Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc 0;20

adsense

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[a\] thuộc \[\left[ { – 20;20} \right]\]để bất phương trình \[{\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\] có không quá 20 nghiệm nguyên?
A. \[22\].

B. \[23\].

C. \[21\].

D. \[24\].

Lời giải chi tiết

PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

adsense

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'[x]
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'[x]
3. Lập BBT xét dấu g'[x]
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _3}{x^3} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^3} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\].
Với điều kiện trên, ta có:
\[{\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\]\[ \Leftrightarrow 2{\log _3}x + a\sqrt {3{{\log }_3}x} + a + 1 \le 0\].
Đặt \[\sqrt {3{{\log }_3}x} = t\], \[\left[ {t \ge 0} \right]\]\[ \Rightarrow {\log _3}x = \frac{{{t^2}}}{3}\].
Ta có bất phương trình \[\frac{2}{3}{t^2} + at + a + 1 \le 0\]\[ \Leftrightarrow 3a \le – \frac{{2{t^2} + 3}}{{t + 1}}\].
Nhận xét:
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = – \frac{{2{t^2} + 3}}{{t + 1}}\] trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\], ta có:
\[f’\left[ t \right] = – \frac{{2{t^2} + 4t – 3}}{{{{\left[ {t + 1} \right]}^2}}}\]. Giải phương trình \[f’\left[ t \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 2 – \sqrt {10} }}{2}{\rm{ }}\left[ l \right]\\t = \frac{{ – 2 + \sqrt {10} }}{2}{\rm{ }}\left[ n \right]\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên

Bảng giá trị

 Bất phương trình \[{\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\] có không quá 20 nghiệm nguyên
\[ \Leftrightarrow 3a > – \frac{{6{{\log }_3}21 + 3}}{{\sqrt {3{{\log }_3}21} + 1}} \Leftrightarrow a > – \frac{{2{{\log }_3}21 + 1}}{{\sqrt {3{{\log }_3}21} + 1}} \approx – 1,685\]
Tập các giá trị của \[a\] thỏa đề là \[\left\{ { – 1\,;\,0\,;….;20} \right\}\]
Có 22 giá trị của \[a\] thỏa đề.
Cách 2: Thầy Nguyễn Văn Quý
Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _3}{x^3} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^3} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\].
Với điều kiện trên, ta có:
\[{\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\]\[ \Leftrightarrow 2{\log _3}x + a\sqrt {3{{\log }_3}x} + a + 1 \le 0\].
Đặt \[\sqrt {3{{\log }_3}x} = t\], \[\left[ {t \ge 0} \right]\]\[ \Rightarrow {\log _3}x = \frac{{{t^2}}}{3}\].
Ta có bất phương trình \[\frac{2}{3}{t^2} + at + a + 1 \le 0\]\[ \Leftrightarrow 3a \le – \frac{{2{t^2} + 3}}{{t + 1}}\].
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = – \frac{{2{t^2} + 3}}{{t + 1}}\] trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\], ta có:
\[f’\left[ t \right] = – \frac{{2{t^2} + 4t – 3}}{{{{\left[ {t + 1} \right]}^2}}}\]. \[f’\left[ t \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 2 – \sqrt {10} }}{2}{\rm{ }}\left[ l \right]\\t = \frac{{ – 2 + \sqrt {10} }}{2}{\rm{ }}\left[ n \right]\end{array} \right.\].

Từ bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán tương đương với \[3a > – 5 \Leftrightarrow a \ge – \frac{5}{3} \approx – 1,67\].
Mà \[a \in \left[ { – 20;20} \right]\] nên có 22 giá trị \[a\] thỏa yêu cầu bài toán.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng [0;2019] để \[\lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {3^{n + 1}}}}{{{5^n} + {9^{n + a}}}}}  \le \frac{1}{{2187}}\]?

• A. 2018
• B. 2011
• C. 2012
• D. 2019

Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

\[\begin{array}{l}
\lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {3^{n + 1}}}}{{{5^n} + {9^{n + a}}}}}  = \lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {{3.3}^n}}}{{{5^n} + {9^n}{{.9}^a}}}}  = \lim \sqrt {\frac{{1 + 3.{{\left[ {\frac{3}{9}} \right]}^n}}}{{{{\left[ {\frac{5}{9}} \right]}^n} + {9^a}}}}  = \frac{1}{{{3^a}}}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{{3^a}}} \le \frac{1}{{2187}} = \frac{1}{{{3^7}}} \Leftrightarrow {3^a} \ge {3^7} \Leftrightarrow a \ge 7
\end{array}\] 

Kết hợp điều kiện đề bài \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \in \left[ {7;2019} \right]\\
a \in Z
\end{array} \right. \Rightarrow a \in \left\{ {7;8;9;...;2018} \right\}\].

