ∫∫ . Xét [ ] 4 1 21 d f x Kx x − = ∫ . Đặt 21 xt −= 1 2 t x + ⇒ = d d x t x ⇒= . [ ] 3 1 d K ft t ⇒= ∫ [ ] 3 1 d f x x = ∫ . Xét 4 1 ln d x Mx x = ∫ [ ] 4 1 ln d ln xx = ∫ 4 2 1 ln 2 x = = 2 2ln 2 . Do đó [ ] [ ] 43 2 11 d d 2ln 2 f x x f x x = + ∫∫ [ ] 4 2 3 d 2ln 2 f x x ⇒= ∫ . Câu 185: Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 16 2 2 1 4 cot . sin d d 1 fx xf x x x x π π = = ∫ ∫ . Tính tích phân [ ] 1 1 8 4 d fx x x ∫ . A. 3 I = . B. 3 2 I = . C. 2 I = . D. 5 2 I = . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt [ ] 2 2 1 4 cot . sin d 1 I xf x x π π = = ∫ , [ ] 16 2 1 d1 fx Ix x = = = ∫ .  Đặt 2 sin tx = d 2sin .cos d t x x x ⇒= 2 2sin .cot d x x x = 2 .cot d t x x = . //toanmath.com/ x 4 π 2 π t 1 2 1 [ ] 2 2 1 4 cot . sin d I xf x x π π = ∫ [ ] 1 1 2 1 .d 2 ft t t = ∫ [ ] 1 1 2 1 d 2 ft t t = ∫ [ ] [ ] 1 4 1 8 4 1 d4 24 fx x x = ∫ [ ] 1 4 1 8 4 1 d 2 fx x x = ∫ . Suy ra [ ] 1 4 1 1 8 4 d2 2 fx xI x = = ∫ Đặt tx = 2d d tt x ⇒= . x 1 16 t 1 4 [ ] 16 2 1 d fx Ix x = ∫ [ ] 4 2 1 2d ft tt t = ∫ [ ] 4 1 2d ft t t = ∫ [ ] [ ] 1 1 4 4 2 d4 4 fx x x = ∫ [ ] 1 1 4 4 2d fx x x = ∫ . Suy ra [ ] 1 2 1 4 4 11 d 22 fx xI x = = ∫ Khi đó, ta có: [ ] [ ] [ ] 1 11 4 1 11 8 84 4 44 d dd fx fx fx x xx x xx = + ∫ ∫∫ 15 2 22 = + = . Câu 186: Xét hàm số [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và thỏa mãn điều kiện [ ] [ ] 22 4. 3 1 1 xf x f x x + −= − . Tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ bằng: A. 4 I π = . B. 6 I π = . C. 20 I π = . D. 16 I π = . Hướng dẫn giải Chọn C Vì [ ] f x liên tục trên [ ] 0;1 và [ ] [ ] 22 4. 3 1 1 xf x f x x + −= − nên ta có [ ] [ ] 11 22 00 4. 3 1 d 1 d xf x f x x x x  +− = −  ∫∫ [ ] [ ] 11 1 2 2 00 0 4. d 3 1 d 1 d xf x x f x x x x ⇔ + −= − ∫∫ ∫ [ ] 1 . Mà [ ] 1 2 0 4. d xf x x ∫ [ ] [ ] 1 22 0 2d fx x = ∫ [ ] 2 1 0 2d tx ft t = → ∫ 2I = và [ ] 1 0 31 d f xx − ∫ [ ] [ ] 1 0 3 1 d1 fx x = − − − ∫ [ ] 1 1 0 3d ux fu u = − → ∫ 3I = Đồng thời 1 2 0 1d xx − ∫ 2 sin 2 0 1 sin .cos d xt t tt π = → − ∫ 2 2 0 cos d tt π = ∫ [ ] 2 0 1 1 cos 2 d 2 tt π = + ∫ 4 π = . Do đó, [ ] 1 ⇔ 23 4 II π += hay 20 I π = . //toanmath.com/ Câu 187: Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 11 f = , [ ] 1 2 0 9 d 5 fx x ′ =   ∫ và [ ] 1 0 2 d 5 f x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . A. 3 5 I = . B. 1 4 I = . C. 3 4 I = . D. 1 5 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 2 d 2d t x t x x tt = ⇒ = ⇒ = . Đổi cận 0 0; 1 1 x tx t = ⇒= = ⇒= Suy ra [ ] [ ] 11 00 d 2. d f x x tf t t = ∫∫ [ ] 1 0 1 .d 5 tf t t ⇔= ∫ . Do đó [ ] 1 0 1 . d 5 xf x x ⇔= ∫ Mặt khác [ ] [ ] [ ] 1 11 22 00 0 . d d 22 xx x f x x f x f x x ′ = − ∫∫ [ ] 1 2 0 1 d 22 x fx x ′ = − ∫ . Suy ra [ ] 1 2 0 11 3 d 2 2 5 10 x fx x ′ = −= ∫ [ ] 1 2 0 3 d 5 xf x x ′ ⇒ = ∫ Ta tính được [ ] 1 2 2 0 9 3d 5 xx = ∫ . Do đó [ ] [ ] [ ] 1 11 2 2 22 0 00 d 23 d 3 d 0 fx x x fx x x x ′′ − +=   ∫ ∫∫ [ ] [ ] 1 2 2 0 3 d0 fx x x ′ ⇔ −= ∫ [ ] 2 30 fx x ′ ⇔ −= [ ] 2 3 fx x ′ ⇔= [ ] 3 f x x C ⇔=+ . Vì [ ] 11 f = nên [ ] 3 f x x = Vậy [ ] 11 3 00 1 dd 4 I f x x x x = = = ∫∫ . //toanmath.com/ DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN BÀI TẬP Câu 188. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm [ ] fx ′ liên tục trên [ ] 0;2 và [ ] 23 f = , [ ] 2 0 d 3 f x x = ∫ . Tính [ ] 2 0 .d xf x x ′ ∫ . A. 3 − . B. 3. C. 0 . D. 6 . Câu 189. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm là [ ] ' fx liên tục trên đoạn [0; 1] và [ ] 12 f = . Biết [ ] 1 0 1 f x dx = ∫ , tính tích phân [ ] 1 0 .' I x f x dx = ∫ . A. 1 I = . B. 1 I = − . C. 3 I = . D. 3 I = − . Câu 190. Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn [ ] [ ] 1 0 1 ' 10 x f x dx += ∫ và [ ] [ ] 21 0 2 ff−= . Tính [ ] 1 0 I f x dx = ∫ . A. 8 I = . B. 8 I = − . C. 4 I = . D. 4 I = − . Câu 191. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;2 và thỏa mãn [ ] 2 16 f = , [ ] 2 0 d4 f x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 1 0 . 2d I x f x x ′ = ∫ . A. 12 I = . B. 7 I = . C. 13 I = . D. 20 I = . Câu 192. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn , . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 193. Cho hàm số   y fx  thỏa mãn   3 3 1 3 2, . fx x x x        Tính   5 1 . I x f x dx    . A. 5 4 . B. 17 4 . C. 33 4 . D. 1761 − . Câu 194. Cho hàm số [ ] f x liên tục trong đoạn [ ] 1;e , biết [ ] e 1 d1 f x x x = ∫ , [ ] e1 f = . Khi đó [ ] e 1 .ln d I f x xx ′ = ∫ bằng A. 4 I = . B. 3 I = . C. 1 I = . D. 0 I = . Câu 195. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn [ ] π sin .cos 2 f x f x x x   + −=     , với mọi x ∈  và [ ] 00 f = . Giá trị của tích phân [ ] π 2 0 .d xf x x ′ ∫ bằng A. π 4 − . B. 1 4 . C. π 4 . D. 1 4 − . [ ] y f x =  [ ] 21 f − = [ ] 2 1 2 4d 1 fx x − = ∫ [ ] 0 2 d xf x x − ′ ∫ 1 I = 0 I = 4 I = − 4 I = //toanmath.com/ Câu 196. Cho hàm số [ ] f x thỏa [ ] [ ] 0 11 ff = = . Biết [ ] [ ] 1 0 ' x e f x f x dx ae b +=+     ∫ . Tính biểu thức 2018 2018 Qa b = + . A. 8 Q = . B. 6 Q = . C. 4 Q = . D. 2 Q = . Câu 197. