Đề bài
Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào có nghiệm
A. \[\sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 4} < x\]
B. \[\sqrt {4 - x} [\sqrt x + 2]\sqrt {x - 9} < x + 1\]
C. \[\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt {{x^6} + 1} \]
D. \[\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} < 2\sqrt {{x^6} + 1} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhìn qua các đáp án và đưa ra nhận xét
Lời giải chi tiết
Trắc nghiệm:
Ta thấy bất phương trình ở câu c đúng với \[x = 0\].
Vậy chọn đáp án C
Tự luận:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương \[\sqrt {{x^2} + 1} \] và \[\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \] ta có:
\[\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {{x^4} - {x^2} + 1} \right]} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\]
Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \[x\].