Công thức phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

Cho hàm số $y=f\left[ x \right]\left[ C \right]$. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left[ {{x}_{0}};f\left[ {{x}_{0}} \right] \right]\in \left[ C \right]$ là

$y={f}'\left[ {{x}_{0}} \right]\left[ x-{{x}_{0}} \right]+f\left[ {{x}_{0}} \right]$.

Trong đó ${{x}_{0}}$ được gọi là hoành độ tiếp điểm: ${{y}_{0}}=f\left[ {{x}_{0}} \right]$ là tung độ tiếp điểm và $k={f}'\left[ {{x}_{0}} \right]$ là hệ số góc của tiếp tuyến. Điểm $A\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ được gọi là tiếp điểm.

Bài tập viết phương trình tiếp tuyến có đáp án

Lời giải chi tiết

a] Ta có: ${f}'\left[ x \right]=3{{\text{x}}^{2}}+3\Rightarrow {f}'\left[ 1 \right]=6$.

Do vậy phương trình tiếp tuyến tại $A\left[ 1;4 \right]$ là $y=6\left[ x-1 \right]+4=6\text{x}-2$

b] Với $x={{x}_{0}}=-1\Rightarrow f\left[ {{x}_{0}} \right]=-4\Rightarrow {f}'\left[ {{x}_{0}} \right]=6$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là $y=6\left[ x+1 \right]-4=6x+2$

c] Với ${{y}_{0}}=14\Rightarrow {{x}^{3}}+3x=14\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2;{f}'\left[ 2 \right]=15$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=15\left[ x-2 \right]+14=15x-16$

d] Hoành độ giao điểm của $\left[ C \right]$ và $d$ là ${{x}^{3}}+3\text{x}=3x-8\Leftrightarrow x=-2$

Với $x=-2\Rightarrow y=-14\Rightarrow {f}'\left[ -2 \right]=15$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=15\left[ x+2 \right]-14=15x+16$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${y}'=\frac{5}{{{\left[ 2x+1 \right]}^{2}}}$

a] Ta có: ${{y}_{0}}=3\Rightarrow \frac{x-2}{2x+1}=3\Leftrightarrow 5\text{x}=-5\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {y}'\left[ -1 \right]=5$.

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=5\left[ x+1 \right]+3$ hay $y=5x+8$.

b] Phương trình hoành độ giao điểm của d và $\left[ C \right]$ là: $\frac{x-2}{2x+1}=x-2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=0 \\ \end{array} \right.$

Với ${{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=0;{y}'\left[ 2 \right]=\frac{1}{5}$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{5}\left[ x-2 \right]$.

Với ${{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=-2;{y}'\left[ 0 \right]=5$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=5x-2$.

Lời giải chi tiết

Ta có ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1;{f}'\left[ x \right]=3{{x}^{2}}-4\Rightarrow {f}'\left[ 1 \right]=-1$

Do vậy PTTT là: $y=-\left[ x-1 \right]-1=-x$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

$\left[ C \right]\cap Oy=A\left[ 0;-1 \right]$. Lại có ${y}'=\frac{-3}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left[ 0 \right]=-3$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-1$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Với $x=2\Rightarrow y=1$. Lại có ${f}'\left[ x \right]=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}+\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\Rightarrow {f}'\left[ 2 \right]=\frac{3}{4}$

Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{3}{4}\left[ x-2 \right]+1=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${f}'\left[ x \right]=3{{x}^{2}}-8x\Rightarrow {{f}'}'\left[ x \right]=6x-8$.

Giải ${{f}'}'\left[ x \right]=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=-7;{f}'\left[ 2 \right]=-4$

Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left[ x-2 \right]-7=-4x+1$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1$. Mặt khác ${y}'=4{{x}^{3}}-8x\Rightarrow {y}'\left[ -1 \right]=4$

Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $y=4\left[ x+1 \right]-1=4x+3$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left[ C \right]\cap Ox=A\left[ 2;0 \right]$. Mặt khác ${f}'\left[ x \right]=\frac{5}{{{\left[ 2x+1 \right]}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left[ 2 \right]=\frac{1}{5}$

Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left[ 2;0 \right]$là: $y=\frac{1}{5}\left[ x-2 \right]$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $x=1\Rightarrow y=0;{f}'\left[ x \right]=6{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}'\left[ 1 \right]=3$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y=3\left[ x-1 \right]\left[ d \right]$

Xét $d\cap \left[ C \right]\Rightarrow 2{{x}^{3}}-3x+1=3\left[ x-1 \right]\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Giải $\frac{2x-1}{x+2}=-3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x\ne -2 \\{} 2x-1=-3x-6 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1$. Lại có ${f}'\left[ x \right]=\frac{5}{{{\left[ x+2 \right]}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left[ -1 \right]=5$

Phương trình tiếp tuyến là: $y=5\left[ x+1 \right]-3=5x+2$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $x=-1;y=3;{y}'\left[ -1 \right]=-4$. Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left[ x+1 \right]+3=-4x-1\left[ d \right]$.

Do đó $d\cap Ox=A\left[ \frac{-1}{4};0 \right]$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $x=1\Rightarrow y=0;{f}'\left[ 1 \right]=8-6=2$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=2\left[ x-1 \right]\left[ d \right]$.

Do đó $d:2\text{x}-y-2=0$ suy ra $d\left[ 0;d \right]=\frac{\left| -2 \right|}{5}$. Chọn A.

Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ đến đường thẳng $d:ax+by+c=0$ là: $d=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.

Lời giải chi tiết

Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=1+m;{f}'\left[ 1 \right]=3+m$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=\left[ m+3 \right]\left[ x-1 \right]+m+1\left[ d \right]$

$d\left[ O;d \right]=\frac{\left| -m-3+m+1 \right|}{\sqrt{{{\left[ m+3 \right]}^{2}}+1}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left[ m+3 \right]}^{2}}+1=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=-4 \\  {} m=-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.