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm trên  thỏa mãn [ ] [ ] 2017 2018 2018 2018. .e x f x f x x ′−= với mọi x ∈  và [ ] 0 2018. f = Tính giá trị [ ] 1. f A. [ ] 2018 1 2019e f = . B. [ ] 2018 1 2018.e f − = . C. [ ] 2018 1 2018.e f = . D. [ ] 2018 1 2017.e f = . Câu 198. Cho hàm số [ ] y f x = với [ ] [ ] 0 11 ff = = . Biết rằng: [ ] [ ] 1 0 e de x f x f x x a b ′+=+   ∫ Tính 2017 2017 Qa b = + . A. 2017 21 Q = + . B. 2 Q = . C. 0 Q = . D. 2017 21 Q = − . Câu 199. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;5 và [ ] 5 10 f = , [ ] 5 0 d 30 xf x x ′ = ∫ . Tính [ ] 5 0 d f x x ∫ . A. 20 . B. 30 − . C. 20 − . D. 70 . Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [ ] 1;2 . Biết rằng [ ] 11 F = , [ ] 24 F = , [ ] 3 1 2 G = , [ ] 22 G = và [ ] [ ] 2 1 67 d 12 f x G x x = ∫ . Tính [ ] [ ] 2 1 d F x g x x ∫ A. 11 12 . B. 145 12 − . C. 11 12 − . D. 145 12 . Câu 201. Cho hàm số [ ] fx có đạo hàm liên tục trên [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] [ ] 1 0 2d 1 xf x x f ′  −=   ∫ . Giá trị của [ ] 1 0 d I fx x = ∫ bằng A. 2 − . B. 2 . C. 1 − . D. 1. Câu 202. Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên đoạn [ ] 1;2 và [ ] [ ] 2 1 1d x f x x a ′ −= ∫ . Tính [ ] 2 1 d fx x ∫ theo a và [ ] 2 bf = . A. ba − . B. ab − . C. ab + . D. ab −− . Câu 203. Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và [ ] 2 16 f = , [ ] 2 0 d4 f x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 1 0 . 2d I xf x x ′ = ∫ . A. 13 I = . B. 12 I = . C. 20 I = . D. 7 I = . Câu 204. Cho [ ] y fx = là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số [ ] y fx = đi qua điểm 1 ;4 2 M  −   và [ ] 1 2 0 dt 3 ft = ∫ , tính [ ] 0 6 sin 2 . sin d I xf x x π − ′ = ∫ . //toanmath.com/ A. 10 I = . B. 2 I = − . C. 1 I = . D. 1 I = − . Câu 205. Cho hàm số [ ] y f x = thỏa mãn [ ] [ ] 2 0 sin . d 0 xf x x f π = ∫ 1 = . Tính [ ] 2 0 cos . d I xf x x π ′ = ∫ . A. 1 I = . B. 0 I = . C. 2 I = . D. 1 I = − . Câu 206. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 2018 2 sin f x f x x x −+ = . Tính [ ] 2 2 d I f x x π π − = ∫ ? A. 2 2019 . B. 2 2018 . C. 2 1009 . D. 4 2019 . Câu 207. Cho hàm số [ ] f x và [ ] gx liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 0. 2 0 ff ′′ ≠ và [ ] [ ] [ ] 2e x g x f x x x ′ = − . Tính giá trị của tích phân [ ] [ ] 2 0 .d I f xg x x ′ = ∫ ? A. 4 − . B. e2 − . C. 4 . D. 2e − . Câu 208. Cho hàm số [ ] y fx = có đạo hàm và liên tục trên 0; 4 π    thỏa mãn 3 4 f π  =   , [ ] 4 0 d1 cos fx x x π = ∫ và [ ] 4 0 sin .tan . d 2 x xf x x π  =  ∫ . Tích phân [ ] 4 0 sin . d xf x x π ′ ∫ bằng: A. 4 . B. 2 3 2 2 + . C. 1 3 2 2 + . D. 6 . Câu 209. Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và [ ] 2 16 f = , [ ] 2 0 d4 f x x = ∫ . Tính 4 0 d 2 x I xf x  ′ =   ∫ A. 12 I = . B. 112 I = . C. 28 I = . D. 144 I = . Câu 210. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm cấp hai [ ] fx ′′ liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thoả mãn [ ] [ ] 1 01 ff = = , [ ] 0 2018 f ′ = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. [ ] [ ] 1 0 1 2018 f x xx ′′ −= − ∫ d . B. [ ] [ ] 1 0 11 f x xx −− ′′ = ∫ d . C. [ ] [ ] 1 0 1 2018 f x xx −= ′′ ∫ d . D. [ ] [ ] 1 0 11 f x xx − ′′ = ∫ d . Câu 211. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn 0 2 f π  =   , [ ] 2 2 d 4 fx x π π π ′ =   ∫ và [ ] 2 cos d 4 xf x x = ∫ π π π . Tính [ ] 2018 f π . A. 1 − . B. 0 . C. 1 2 . D. 1. Câu 212. Cho hàm số [ ] f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0; 2  . Biết [ ] 01 f = và [ ] [ ] 2 24 .2 e xx f x f x − −= , với mọi [ ] 0; 2 x ∈  . Tính tích phân [ ] [ ] [ ] 32 2 0 3 d x x f x I x f x −′ = ∫ . //toanmath.com/ A. 16 3 I = − . B. 16 5 I = − . C. 14 3 I = − . D. 32 5 I = − . Câu 213. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 10 f = và [ ] [ ] [ ] 11 2 2 00 e1 d 1e d 4 x f x x x f x x − ′ =+=   ∫∫ . Tính tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . A. 2e I = − . B. e2 I = − . C. e 2 I = . D. e1 2 I − = . Câu 214. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 1;2 thỏa mãn [ ] [ ] 2 2 1 1 1d 3 x f x x −= − ∫ , [ ] 20 f = và [ ] 2 2 1 d7 fx x ′ =   ∫ . Tính tích phân [ ] 2 1 d I f x x = ∫ . A. 7 5 I = . B. 7 5 I = − . C. 7 20 I = − . D. 7 20 I = . Câu 215. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 11 f = , [ ] 1 2 0 d 9 fx x ′ =   ∫ và [ ] 1 3 0 1 d 2 xf x x = ∫ . Tích phân [ ] 1 0 d f x x ∫ bằng A. 2 3 . B. 5 2 . C. 7 4 . D. 6 5 . Câu 216. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 4 π    và 0 4 f π  =   . Biết [ ] 4 2 0 d 8 f xx π π = ∫ , [ ] 4 0 sin 2 d 4 f x x x π π ′ = − ∫ . Tính tích phân [ ] 8 0 2d I f xx π = ∫ A. 1 I = . B. 1 2 I = . C. 2 I = . D. 1 4 I = . Câu 217. . Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và [ ] [ ] 0 10 ff + = . Biết [ ] 1 2 0 1 d 2 f xx = ∫ , [ ] [ ] 1 0 cos d 2 fx x x π π ′ = ∫ . