Học Tốt Phương trình

Cho hàm số y bảng fx có bảng biến thiên Số nghiệm đường của phương trình 2x 3 = 0 là

[1]

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài tốn liên quan đến phương trình có
dạng f x

[ ]

=a., f u x

[

[ ]

]

=a.

Dạng 2: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến phương trình có
dạng f x

[ ]

=g m

[ ]

,f u x

[

[ ]

]

=g m

[ ]

Dạng 3: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến phương trình có

dạng f x

[ ]

= f m

[ ]

, f u x

[

[ ]

]

= f m

[ ]

Dạng 4: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến phương trình có

dạng f x

[ ]

=a f x;

[ ]

=a f u x;

[

[ ]

]

=a f u x;

[

[ ]

]

=a....

Dạng 5: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến phương trình có
dạng f x

[ ]

=g m

[ ]

; f x

[ ]

=g m f u x

[ ]

;

[

[ ]

]

=g m

[ ]

; f u x

[

[ ]

]

=g m

[ ]

....

Dạng 6: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài tốn liên quan đến phương trình có

dạng f x

[ ]

=g x f u x

[ ]

;

[

[ ]

]

=g v x

[

[ ]

]

Dạng 7: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến phương trình,
bất phương trình chứa f x f x'

[ ]

; ''

[ ]

... .

Dạng 8: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến phương trình

có dạng f x=0; f u x =0;f x=g x f u x; =g v x ... .

Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến phương trình

có dạng f x

[ ]

=m f u x;

[

[ ]

]

=m f x;

[ ]

=g m f u x

[ ]

;

[

[ ]

]

=g m

[ ]

...

Dạng 10: Biết số nghiệm của phương trình f x =

[ ]

0 , xét các bài toán liên quan đến phương trình
có chứa f x f x'

[ ]

; ''

[ ]

... .

Dạng 11: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến BẤT
PHƯƠNG TRÌNH có dạng f x

[ ]

≥g x f u x

[ ]

;

[

[ ]

]

≥g x

[ ] [

> < ≤, , ...

]

có thể có tham số.

Dạng 12: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến BẤT

PHƯƠNG TRÌNH có dạng f x

[ ]

≥g x f u x

[ ]

;

[

[ ]

]

≥g x

[ ] [

> < ≤, , ...

]

có thể có tham số.

CÁC DẠNG TỐN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN
BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO

[2]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN

XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ [PHẦN 1. Từ dạng 1 đến dạng 4]

Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

[ ]

, xét các bài toán liên quan đến

phương trình có dạng f x=a., f u x =a.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thuộc khoảng

[

0;π

]

của phương trình f

[

sinx = −

]

4 là

A. 0. B. 1. C. 2 . D. 4 .

Lời giải
Chọn C

Xét phương trình: f

[

sinx = −

]

4 sin

[

[ ]

1;0

]

sinxx 0;1

αβ

= ∈ −

⇔  = ∈

Vì x∈

[

0;π

]

⇒sinx∈

[

0;1

]

. Suy ra với x∈

[

0;π

]

thì f

[

sinx = −

]

4⇔sinx= ∈β

[ ]

0;1 . Vậy
phương trình đã cho có 2 nghiệm x∈

[

0;π

]

[thỏa mãn].

Vậy chọn C.

[3]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Phương trình

[

cos

]

133

f x = có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ;2 2

π π

− 

 

 ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.

Lời giải
Chọn C

Đặt t=cosx, ;

[

0;1

]

2 2

x∈ − π π ⇒ ∈t

  .

Phương trình

[

cos

]

133

f x = trở thành

[ ]

3
f t =

Dựa vào bảng biến thiên trên ta có phương trình

[ ]

f t = có đúng một nghiệm t ∈

[ ]

0;1

Với một nghiệm t ∈

[ ]

0;1 , thay vào phép đặt ta được phương trình cosx t= có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng ;

2 2

π π

− 

 

 .

Vậy phương trình

[

cos

]

f x = có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng ;2 2

π π

− 

 

 .
Câu 3. Cho hàm số y f x=

[ ]

xác định trên \ 0

{ }

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình 2 3f x − − =

[

5 7 0

]

là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải
Chọn C

[

]

[

]

2 3 5 7 0 3 5

2
f x− − = ⇔ f x− = .

Đặt t=3 5x− , phương trình trở thành

[ ]

2

f t = .

