Câu trả lời được xác thực chứa thông tin chính xác và đáng tin cậy, được xác nhận hoặc trả lời bởi các chuyên gia, giáo viên hàng đầu của chúng tôi.
a.
Số tập hợp con của A là:
$C^0_{20}+C^1_{20}+C^2_{20}+...+C^{20}_{20}= 2^{20}$
b.
Số tập hợp con của A khác rỗng chứa số phần tử là chẵn là:
$P=C^2_{20}+C^4_{20}+C^6_{20}+...+C^{20}_{20}$
Mà:
$C^0_{20}=C^{20}_{20}=1$
$C^1_{20}=C^{19}_{20}$
$C^2_{20}=C^{18}_{20}$
...
$\Rightarrow C^0_{20}+C^1_{20}+C^2_{20}+...+C^{20}_{20}=P+1+P+1=2^{20}$
$\Rightarrow P= \dfrac{2^{20}-2}{2}$
Câu hỏi: Cho tập hợp $A=\left\{ 1,2 , 3,..., 20 \right\}$. Hỏi $A$ có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà số phần tử là số chẵn bằng số phần tử là số lẻ?
A. $184755$.
B. $524288$.
C. $524287$.
D. $184756$.
Lời giải
Do $A$ có $10$ phần tử là số chẵn và $10$ phần tử là số lẻ nên số các phần tử là số chẵn trong các tập con khác rỗng của $A$ chỉ có thể là $1 , 2 , 3,..., 10$.
Gọi $B$ là tập con của $A$ mà số các phần tử là số chẵn bằng số các phần tử là số lẻ và bằng $k$ [với $1\le k\le 10$ ]. Ta có.
- Số cách chọn ra $k$ số chẵn trong các số $2 , 4 , 6 ,..., 20$ là $C_{10}^{k}$.
- Số cách chọn ra $k$ số lẻ trong các số $1 , 3 , 5 ,..., 19$ là $C_{10}^{k}$.
- Số các tập con có số các phần tử là số chẵn bằng số các phần tử là số lẻ và bằng $k$ là ${{\left[ C_{10}^{k} \right]}^{2}}$.
Suy ra số tập hợp con khác rỗng của $A$ mà số phần tử là số chẵn bằng số phần tử là số lẻ là
${{\left[ C_{10}^{1} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{2} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{3} \right]}^{2}}+...+{{\left[ C_{10}^{10} \right]}^{2}}$.
Cách 1. Bấm máy ta được ${{\left[ C_{10}^{1} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{2} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{3} \right]}^{2}}+...+{{\left[ C_{10}^{10} \right]}^{2}}=184755$.
Cách 2. Xét biểu thức $f\left[ x \right]={{\left[ 1+x \right]}^{10}}.{{\left[ x+1 \right]}^{10}}$.
Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển $f\left[ x \right]$ là ${{\left[ C_{10}^{0} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{1} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{2} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{3} \right]}^{2}}+...+{{\left[ C_{10}^{10} \right]}^{2}}$.
Mặt khác $f\left[ x \right]={{\left[ 1+x \right]}^{20}}$, suy ra hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển $f\left[ x \right]$ là $C_{20}^{10}$.
Suy ra ${{\left[ C_{10}^{0} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{1} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{2} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{3} \right]}^{2}}+...+{{\left[ C_{10}^{10} \right]}^{2}}=C_{20}^{10}$.
Do đó ${{\left[ C_{10}^{1} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{2} \right]}^{2}}+{{\left[ C_{10}^{3} \right]}^{2}}+...+{{\left[ C_{10}^{10} \right]}^{2}}=C_{20}^{10}-{{\left[ C_{10}^{0} \right]}^{2}}=184755$.
Vậy số tập hợp con cần tìm là $184755$.
Đáp án A.
X là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi X \ {2} là một tập con của B
Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng 26 = 64
Chọn A.
Chú ý : Cho tập hợp A có n phần tử, thì tập A có 2n tập con.