Đề bài
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\[y = \sin \left[ {{{\cos }^2}x} \right].\cos \left[ {{{\sin }^2}x} \right].\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức:\[\left[ {uv} \right]' = u'v + uv'\] và các biến đổi lượng giác:
\[\begin{array}{l}
\cos u\cos v + \sin u\sin v = \cos \left[ {u - v} \right]\\
2\sin u\sin u = \sin 2u\\
{\cos ^2}u - {\sin ^2}u = \cos 2u
\end{array}\]
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}
y' = \left[ {\sin \left[ {{{\cos }^2}x} \right]} \right]'\cos \left[ {{{\sin }^2}x} \right]\\
+ \sin \left[ {{{\cos }^2}x} \right].\left[ {\cos \left[ {{{\sin }^2}x} \right]} \right]'\\
= \left[ {{{\cos }^2}x} \right]'\cos \left[ {{{\cos }^2}x} \right]\cos \left[ {{{\sin }^2}x} \right]\\
+ \sin \left[ {{{\cos }^2}x} \right].\left[ {{{\sin }^2}x} \right]'.\left[ { - \sin \left[ {{{\sin }^2}x} \right]} \right]\\
= 2\cos x\left[ {\cos x} \right]'\cos \left[ {{{\cos }^2}x} \right]\cos \left[ {{{\sin }^2}x} \right]\\
- \sin \left[ {{{\cos }^2}x} \right].2\sin x\left[ {\sin x} \right]'.\sin \left[ {{{\sin }^2}x} \right]\\
= 2\cos x.\left[ { - \sin x} \right]\cos \left[ {{{\cos }^2}x} \right]\cos \left[ {{{\sin }^2}x} \right]\\
- \sin \left[ {{{\cos }^2}x} \right].2\sin x\cos x\sin \left[ {{{\sin }^2}x} \right]\\
= - \sin 2x\cos \left[ {{{\cos }^2}x} \right]\cos \left[ {{{\sin }^2}x} \right]\\
- \sin \left[ {{{\cos }^2}x} \right].\sin 2x\sin \left[ {{{\sin }^2}x} \right]\\
= - \sin 2x.\\.\left[ {\cos \left[ {{{\cos }^2}x} \right]\cos \left[ {{{\sin }^2}x} \right] + \sin \left[ {{{\cos }^2}x} \right]\sin \left[ {{{\sin }^2}x} \right]} \right]\\
= - \sin 2x\cos \left[ {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right]\\
= - \sin 2x\cos \left[ {\cos 2x} \right]
\end{array}\]