Với mỗi nghiệm t thì có một nghiệm 5

3
t

x= + nên số nghiệm t của phương trình

[ ]

2
f t =

[4]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x=

[ ]

suy ra phương trình

[ ]

f t = có 3 nghiệm
phân biệt nên phương trình 2 3f x − − =

[

5 7 0

]

có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 4. Cho hàm số y f x=

[ ]

liên tục trên  thỏa mãn điều kiện lim

[ ]

x→−∞ f x = xlim→+∞ f x

[ ]

= −∞ và có

đồ thị như hình dưới đây

Với giả thiết, phương trình f

[

1− x3+x

]

=acó nghiệm. Giả sử khi tham số a thay đổi, phương trình đã

cho có nhiều nhất mnghiệm và có ít nhất nnghiệm. Giá trị của m n+ bằng

A. 4 . B. 6 . C. 3. D. 5.

Lời giải
Chọn C

Dễ thấy điều kiện của phương trình đã cho là x ≥ . 0

Đặt t= −1 x x3+

[ ]

1 ⇒ ∈ −∞t [ ;1].

Dễ thấy phương trình

[ ]

1 ln có nghiệm duy nhất ∀ ∈ −∞t [ ;1] .

Phương trình đã cho có dạng: f t

[ ]

=a [2], 1t≤ .

[5]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Do đó:

[2] vơ nghiệm khi a > . 1

[2] có hai nghiệm khi − ≤ 

Suy ra:

[

[ ]

]

[ ]

1
23

1 2

3
f x x

f f x f x x

f x x=



= ⇔ =

 =



+] Xét [1]: f x

[ ]

= ∈ −x1

[

1;0

]

, ta có đường thẳng y x= 1 cắt đồ thị hàm số y f x=

[ ]

tại 3

điểm phân biệt nên phương trình

[ ]

1 có 3 nghiệm phân biệt.

+] Xét

[ ]

2 : f x

[ ]

= ∈x2

[ ]

0;1 , ta có đường thẳng y x= 2 cắt đồ thị hàm số y f x=

[ ]

tại 3
điểm phân biệt nên phương trình

[ ]

2 có 3 nghiệm phân biệt.

+] Xét

[ ]

3 : f x

[ ]

=x3 >2, ta có đường thẳng y x= 3 cắt đồ thị hàm số y f x=

[ ]

tại 1 điểm

nên phương trình

[ ]

3 có 1 nghiệm.

Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: m = + + = . 3 3 1 7

Câu 6. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ sau.

Số nghiệm của phương trình f

[

2sinx = trên đoạn

]

[

0;2π

]

là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải
Chọn C

Đặt t =2sinx, t ∈ −

[

2;2

]

[7]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

sin 1sin 212sin 1 sin

2 211235

t l

t n
f t
t n
t l
x

x
x x= −

  = −

= − 
 
= ⇔  ⇔ ⇔

= − 

 = −==−= − .

Với sin 1 2

x= − ⇔ = −x π +k π ,

[

0;2

]

x∈ π ⇒ =x π .

Với sin 1 3 2

4
2 23

x k

x
x k
π π
π π = − += − ⇔  = +

[

0;2

]

x∈ π ⇒ =x π , 4

π .

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Câu 7. Cho hàm số y f x=

[ ]

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình f f x = có bao nhiêu nghiệm.

[

[ ]

]

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Lời giải.
Chọn D

y=c

y=b

y=a

Phương trình f x = có ba nghiệm phân biệt là:

[ ]

[

]

[

]

[ ]

[

]

[ ]

[

]

2; 10;11;2

x a a

x b b
x c c

 = ∈ − −= ∈= ∈

[8]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt.

Câu 8. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ.

x
y

1-1

-13

Số nghiệm của phương trình 3 [ ] 4 0f x − = là

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải
Chọn B

Ta có 3

[ ]

4 0

[ ]

f x − = ⇔ f x = .

Phương trình

[ ]

1 là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

và đường thẳng 4

y = . Số nghiệm của

[ ]

1 chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

x
y

1-1

y = 43

-13

Dựa vào đồ thị của hai hàm số

[ ]

, 43

y f x y= = ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
nên phương trình

[ ]

1 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 9. Cho hàm số y f x=

[ ]

có bảng biến thiên như sau

[9]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Lời giải

Phương trình 2f x − =

[ ]

3 0

[ ]

f x

⇔ = .