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ . A. π . B. 1 π . C. 2 π . D. 3 2 π . Câu 218. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm [ ] fx ′ liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa [ ] 10 f = , [ ] [ ] 1 2 2 0 dx 8 fx π ′ = ∫ và [ ] 1 0 1 cos d 22 x f x x π   =     ∫ . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ . A. 2 π . B. π . C. 1 π . D. 2 π . Câu 219. Xét hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện [ ] 11 f = và [ ] 24 f = . Tính [ ] [ ] 2 2 1 21 d f x f x J x xx ′++   = −     ∫ . A. 1 ln 4 J = + . B. 4 ln 2 J = − . C. 1 ln 2 2 J = − . D. 1 ln 4 2 J = + . //toanmath.com/ Câu 220. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 11 2 2 00 e1 d 1e d 4 x f x x x f x x − ′ =+=   ∫∫ và [ ] 10 f = . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ A. e1 2 − . B. 2 e 4 . C. e2 − . D. e 2 . Câu 221. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 10 f = , [ ] 1 2 0 d7 fx x ′ =   ∫ và [ ] 1 2 0 1 d 3 xf x x = ∫ . Tích phân [ ] 1 0 d f x x ∫ bằng A. 7 5 . B. 1. C. 7 4 . D. 4 . //toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 188. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm [ ] fx ′ liên tục trên [ ] 0;2 và [ ] 23 f = , [ ] 2 0 d 3 f x x = ∫ . Tính [ ] 2 0 .d xf x x ′ ∫ . A. 3 − . B. 3. C. 0 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] 2 0 .d xf x x ′ ∫ [ ] [ ] 2 0 d x f x = ∫ [ ] [ ] 2 2 0 0 .d x f x f x x = − ∫ [ ] 22 3 3 f = −= . Câu 189. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm là [ ] ' fx liên tục trên đoạn [0; 1] và [ ] 12 f = . Biết [ ] 1 0 1 f x dx = ∫ , tính tích phân [ ] 1 0 .' I x f x dx = ∫ . A. 1 I = . B. 1 I = − . C. 3 I = . D. 3 I = − . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 1 0 .' I x f x dx = ∫ Đặt u x du dx =⇒ = , [ ] ' dv f x dx = chọn [ ] [ ] ' v f x dx f x = = ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11 1 0 00 . 1. 1 0. 0 2 1 1 I x f x f x dx f f f x dx ⇒=−=− −= −= ∫∫ Chọn A Câu 190. Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn [ ] [ ] 1 0 1 ' 10 x f x dx += ∫ và [ ] [ ] 21 0 2 ff−= . Tính [ ] 1 0 I f x dx = ∫ . A. 8 I = . B. 8 I = − . C. 4 I = . D. 4 I = − . Hướng dẫn giải [ ] [ ] 1 0 1' A x f x dx = + ∫ Đặt 1 u x du dx = + ⇒ = , [ ] ' dv f x dx = chọn [ ] v f x = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 11 1 1 0 0 00 0 1 . 2 [1] [0] 2 10 8 A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx ⇒= + −=− −= − = ⇒ = − ∫ ∫∫ ∫ Chọn B Câu 191. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;2 và thỏa mãn [ ] 2 16 f = , [ ] 2 0 d4 f x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 1 0 . 2d I x f x x ′ = ∫ . A. 12 I = . B. 7 I = . C. 13 I = . D. 20 I = . Hướng dẫn giải Chọn B //toanmath.com/ Đặt [ ] [ ] dd 2 d 2d 2 ux ux fx v f xx v =  =   ⇒  ′ = =     . Khi đó: [ ] [ ] [ ] [ ] 12 1 0 00 .2 2 1 1 16 1 2 d d .4 7 2 2 2 4 2 4 x f x f I f x x ft t = − = − =− = ∫∫ . Câu 192. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn , . Tính . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt , đổi cận , . . Đặt , . Vậy . Câu 193. Cho hàm số   y fx  thỏa mãn   3 3 1 3 2, . fx x x x        Tính   5 1 . I x f x dx    . A. 5 4 . B. 17 4 . UC. U 33 4 . D. 1761 − . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt         5 5 1 1 u x du dx I xfx fx dx dv f x dx v f x                . Từ           3 55 1 3 13 2 1 2 0 fx fx x x fx              , suy ra   5 1 23 . I f x dx   Đặt     2 3 3 3 3 1 32 dt x dx tx x ft x               Đổi cận: Với 3 1 1 3 1 0 t xx x        và 3 5 3 15 1 t xx x       . Khi đó       51 2 10 33 23 23 3 2 3 3 4 Casio I f x dx x x dx       Chọn C Câu 194. Cho hàm số [ ] f x liên tục trong đoạn [ ] 1;e , biết [ ] e 1 d1 f x x x = ∫ , [ ] e1 f = . Khi đó [ ] e 1 .ln d I f x x x ′ = ∫ bằng A. 4 I = . B. 3 I = . C. 1 I = . D. 0 I = . Hướng dẫn giải Chọn D [ ] y f x =  [ ] 21 f − = [ ] 2 1 2 4d 1 fx x − = ∫ [ ] 0 2 d xf x x − ′ ∫ 1 I = 0 I = 4 I = − 4 I = 2 4 d 2d tx t x = −⇒ = 1 2 xt =⇒=− 20 xt = ⇒= [ ] [ ] 20 12 1 1 2 4d d 2 f x x ft t − = − = ∫∫ [ ] 0 2 d2 ft t − ⇒= ∫ [ ] 0 2 d2 f x x − ⇒= ∫ dd ux u x =⇒= [ ] [ ] dd vf x x vf x ′ = ⇒= [ ] 0 2 d xf x x − ′ ∫ [ ] [ ] 0 0 2 2 d xf x f x x − − = − ∫ [ ] 2 22 f = −− 2.1 2 0 = − = //toanmath.com/ Cách 1: Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] e e e 1 11 1 .ln d .ln . d e 1 1 1 0 I f x x x f x x f x x f x ′ = = − = −=−= ∫ ∫ . Cách 2: Đặt [ ] [ ] d ln d dd x ux u x v fx x v f x  = =   →  ′ =    =  . Suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] ee e 1 11 .ln d ln d e 1 1 1 0 f x I f x x xf x x xf x ′ = = − = −=−= ∫ ∫ . Câu 195. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn [ ] π sin .cos 2 f x f x x x   + −=     , với mọi x ∈  và [ ] 00 f = . Giá trị của tích phân [ ] π 2 0 .d xf x x ′ ∫ bằng A. π 4 − . B. 1 4 . C. π 4 . D. 1 4 − . Hướng dẫn giải Chọn D Theo giả thiết, [ ] 00 f = và [ ] π sin .cos 2 f x f x x x   + −=     nên [ ] π 00 2 ff  +=   π 0 2 f  ⇔=   . Ta có: [ ] π 2 0 .d I xf x x ′ = ∫ [ ] π 2 0 d x f x =   ∫ [ ] [ ] π π 2 2 0 0 d xf x f x x = −   ∫ Suy ra: [ ] π 2 0 d I f x x = − ∫ . Mặt khác, ta có: [ ] π sin .cos 2 f x f x x x   + −= ⇒     [ ] 2 2 2 0 0 0 1 d d sin .cos d 22 f x x f x x x xx π π π π  + −= =     ∫∫ ∫ Suy ra: [ ] [ ] 0 2 2 0 0 2 11 dd d 22 4 f x x f x x f x x π π π π  − −=⇔ =     ∫ ∫ ∫ Vậy [ ] π 2 0 1 d 4 I f x x = − = − ∫ . Câu 196. Cho hàm số [ ] f x thỏa [ ] [ ] 0 11 ff = = . Biết [ ] [ ] 1 0 ' x e f x f x dx ae b +=+     ∫ . Tính biểu thức 2018 2018 Qa b = + . A. 8 Q = . B. 6 Q = . C. 4 Q = . D. 2 Q = . Hướng dẫn giải [ ] [ ] [ ] [ ] 12 1 1 1 0 0 0 '' x x x AA A e f x f x dx e f x dx e f x dx = += +     ∫ ∫∫     [ ] 1 1 0 x A e f x dx = ∫ //toanmath.com/ Đặt [ ] [ ] ' u f x du f x dx = ⇒ = , x dv e dx = chọn x ve = [ ] [ ] 2 1 1 1 0 0 .' xx A A e f x e f x dx ⇒= − ∫    Vậy [ ] [ ] [ ] [ ] 11 22 00 .1 0 1 xx A ef x A A ef x e f f e = − + = = − =− 2018 2018 1 11 2 1 a a b b =  ⇒ ⇒ + = +=  = −  Chọn D Câu 197. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm trên  thỏa mãn [ ] [ ] 2017 2018 2018 2018. .e x f x f x x ′−= với mọi x ∈  và [ ] 0 2018. f = Tính giá trị [ ] 1. f A. [ ] 2018 1 2019e f = . B. [ ] 2018 1 2018.e f − = . C. [ ] 2018 1 2018.e f = . D. [ ] 2018 1 2017.e f = . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: [ ] [ ] 2017 2018 2018 2018. .e x f x f x x ′−= [ ] [ ] 2017 2018 2018. 2018. e x f x f x x ′ − ⇔= [ ] [ ] 11 2017 2018 00 2018. d 2018. d e x f x f x x xx ′ − ⇔= ∫∫ [ ] 1 Xets [ ] [ ] 1 2018 0 2018. d e x f x f x Ix ′ − = ∫ [ ] [ ] 11 2018 2018 00 .e d 2018. .e d xx f xx f xx −− ′ = − ∫∫ Xét [ ] 1 2018 1 0 2018. .e d x I f x x − = ∫ . Đặt [ ] [ ] 2018 2018 dd d 2018.e d e xx uf x uf x x v xv −− ′ =  =  ⇒  = = −   . Do đó [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2018 1 2018 2018 10 0 . e .e d 1 .e 2018 xx x I f x f x x I f −− − ′ = − + ⇒= − ∫ Khi đó [ ] 1 [ ] 2018 2018 1 0 1 .e 2018 x fx − ⇔ −= [ ] 2018 1 2019.e f ⇒= . Câu 198. Cho hàm số [ ] y f x = với [ ] [ ] 0 11 ff = = . Biết rằng: [ ] [ ] 1 0 e de x f x f x x a b ′+=+   ∫ Tính 2017 2017 Qa b = + . A. 2017 21 Q = + . B. 2 Q = . C. 0 Q = . D. 2017 21 Q = − . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt [ ] [ ] dd d ed e x x uf x uf x x v xv ′ =  =  ⇒  = =   . [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 11 2 1 0 00 e d e ed ed x xx x f x fx x f x fx x fx x ′ ′′ += − +   ∫ ∫∫ [ ] [ ] e1 0 ff = − e1 = − . Do đó 1 a = , 1 b = − . Suy ra 2017 2017 Qa b = + [ ] 2017 2017 1 10 = +− = . Vậy 0 Q = . //toanmath.com/ 4 5 TCâu 199. 4 5 TCho4 5 T hàm số 4 5 T [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;5 và [ ] 5 10 f = , [ ] 5 0 d 30 xf x x ′ = ∫ . Tính [ ] 5 0 d f x x ∫ . 4 5 TA. 4 5 T20 4 5 T. B. 4 5 T 30 − 4 5 T. C. 4 5 T 20 − 4 5 T. D. 4 5 T70 4 5 T. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt [ ] [ ] dd dd ux u x vf x x vf x =⇒=    ′ = ⇒=   [ ] [ ] [ ] [ ] 55 5 0 00 . d. d xf x x xf x f x x ′ = − ∫∫ [ ] [ ] 5 0 30 5 5 d f f x x ⇔= − ∫ [ ] [ ] 5 0 d 5 5 30 20 f x x f ⇔ = −= ∫ . Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [ ] 1;2 . Biết rằng [ ] 11 F = , [ ] 24 F = , [ ] 3 1 2 G = , [ ] 22 G = và [ ] [ ] 2 1 67 d 12 f x G x x = ∫ . Tính [ ] [ ] 2 1 d F x g x x ∫ A. 11 12 . B. 145 12 − . C. 11 12 − . D. 145 12 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt [ ] [ ] d u F x dv g x x =    =   [ ] [ ] dd u f x x v Gx =   ⇒  =   [ ] [ ] 2 1 d F x g x x ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 1 1 d F x G x f x G x x = − ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 2 2 11 d F G F G f x G x x = −− ∫ 3 67 4.2 1. 2 12 = −− 11 12 = . Câu 201. Cho hàm số [ ] fx có đạo hàm liên tục trên [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] [ ] 1 0 2d 1 xf x x f ′  −=   ∫ . Giá trị của [ ] 1 0 d I fx x = ∫ bằng A. 2 − . B. 2 . C. 1 − . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] 1 0 2d xf x x ′  −   ∫ [ ] 11 00 . d 2d xf x x x x ′ = − ∫∫ [ ] 1 1 2 0 0 d x fx x  = −  ∫ [ ] [ ] 1 1 0 0 . d1 x fx fx x = −− ∫ [ ] 11 fI = − − . Theo đề bài [ ] [ ] 1 0 2d 1 xf x x f ′  −=   ∫ 1 I ⇒= − . //toanmath.com/ Câu 202. Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên đoạn [ ] 1;2 và [ ] [ ] 2 1 1d x f x x a ′ −= ∫ . Tính [ ] 2 1 d fx x ∫ theo a và [ ] 2 bf = . A. ba − . B. ab − . C. ab + . D. ab −− . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 1 d d ux u x = −⇒ = ; [ ] dd v f x x ′ = chọn [ ] v fx = . [ ] [ ] 2 1 1d x f x x ′ − ∫ [ ] [ ] [ ] 2 2 1 1 1d x fx fx x =−− ∫ [ ] [ ] 2d b a f fx x = − ∫ [ ] 2 1 b fx = − ∫ . Ta có [ ] [ ] 2 1 1d x f x x a ′ −= ∫ [ ] 2 1 d b fx x a ⇔ − = ∫ [ ] 2 1 d fx x b a ⇔= − ∫ . Câu 203. Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và [ ] 2 16 f = , [ ] 2 0 d4 f x x = ∫ . Tính tích phân [ ] 1 0 . 2d I xf x x ′ = ∫ . A. 13 I = . B. 12 I = . C. 20 I = . D. 7 I = . