Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\], điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \[AB,\ AC\] với đường tròn [\[B,\ C\] là các tiếp điểm].
a] Chứng minh rằng \[OA\] vuông góc với \[BC\].
b] Vẽ đường kính \[CD\]. Chứng minh rằng \[BD\] song song với \[AO\].
c] Tính độ dài các cạnh của tam giác \[ABC\]; biết \[OB=2cm,\ OA=4cm\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: cho \[[O;R]\] với hai tiếp tuyến \[AB,\ AC\]. Khi đó:
+] \[AB=AC\]
+] \[AO\] là phân giác của góc \[BAC\]
b] Sử dụng tính chất: nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông [Bài tập 3 - trang 100]
c] +] Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: \[\sin \alpha = \dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ huyền}\] để tính số đo góc.
+] Tam giác cân có một góc bằng \[60^o\] thì là tam giác đều.
+] Dùng định lí Pytago: \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\] thì \[BC^2=AC^2+AB^2\].
Lời giải chi tiết
a] Vì \[AB,\ AC\] là các tiếp tuyến cắt nhau tại A nên \[AB=AC\] và\[\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Suy ra \[\Delta{ABC}\] cân tại \[A\].
Vì\[\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\] nên\[AO\] là tia phân giác của góc \[A\] nên \[AO\] đồng thời là đường cao ứng với cạnh \[BC\].
Vậy \[OA\perp BC\]
b] Điểm \[B\] nằm trên đường tròn đường kính \[CD\] nên\[\widehat{CBD}=90^{\circ}\] [bài 3 trang 100 SGK toán 9 tập 1] hay \[BC \bot BD\].
Lại có \[AO \bot BC\]
Suy ra \[BD // AO\] [vì cùng vuông góc với \[BC]\].
c] Nối \[OB\] thì\[OB \perp AB.\]
Xét tam giác \[AOB\] vuông tại \[B\], ta có:
\[\sin \widehat {{A_1}} = \dfrac{OB}{OA}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \widehat{A_{1}}=30^{\circ}\]\[\Rightarrow \widehat{BAC}=2.\widehat {A_1}=60^{\circ}.\]
Tam giác \[ABC\] cân, có một góc\[60^{\circ}\]nên là tam giác đều.
Suy ra \[AB=BC=CA\]
Xét tam giác \[AOB\] vuông tại \[B\], áp dụng định lí Pytago, ta có:
\[AO^{2}=AB^{2}+OB^{2} \Rightarrow AB^2=AO^2-OB^2\]
\[\Leftrightarrow AB^2=4^{2}-2^{2}=16-4=12 \Rightarrow AB=2\sqrt{3.}\]
Vậy \[AB=AC=BC=2\sqrt{3}cm\].
Nhận xét. Qua câu c] ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng\[60^{\circ}\].
Cách khác câu b:
Gọi H là giao điểm của OA và BC.
Vì \[OA \bot BC\] tại H mà OA là 1 phần đường kính và BC là dây của đường tròn [O] nên H là trung điểm của BC [định lý]
Lại có O là trung điểm của đường kính CD nên OH là đường trung bình của tam giác BCD
Hay OH//BD. Do đó, OA//BD.