Vậy có \[2018 - 7 + 1 = 2012\] giá trị của a thỏa mãn.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ANYMIND360

Mã câu hỏi: 90855

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

• Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3

  50 câu hỏi | 90 phút

  Bắt đầu thi

CÂU HỎI KHÁC

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \[A\left[ { - 1;0;0} \right],\,B\left[ {0;0;2} \right],\,C\left[ {0; - 3;0} \right]\].
• Cho cấp số cộng \[[u_n]\] có \[u_1=11\] và công sai d = 4. Hãy tính \[u_{99}\]. 
• Tìm a để hàm số \[f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi
• Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B.
• Gọi \[x_0\] là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \[3{\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0\].
• Hàm số \[y = {x^4} - {x^3} - x + 2019\] có bao nhiêu điểm cực trị?
• Giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left[ x \right] = \frac{x}{{x + 3}}\] trên đoạn [- 2;3] bằng  
• Cho hàm số \[y=f[x]\] xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau:Mệnh đề nào sau đây là đúng?
• Hàm số \[y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\] có đồ thị nào trong các đồ thị dưới đây?
• Gọi n là số nguyên dương sao cho \[\frac{1}{{{{\log }_3}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{3^2}}}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{3^3}}}x}} + ...
• Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \[{\left[ {2x - 3} \right]^{2018}}\] thành đa thức
• Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCBC.   
• Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất là 6,9%/năm.
• Cho hàm số \[y=f[x]\] xác định trên R có đồ thị của hàm số \[y=f[x]\] như hình vẽ.
• Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
• Cho \[\int {2x{{\left[ {3x - 2} \right]}^6}dx = A{{\left[ {3x - 2} \right]}^8} + B{{\left[ {3x - 2} \right]}^7} + C} \] với \[A,B,C \in R\].
• Tập nghiệm của bất phương trình \[{\left[ {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right]^{2x + 1}} > 1\] [với a là tham số, \[a \ne 0\]] là
• Cho hàm số \[y=f[x]\] có bảng biến thiên như sau:Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau đây?
• Tìm tập nghiệm của phương trình \[{3^{{x^2} + 2x}} = 1\].
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \[\overrightarrow a  =  - \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - 3\overrigh
• Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
• Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, \[AB = AC = a,\,\,BAC = {120^0}\].
• Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn \[\left[ { - 2018;2018} \right]\] để hàm số \[y = \ln \left[ {{x^2} - 2x
• Cho hàm số \[y=f[x]\] có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số \[y=f[x]\] trên R như hình vẽ.
• Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 4a. Diện tích xung quanh của hình trụ là
• Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng
• Cho hàm số \[y=f[x]\] xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sauKhẳng định nào sau đây là đún
• Tìm nguyên hàm của hàm số \[y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}.\] 
• Cho hàm số \[f[x]\] liên tục trên đoạn [0;10] và \[\int_0^{10} {f\left[ x \right]dx = 7} \] và \[\int_2^6 {f\left[ x \right
• Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y =  - {x^3} - 3{x^2} + m\] trên đoạn
• Cho hàm số \[y=f[x]\] liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.Hỏi đồ thị hàm số \[y = \left| {f\left[ {\left| x \right|} \right]} \right|\] có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
• Biết F[x] là nguyên hàm của hàm số \[1f\left[ x \right] = \frac{{x - \cos x}}{{{x^2}}}\].
• Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15?
• Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O, bán kinh đáy bằng chiều cao và bằng 2a.
• Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5}}\].
• Cho hình chóp S.ABC có đáy \[\Delta ABC\] vuông cân ở B, \[AC = a\sqrt 2 ,SA \bot \left[ {ABC} \right],SA = a\].
• Cho hình chóp S.ABC có các cạnh \[SA = BC = 3;\,\,SB = AC = 4;\,\,SC = AB = 2\sqrt 5 \] . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
• Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1.
• Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \[A,AB = 1cm,AC = \sqrt 3 cm\]. Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C.
• Cho hàm số \[y=f[x]\] có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn \[f[0]=0\].
• Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[{e^{3m}} + {e^m} = 2\left[ {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right]\left[ {1
• Cho hàm số \[y=f[x]\] có đạo hàm cấp hai trên R.
• Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng \[\left[ { - 2019;2019} \right]\] để hàm số \[y = {\sin ^3}x - 3{\cos
• Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số tính xác suất để số được chọn có dạng \[\overline {abcd} \], trong đó \[1 \le a \le b \le c \le d \le 9\].
• Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \[{\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {x + {y^2}} \right]\]
• Cho hàm số \[y=f[x]\] liên tục trên R thỏa mãn \[f\left[ {2x} \right] = 3f\left[ x \right],\,\forall x \in R\].
• Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số [x;y] thỏa mãn \[{\log _{{x^2} + {y^2
• Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng [0;2019] để \[\lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {3^{n + 1}}}}{{{5^n}
• Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \[SA \bot \left[ {ABC} \right]\], góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng [ABC] bằng \[60^0\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
• Cho hàm số \[y=f[x]\] có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới.

ADSENSE

ADMICRO

Bộ đề thi nổi bật