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt [ ] [ ] dd 1 d 2d 2 2 ux ux v f xx v fx =  =   ⇒  ′ = =     . Khi đó, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 11 0 0 00 1 1 11 1 . 2 2d 2 2d 8 2d 2 2 22 2 I x fx fx x f fx x fx x =−=−= − ∫ ∫∫ . Đặt 2 d 2d tx t x = ⇒= . Với 00 xt = ⇒= ; 12 xt = ⇒= . Suy ra [ ] 2 0 1 8 d 81 7 4 I ft t = − = −= ∫ . Câu 204. Cho [ ] y fx = là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số [ ] y fx = đi qua điểm 1 ;4 2 M  −   và [ ] 1 2 0 dt 3 ft = ∫ , tính [ ] 0 6 sin 2 . sin d I xf x x π − ′ = ∫ . A. 10 I = . B. 2 I = − . C. 1 I = . D. 1 I = − . Hướng dẫn giải Chọn B Xét tích phân [ ] [ ] 00 66 sin 2 . sin d 2sin . sin .cos d I xf x x xf x x x ππ −− ′′ = = ∫ ∫ . Đặt: sin d cos d t x t x x = ⇒= . Đổi cận: 1 62 00 xt xt π  =− ⇒=−    = ⇒=  . [ ] 0 1 2 2 . d I tf t t − ′ ⇒= ∫ . //toanmath.com/ Đăt: [ ] [ ] 2 d 2d dd ut u t vf t t vf t = =  ⇒  ′ = =   . [ ] [ ] [ ] 0 0 1 1 2 2 0 1 2 . 2d 2d 1 2 2 I t ft ft t f f t t − −  ⇒= − = − −  −  ∫∫ .  Đồ thị hàm số [ ] y fx = đi qua điểm 1 ;4 2 M  −   1 4 2 f  ⇒ − =   .  Hàm số [ ] y fx = là hàm số chẵn, liên tục trên  ⇒ [ ] [ ] [ ] 11 0 22 1 00 2 d d d 3 ft t ft t f x x − = = = ∫ ∫∫ . Vậy 4 2.3 2 I=−= − . Câu 205. Cho hàm số [ ] y f x = thỏa mãn [ ] [ ] 2 0 sin . d 0 xf x x f π = ∫ 1 = . Tính [ ] 2 0 cos . d I xf x x π ′ = ∫ . A. 1 I = . B. 0 I = . C. 2 I = . D. 1 I = − . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt [ ] d [ ]d d sin d cos ′ = ⇒=    = ⇒=−   uf x uf x x v x x v x [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 0 0 0 sin . d cos . cos . d xf x x xf x xf x x π π π ′ ⇒ = −+ ∫∫ . [ ] 2 0 cos . d I xf x x π ′ ⇒= ∫ [ ] [ ] 2 2 0 0 sin . d cos . xf x x xf x π π = + ∫ 1 1 = − 0 = . Câu 206. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 2018 2 sin f x f x x x −+ = . Tính [ ] 2 2 d I f x x π π − = ∫ ? A. 2 2019 . B. 2 2018 . C. 2 1009 . D. 4 2019 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có [ ] [ ] [ ] 22 22 2018 d 2 sin d f x f x x x x x ππ ππ −− −+ = ∫∫ [ ] [ ] 2 22 2 22 d 2018 d 2 sin d f xx f xx x x x π π π π π π − − − ⇔ −+ = ∫ ∫∫ [ ] 22 22 2019 d 2 sin d f x x x x x π π π π − − ⇔= ∫∫ [ ] 1 + Xét 2 2 2 sin d P x x x π π − = ∫ //toanmath.com/ Đặt 2 d sin d ux v x x =   =  d 2d cos ux vx =  ⇒  = −  [ ] 22 22 2 . cos sin 4 Px x x ππ ππ −− =− += Từ [ ] 1 suy ra [ ] 2 2 d I f x x π π − = ∫ 4 2019 = . Câu 207. Cho hàm số [ ] f x và [ ] gx liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn [ ] [ ] 0. 2 0 ff ′′ ≠ và [ ] [ ] [ ] 2e x g x f x x x ′ = − . Tính giá trị của tích phân [ ] [ ] 2 0 .d I f xg x x ′ = ∫ ? A. 4 − . B. e2 − . C. 4 . D. 2e − . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] [ ] 2e x g x f x x x ′ = − [ ] [ ] 0 20 gg ⇒ = = [vì [ ] [ ] 0. 2 0 ff ′′ ≠ ] [ ] [ ] 2 0 .d I f xg x x ′ = ∫ [ ] [ ] 2 0 d f x gx = ∫ [ ] [ ] [ ] 2 0 . f x gx = [ ] [ ] 2 0 .d gx f x x ′ − ∫ [ ] 2 2 0 2 ed 4 x x xx = −− = ∫ . Câu 208. Cho hàm số [ ] y fx = có đạo hàm và liên tục trên 0; 4 π    thỏa mãn 3 4 f π  =   , [ ] 4 0 d1 cos fx x x π = ∫ và [ ] 4 0 sin .tan . d 2 x xf x x π  =  ∫ . Tích phân [ ] 4 0 sin . d xf x x π ′ ∫ bằng: A. 4 . B. 2 3 2 2 + . C. 1 3 2 2 + . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: [ ] 4 0 sin . d I xf x x π ′ = ∫ . Đặt [ ] [ ] sin d cos d dd u x u x x vf x x vf x = =  ⇒  ′ = =   . [ ] [ ] 4 4 0 0 sin . cos . d I xf x xf x x π π = − ∫ 1 3 2 2 I = − . [ ] 4 0 2 sin .tan . d x xf x x π  =  ∫ [ ] 4 2 0 sin . d cos fx x x x π  =   ∫ [ ] [ ] 4 2 0 1 cos . d cos fx xx x π  = −   ∫ . [ ] [ ] 44 00 d cos . d cos fx x xf x x x ππ   = −     ∫∫ 1 1 I = − . 1 1 I ⇒= − 3 2 1 2 I ⇒= + 3 2 2 2 + = . Câu 209. Cho hàm số [ ] f x liên tục trên  và [ ] 2 16 f = , [ ] 2 0 d4 f x x = ∫ . Tính 4 0 d 2 x I xf x  ′ =   ∫ A. 12 I = . B. 112 I = . C. 28 I = . D. 144 I = . Hướng dẫn giải Chọn B //toanmath.com/ Đặt dd 2 ux x vf x =     ′ =     dd 2 2 ux x vf =   ⇒   =     . Khi đó 4 0 d 2 x I xf x  ′ =   ∫ 4 4 0 0 2 2d 22 xx xf f x   = −     ∫ 1 128 2I = − với 4 1 0 d 2 x If x  =   ∫ . Đặt d 2d 2 x u xu = ⇒= , khi đó 4 1 0 d 2 x If x  =   ∫ [ ] 2 0 2d fu u = ∫ [ ] 2 0 2 d8 f x x = = ∫ . Vậy 1 128 2 II = − 128 16 112 = −= . Câu 210. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm cấp hai [ ] fx ′′ liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thoả mãn [ ] [ ] 1 01 ff = = , [ ] 0 2018 f ′ = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. [ ] [ ] 1 0 1 2018 f x xx ′′ −= − ∫ d . B. [ ] [ ] 1 0 11 f x xx −− ′′ = ∫ d . C. [ ] [ ] 1 0 1 2018 f x xx −= ′′ ∫ d . D. [ ] [ ] 1 0 11 f x xx − ′′ = ∫ d . Hướng dẫn giải Chọn A Xét [ ] [ ] 1 0 1 I f x x x ′′ = − ∫ d [ ] [ ] [ ] 1 0 1d x fx ′ − = ∫ Đặt [ ] [ ] 1 dd ux v fx = −    ′ =   [ ] dd ux v fx = −   ⇔  ′ =   [ ] [ ] [ ] 1 0 1 0 1 d I xf x fx x ′ ⇔ ′ =−+ ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 1 1 1 0 f f f x ′′ =− −+   [ ] [ ] [ ] 0 10 f ff ′ = −+ −   [ ] 2018 1 1 2018 = − +− = − . Câu 211. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn 0 2 f π  =   , [ ] 2 2 d 4 fx x π π π ′ =   ∫ và [ ] 2 cos d 4 xf x x = ∫ π π π . Tính [ ] 2018 f π . A. 1 − . B. 0 . C. 1 2 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có [ ] [ ] [ ] 2 22 cos d sin sin d xf x x xf x xf x x ππ π π ππ ′ = −     ∫∫ . Suy ra [ ] 2 sin d 4 xf x x π π π ′ = − ∫ . Hơn nữa ta tính được 2 2 22 1 cos 2 2 sin 2 sin d d 2 44 x xx x x x π ππ π ππ π −−  = = =   ∫∫ . //toanmath.com/ Do đó: [ ] [ ] [ ] 2 22 2 22 2 0 00 0 d 2 sin d sin d 0 sin d 0 fx x xfx x x x fx x x π ππ π ′′ ′ + + = ⇔+ =       ∫ ∫∫ ∫ . Suy ra [ ] sin fx x ′ = − . Do đó [ ] cos f x x C = + . Vì 0 2 f π  =   nên 0 = C . Ta được [ ] cos f x x = [ ] [ ] 2018 cos 2018 1 f π π ⇒= = . Câu 212. Cho hàm số [ ] f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0; 2  . Biết [ ] 01 f = và [ ] [ ] 2 24 .2 e xx f x f x − −= , với mọi [ ] 0; 2 x ∈  . Tính tích phân [ ] [ ] [ ] 32 2 0 3 d x x f x I x f x −′ = ∫ . A. 16 3 I = − . B. 16 5 I = − . C. 14 3 I = − . D. 32 5 I = − . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Theo giả thiết, ta có [ ] [ ] 2 24 .2 e xx f x f x − −= và [ ] f x nhận giá trị dương nên [ ] [ ] 2 24 ln . 2 ln e xx f x f x + −=     ⇔ [ ] [ ] 2 ln ln 2 2 4 f x f x x x + −= − . Mặt khác, với 0 x = , ta có [ ] [ ] 0. 2 1 f f = và [ ] 01 f = nên [ ] 21 f = . Xét [ ] [ ] [ ] 32 2 0 3 d x x f x I x f x −′ = ∫ , ta có [ ] [ ] [ ] 2 32 0 3. d f x I xx x f x ′ = − ∫ Đặt [ ] [ ] 32 3 d d ux x fx v x f x  = −  ′  =   [ ] [ ] 2 d 3 6d ln u x x x v f x  = −  ⇒  =   Suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 32 2 0 0 3 ln 3 6 .ln d I x x f x x x f x x  = − − −  ∫ [ ] [ ] 2 2 0 3 6 .ln d x x f x x = −− ∫ [ ] 1 . Đến đây, đổi biến 2 x t = − dd xt ⇒= − . Khi 02 xt = → = và 20 xt = → = . Ta có [ ] [ ] [ ] 0 2 2 3 6 .ln 2 d I tt f t t = − − −− ∫ [ ] [ ] 2 2 0 3 6 .ln 2 d t t f tt = −− − ∫ Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên [ ] [ ] 2 2 0 3 6 .ln 2 d I x x f xx = −− − ∫ [ ] 2 . Từ [ ] 1 và [ ] 2 ta cộng vế theo vế, ta được [ ] [ ] [ ] 2 2 0 2 3 6 . ln ln 2 d I x x f x f x x = −− + −   ∫ Hay [ ] [ ] 2 22 0 1 3 6 .2 4 d 2 I x x x x x = − − − ∫ 16 5 = − . Cách 2 [Trắc nghiệm] Chọn hàm số [ ] 2 2 e xx f x − = , khi đó: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 32 2 22 32 2 00 3 .e . 2 2 16 d 3 .2 2 d 5 e xx xx xx x I x xx x x − − −− − = = − − = ∫∫ . Câu 213. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 10 f = và [ ] [ ] [ ] 11 2 2 00 e1 d 1e d 4 x f x x x f x x − ′ =+=   ∫∫ . Tính tích phân [ ] 1 0 d I f x x = ∫ . //toanmath.com/ A. 2e I = − . B. e2 I = − . C. e 2 I = . D. e1 2 I − = . Hướng dẫn giải Chọn B Xét [ ] [ ] 1 0 1e d x A x f x x = + ∫ . Đặt [ ] [ ] d 1 ed x u f x v x x =    = +   [ ] dd e x u fx x vx ′ =  ⇒  =   Suy ra [ ] [ ] 1 1 0 0 e ed x x A x f x x f x x ′ = − ∫ [ ] 1 0 ed x x f x x ′ = − ∫ [ ] 1 2 0 1e ed 4 x x f x x − ′ ⇒ = ∫ Xét 1 1 2 22 2 2 0 0 1 1 1 e1 e d e 2 2 4 4 x x x x x x −  = −+ =   ∫ . Ta có [ ] [ ] 1 11 2 22 0 00 d 2 e d e d 0 xx fx x x fx x x x ′′ + +=   ∫ ∫∫ [ ] [ ] 1 2 0 ed 0 x fx x x ′ ⇔ += ∫ Suy ra [ ] e0 x fx x ′ + = [ ] 0;1 x ∀∈ [do [ ] [ ] 2 e0 x fx x ′ + ≥ [ ] 0;1 x ∀∈ ] [ ] e x fx x ′ ⇒= − [ ] [ ] 1e x f x x C ⇒ =−+ Do [ ] 10 f = nên [ ] [ ] 1e x f x x = − Vậy [ ] [ ] [ ] 11 1 0 00 d 1 ed 2 e e 2 xx I f x x x x x = =− =−=− ∫∫ . Câu 214. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 1;2 thỏa mãn [ ] [ ] 2 2 1 1 1d 3 x f x x −= − ∫ , [ ] 20 f = và [ ] 2 2 1 d7 fx x ′ =   ∫ . Tính tích phân [ ] 2 1 d I f x x = ∫ . A. 7 5 I = . B. 7 5 I = − . C. 7 20 I = − . D. 7 20 I = . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt [ ] [ ] dd uf x uf x x ′ = ⇒= , [ ] [ ] 3 2 1 d 1 d 3 x v x x v − = − ⇒= Ta có [ ] [ ] 2 2 1 1 1d 3 x f x x −= − ∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 2 33 2 1 1 1 1 . d 3 3 x x f x f x x − − ′ = − ∫ [ ] [ ] 2 3 1 11 1d 33 x fx x ′ ⇔− = − − ∫ [ ] [ ] 2 3 1 1 d1 x fx x ′ ⇔ − = ∫ [ ] [ ] 2 3 1 2.7 1 d 14 x fx x ′ ⇒− − =− ∫ Tính được [ ] 2 6 1 49 1 d 7 xx −= ∫ [ ] 2 2 1 d fx x ′ ⇒  ∫ [ ] [ ] 2 3 1 2.7 1 d x fx x ′ − − ∫ [ ] 2 6 1 49 1 d 0 xx + −= ∫ [ ] [ ] 2 2 3 1 7 1 d0 x fx x   ′ ⇒ − − =   ∫ [ ] [ ] 3 71 fx x ′ ⇒=− [ ] [ ] 4 71 4 x f x C − ⇒= + . Do [ ] 20 f = [ ] [ ] 4 71 7 44 x f x − ⇒= − . Vậy [ ] 2 1 d I f x x = ∫ [ ] 4 2 1 71 7 d 44 x x   − = −       ∫ 7 5 = − . //toanmath.com/ Câu 215. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 11 f = , [ ] 1 2 0 d 9 fx x ′ =   ∫ và [ ] 1 3 0 1 d 2 xf x x = ∫ . Tích phân [ ] 1 0 d f x x ∫ bằng A. 2 3 . B. 5 2 . C. 7 4 . D. 6 5 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: [ ] 1 2 0 d 9 fx x ′ =   ∫ [ ] 1 - Tính [ ] 1 3 0 1 d . 2 xf x x = ∫ Đặt [ ] 3 d .d u f x v xx =   =   [ ] 4 dd 4 u fx x x v ′ =  ⇒  =   [ ] 1 3 0 1 d 2 xf x x ⇒= ∫ [ ] 1 4 0 . 4 x f x  =   [ ] 1 4 0 1 .d 4 xf x x ′ − ∫ [ ] 1 4 0 11 .d 44 xf x x ′ = − ∫ [ ] 1 4 0 . d1 xf x x ′ ⇒= − ∫ [ ] 1 4 0 18 . d 18 xf x x ′ ⇒ = − ∫ [ ] 2 - Lại có: 1 1 9 8 0 0 1 d 99 x xx = = ∫ 1 8 0 81 d 9 xx ⇒= ∫ [ ] 3 - Cộng vế với vế các đẳng thức [ ] 1 , [ ] 2 và [ ] 3 ta được: [ ] [ ] 1 2 4 8 0 18 . 81 d 0 fx x fx x x  ′′ + + =    ∫ [ ] 1 4 0 9 d0 fx x x ′ ⇔ +=  ∫ [ ] 1 4 0 . 9 d0 fx x x π ′ ⇔ +=  ∫ Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số [ ] 4 9 y fx x ′ = + , trục hoành Ox , các đường thẳng 0 x = , 1 x = khi quay quanh Ox bằng 0 [ ] 4 90 fx x ′ ⇒ += [ ] 4 9 fx x ′ ⇒= − [ ] [ ].d f x f x x ′ ⇒= ∫ 4 9 5 xC = −+ . Lại do [ ] 11 f = 14 5 C ⇒= [ ] 5 9 14 55 f x x ⇒ = −+ [ ] 1 0 d f x x ⇒= ∫ 1 5 0 9 14 d 55 xx  −+   ∫ 1 6 0 3 14 5 10 5 2 xx  =−+ =   . Câu 216. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 4 π    và 0 4 f π  =   . Biết [ ] 4 2 0 d 8 f xx π π = ∫ , [ ] 4 0 sin 2 d 4 f x x x π π ′ = − ∫ . Tính tích phân [ ] 8 0 2d I f xx π = ∫ A. 1 I = . B. 1 2 I = . C. 2 I = . D. 1 4 I = . Hướng dẫn giải Chọn D //toanmath.com/ 1 7 TTính 1 7 T [ ] 4 0 sin 2 d 4 f x x x π π ′ = − ∫ . Đặt [ ] [ ] sin 2 2cos 2 d d dd x u x x u f x x v f x v = =   ⇒  ′ = =   , khi đó [ ] [ ] [ ] 4 4 4 0 0 0 sin 2 d sin 2 . 2 cos2 d f x x x x f x f x x x π π π ′ = − ∫∫ [ ] [ ] 4 0 sin . sin0. 0 2 cos2d 24 f f f x x x π ππ  = −−   ∫ [ ] 4 0 2 cos2 d f x x x π = − ∫ . Theo đề bài ta có [ ] 4 0 sin 2 d 4 f x x x π π ′ = − ∫ ⇒ [ ] 4 0 cos2 d 8 f x x x π π = ∫ . Mặt khác ta lại có 4 2 0 cos 2 d 8 x x π π = ∫ . Do [ ] [ ] [ ] 4 4 2 22 0 0 cos2 d 2 .cos2 cos 2 d f x x x f x f x x x x π π  −= − +   ∫∫ 20 8 8 8 π π π  = − +=   nên [ ] cos 2 f x x = . Ta có 8 8 0 0 11 cos 4 d sin 4 44 I x x x π π = = = ∫ . Câu 217. . Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và [ ] [ ] 0 10 ff + = . Biết [ ] 1 2 0 1 d 2 f xx = ∫ , [ ] [ ] 1 0 cos d 2 fx x x π π ′ = ∫ . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ . A. π . B. 1 π . C. 2 π . D. 3 2 π . Hướng dẫn giải 1 7 TChọn C Đặt [ ] [ ] cos dd ux v fx x π =    ′ =   [ ] [ ] d sin d u xx v f x ππ = −   ⇒  =   . Khi đó: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 0 0 0 cos d cos sin d f x x x x f x f x x x π π ππ ′ = + ∫∫ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11 00 1 0 sin d sin d f f f x x x f x x x ππ ππ = −+ + = ∫∫ [ ] [ ] 1 0 1 sin d 2 f x x x π ⇒= ∫ . Cách 1: Ta có Tìm k sao cho [ ] [ ] 1 2 0 sin d 0 f x k x x π − =   ∫ Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 11 1 2 2 22 0 00 0 sin d d 2 sin d sin d f x k x x f xx k f x xx k xx π ππ − =− +   ∫ ∫∫ ∫ //toanmath.com/ 2 1 0 1 22 k kk = −+ = ⇔ = . Do đó [ ] [ ] 1 2 0 sin d 0 f x x x π −=   ∫ [ ] [ ] sin f x x π ⇒= [do [ ] [ ] 2 sin 0 f x x π − ≥   x ∀∈  ]. Vậy [ ] [ ] 11 00 2 d sin d f xx xx π π = = ∫∫ . Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 d d. d b bb a aa f x g xx f xx g xx  ≤   ∫ ∫∫ . Dấu “ = ” xảy ra [ ] [ ] . f x kg x ⇔= , [ ] ; x ab ∀∈ . Áp dụng vào bài ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 11 22 0 00 11 sin d d . sin d 44 f x xx f xx xx ππ  = ≤=   ∫ ∫∫ , suy ra [ ] [ ] .sin f x k x π = , k ∈  . Mà [ ] [ ] [ ] 11 2 00 11 sin d sin d 1 22 f x xx k xx k ππ = ⇔ = ⇔= ∫∫ [ ] [ ] sin f x x π ⇒= Vậy [ ] [ ] 11 00 2 d sin d f xx xx π π = = ∫∫ . Câu 218. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm [ ] fx ′ liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa [ ] 10 f = , [ ] [ ] 1 2 2 0 dx 8 fx π ′ = ∫ và [ ] 1 0 1 cos d 22 x f x x π   =     ∫ . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ . A. 2 π . B. π . C. 1 π . D. 2 π . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt [ ] [ ] dd 2 sin d cos d 2 2 u fx x u f x x x v vx π π π ′ =  =   ⇒  = =    Do đó [ ] 1 0 1 cos d 22 x f x x π   =     ∫ [ ] [ ] 1 1 0 0 22 1 sin sin d 2 22 x f x x f x x ππ ππ   ′ ⇔− =     ∫ [ ] 1 0 sin d 24 xf x x ππ   ′ ⇔= −     ∫ . Lại có: 1 2 0 1 sin d 22 xx π   =     ∫ [ ] [ ] 2 1 11 2 0 00 2 2 . d 2 sin d sin d 2 2 I fx x x fx x x x π π π π         ′′ ⇒= − − − +                 ∫ ∫∫ [ ] 2 1 2 2 0 2 4 21 sin d . 0 2 8 22 fx x x π ππ π ππ     ′ = − − = − + =         ∫ Vì [ ] 2 2 sin 0 2 fx x π π     ′ −− ≥         trên đoạn [ ] 0;1 nên //toanmath.com/ [ ] 2 1 0 2 sin d 0 2 fx x x π π     ′ −− =         ∫ [ ] 2 =sin 2 fx x π π   ′ ⇔−     [ ] = sin 22 fx x ππ   ′ ⇔−     . Suy ra [ ] =cos 2 f x x C π   +     mà [ ] 10 f = do đó [ ] =cos 2 f x x π       . Vậy [ ] 11 00 2 d cos d 2 f x x x x π π   = =     ∫∫ . Câu 219. Xét hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện [ ] 11 f = và [ ] 24 f = . Tính [ ] [ ] 2 2 1 21 d f x f x J x xx ′++   = −     ∫ . A. 1 ln 4 J = + . B. 4 ln 2 J = − . C. 1 ln 2 2 J = − . D. 1 ln 4 2 J = + . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Ta có [ ] [ ] 2 2 1 21 d f x f x J x xx ′++   = −     ∫ [ ] [ ] 2 22 22 1 11 21 dd d f x f x xx x x x xx ′  = − +−   ∫ ∫ ∫ . Đặt [ ] [ ] 2 1 1 dd dd u ux xx vf x x vf x  = = −  ⇒   ′ = =  [ ] [ ] 2 2 1 21 d f x f x J x xx ′++   = −     ∫ [ ] [ ] [ ] 2 22 2 22 2 1 11 1 1 21 . dd d f x f x f x x x x x x x xx  = + − +−   ∫∫ ∫ [ ] [ ] 2 1 1 11 2 1 2ln ln 4 22 ff x x  = − + + =+   . Cách 2: [ ] [ ] 2 2 1 21 d f x f x J x xx ′++   = −     ∫ [ ] [ ] 2 22 1 21 d xf x f x x x xx ′ −  = + −     ∫ [ ] 22 2 11 21 dd f x xx x xx ′    = +−       ∫∫ [ ] 2 1 11 2ln ln 4 2 f x x x x  = + + =+   . Cách 3: [ Trắc nghiệm] Chọn hàm số [ ] f x ax b = + . Vì [ ] [ ] 11 3 2 24 f a b f =  =   ⇒  = − =    , suy ra [ ] 32 f x x = − . Vậy 2 2 2 1 1 53 1 1 1 d 2ln ln 4 2 x J xx xx x −    =− = −= +       ∫ . Câu 220. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] [ ] [ ] 11 2 2 00 e1 d 1e d 4 x f x x x f x x − ′ =+=   ∫∫ và [ ] 10 f = . Tính [ ] 1 0 d f x x ∫ A. e1 2 − . B. 2 e 4 . C. e2 − . D. e 2 . Hướng dẫn giải Chọn C - Tính: [ ] [ ] 1 0 1e d x I x f x x =+= ∫ [ ] [ ] 11 00 ed ed x x x f x x f x x J K += + ∫∫ . //toanmath.com/ Tính [ ] 1 0 ed x K f x x = ∫ Đặt [ ] [ ] [ ] de e d e dd xx x u f x f x x u f x vx vx  ′   = + =   ⇒  =  =    [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 0 0 e e ed x xx K x f x x f x x f x x ′  ⇒= − +  ∫ [ ] [ ] 11 00 e de d x x x f x x x f x x ′ = − − ∫∫ [ ] [ ] do 1 0 f = [ ] 1 0 ed x K J x f x x ′ ⇒ =− − ∫ [ ] 1 0 ed x I J K x f x x ′ ⇒=+ = − ∫ . - Kết hợp giả thiết ta được: [ ] [ ] 1 2 2 0 1 2 0 e1 d 4 e1 d 4 x fx x xe f x x  − ′ =      −  ′ −=   ∫ ∫ [ ] [ ] 1 2 2 0 1 2 0 e1 d [1] 4 e1 2 e d [2] 2 x fx x x f x x  − ′ =     ⇒  −  ′ = −   ∫ ∫ - Mặt khác, ta tính được: 1 2 22 0 e1 e d [3] 4 x x x − = ∫ . - Cộng vế với vế các đẳng thức [1], [2], [3] ta được: [ ] [ ] [ ] 1 2 22 0 2e e d 0 x x fx x fx x x ′′ + +=   ∫ [ ] [ ] 1 2 ed 0 x o fx x x ′ ⇔ += ∫ [ ] [ ] 1 2 ed 0 x o fx x x π ′ ⇔ += ∫ hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số [ ] e x y fx x ′ = + , trục Ox , các đường thẳng 0 x = , 1 x = khi quay quanh trục Ox bằng 0 [ ] e0 x fx x ′ ⇒ + = [ ] e x fx x ′ ⇔= − [ ] [ ] ed 1 e C xx f x x x x ⇒ = − =−+ ∫ . - Lại do [ ] [ ] [ ] 1 0 C0 1 e x f f x x = ⇒= ⇒ = − [ ] [ ] 11 00 d 1 ed x f x x x x ⇒=− ∫∫ [ ] [ ] 1 1 0 0 1 e ed xx xx =−+ ∫ 1 0 1e e 2 x =−+ = − . Vậy [ ] 1 0 d e2 f x x = − ∫ . Câu 221. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn [ ] 10 f = , [ ] 1 2 0 d7 fx x ′ =   ∫ và [ ] 1 2 0 1 d 3 xf x x = ∫ . Tích phân [ ] 1 0 d f x x ∫ bằng A. 7 5 . B. 1. C. 7 4 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Tính: [ ] 1 2 0 d xf x x ∫ . Đặt [ ] [ ] 3 2 dd dd 3 u fx x u f x x v xx v ′ = =  ⇒  = =     . Ta có: [ ] [ ] [ ] 1 3 11 23 00 0 1 d .d 33 xf x x f xx x f xx ′ = − ∫ ∫ //toanmath.com/ [ ] [ ] [ ] [ ] 11 33 00 1. 1 0. 0 11 .d .d 33 3 f f xf x x xf x x − ′′ =−= − ∫∫ . Mà [ ] 1 2 0 1 d 3 xf x x = ∫ [ ] [ ] 11 33 00 1 1 .d .d 1 3 3 xf x x xf x x ′′ ⇒− = ⇒ =− ∫ ∫ . Ta có [ ] 1 2 0 d7 fx x ′ =   ∫ [1]. 1 1 7 6 0 0 1 d 77 x xx = = ∫ 1 6 0 1 49 d .49 7 7 xx ⇒== ∫ [2]. [ ] [ ] 11 33 00 . d 1 14 . d 14 xf x x xf x x ′′ =−⇒ =− ∫ ∫ [3]. Cộng hai vế [1] [2] và [3] suy ra [ ] [ ] 1 11 2 63 0 00 d 49 d 14 . d 7 7 14 0 fx x x x x fx x ′′ + + = +− =   ∫ ∫∫ . [ ] [ ] { } 1 2 36 0 14 49 d 0 fx x fx x x ′′ ⇒ + +=   ∫ [ ] 1 2 3 0 7 d0 fx x x ′ ⇒+ =  ∫ . Do [ ] 2 3 7 0 fx x ′ +≥  [ ] 1 2 3 0 7 d 0 fx x x ′ ⇒+ ≥  ∫ . Mà [ ] 1 2 3 0 7 d0 fx x x ′ + =  ∫ [ ] 3 7 fx x ′ ⇒= − . [ ] 4 7 4 x f x C = −+ . Mà [ ] 77 10 0 44 f CC = ⇒− + = ⇒ = . Do đó [ ] 4 77 44 x f x= −+ . Vậy [ ] 1 11 45 00 0 7 7 77 7 dd 4 4 20 4 5 xx f x x x x    =− + =−+ =       ∫∫ . Cách 2: Tương tự như trên ta có: [ ] 1 3 0 . d1 xf x x ′ = − ∫ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 1 1 1 1 2 2 22 33 0 0 0 0 0 1 77 d 7 d d 7 d d 7 x fx x x x fx x fx x fx x      ′ ′ ′′ = ≤ ⋅ = ⋅⋅ =                 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [ ] 3 f x ax ′ = , với a ∈  . Ta có [ ] 1 11 7 3 33 00 0 . d1 . d1 1 7 7 ax x f x x x ax x a ′ =−⇒ =−⇒ =−⇒ =− ∫ ∫ . Suy ra [ ] [ ] 4 3 7 7 4 x f x x f x C ′ = −⇒ = − + , mà [ ] 10 f = nên 7 4 C = Do đó [ ] [ ] 4 7 1 4 f x x x = − ∀∈  . Vậy [ ] 11 45 00 1 7 7 77 7 dd 0 4 4 20 4 5 xx f x x x x    =− + =−+ =       ∫∫ . Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số [ ] f x và [ ] gx liên tục trên đoạn [ ] ; ab . //toanmath.com/ Khi đó, ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 d dd b bb a aa f x g xx f xx g xx      ≤⋅           ∫ ∫∫ . Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: Nếu hàm số [ ] hx liên tục và không âm trên đoạn [ ] ; ab thì [ ] d 0 b a hx x ≥ ∫ Xét tam thức bậc hai [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 2 20 f x gx f x f x gx g x λ λ λ + = + +≥     , với mọi λ ∈  Lấy tích phân hai vế trên đoạn [ ] ; ab ta được [ ] [ ] [ ] [ ] 22 2 d2 g d d 0 bb b aa a f xx f x xx g xx λλ+ + ≥ ∫∫ ∫ , với mọi λ ∈  [ ] * Coi [ ] * là tam thức bậc hai theo biến λ nên ta có 0 ′ ∆ ≤ [ ] [ ] [ ] 2 2 22 d d d0 b bb a aa f xx f xx g xx   ⇔− ≤     ∫ ∫∫ [ ] [ ] [ ] 2 2 22 d dd b bb a aa f xx f xx g xx   ⇔≤     ∫ ∫∫ [đpcm]