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

với đường thẳng 3

2
y = .

Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm thực của phương trình 2f x − = là

[ ]

3 0 2.

Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên  có đồ thị

[ ]

y f x=

[ ]

như hình vẽ bên. Phương trình

[ ]

[

]

f − f x = có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt.

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải
Chọn B

Theo đồ thị:

[ ]

[

]

[

]

[

]

[ ]

[

]

[ ]

2 1 2 2 1

0 0 1 2 0 2 2 2

1 2 2 2 3

x a a f x a f x a

f x x b b f f x f x b f x b

x c c f x c f x c

= − < < − − = = −

  

  

= ⇔ = < < ⇒ − = ⇔ − = ⇔  = −

 = < <  − =  = −

  

Nghiệm của phương trình [1]; [2]; [3] là giao điểm của đường thẳng y= − ; 2 a y= − ; 2 b2

y= − với đồ thị hàm số c f x .

[ ]

 a∈ −

[

2;1

]

⇒ − ∈2 a

[ ]

3;4 suy ra phương trình [1] có đúng 1 nghiệm.
 b∈

[ ]

0;1 ⇒ − ∈2 b

[ ]

1;2 suy ra phương trình [2] có đúng 1 nghiệm.
 c∈

[ ]

1;2 ⇒ − ∈2 c

[ ]

0;1 suy ra phương trình [3] có 3 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biệt.

[10]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Có bao nhiêu số ngun m để phương trình 2f x

[ ]

+ =m 0 có 4 nghiệm phân biệt?
A. 4. B. 5. C. 2. D. 6.

Lời giải
Chọn B

Ta có: 2

[ ]

m
f x m+ = ⇔ f x =− .

Phương trình

[ ]

* có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng

[ ]

d y= − cắt đồ thị hàm số

[ ]

y f x= tại 4 điểm phân biệt 2 12

m−

⇔ − < < ⇔ − <



loạiloại

Phương trình

[

]

[

] [

]

[

] [

]

cos 2 0

cos 2 0 cos 2 1 cos 2 1

f x x a a

x b b

 =



= ⇔ = < −
 = >

loạiloại

⇔ cos 2 0

[

]

4 2

x= ⇔ =x π +kπ k∈ 

[11]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Câu 13. Cho hàm số bậc ba y f x=

[ ]

có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây

Tìm số nghiệm thực của phương trình f

[

− +x2 4x−3

]

= −2.

A. 1 B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải
ChọnA

Ta có − +x2 4x−3 xác định khi 1≤ ≤x 3.

Từ đồ thị của hàm số, ta có

[

]

[

]

[ ]

2 2

4 3 0

4 3 2 4 3 1 .

4 3 2;3

x x a

f x x x x

x x b

 − + − = cho ta hai giá trị của 1
x .

Phương trình đã cho trở thành:

[ ]

2 1

2 0

2
f t
f t f t

f t= −

− − = ⇔

  

  =

 .

Từ đồ thị hàm số y f t=

[ ]

trên

[

1;+∞ suy ra phương trình

]

f t = −

[ ]

1 có 1 nghiệm t = và 2
phương trình f t = có

[ ]

2 1 nghiệm t > do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm. 2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 18. Cho hàm số y f x=

[ ]

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m

[

−1 10; 0

]

để phương trình f x

[

3−3x2+2

]

=m2−3m có nghiệm thuộc

[14]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. 21. B. 5. C. 6 . D. 4.

Lời giải
Chọn D

Đặt t x= 3−3x2+2.

Vì 1≤ < ⇒ − ≤

+ +

Bảng biến thiên

x −∞ +∞

[ ]

u x +

[ ]

u x

0−∞

Do đó f x

[

− x2+ ≤1 3

]

với mọi x ∈ .

YCBT⇔ f m

[ ]

≤ ⇔3 m≤2.
Vì m ngun dương nên m∈

{ }

1;2

[43]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Tập hợp các giá trị dương của tham số m để phương trình 2

[ ]

f  f x + = f m

  có 9

nghiệm là:

[ ]

0;1 . B. 1 ;0

2  

 . C.

10;

2  

 . D.

[

0;1 .

]

Lời giải
Chọn C

Đặt 2

[ ]

t= f x + , suy ra

[ ]

2 12

2 4

t t

f x = − = −

Phương trình viết lại: f t

[ ]

= f m

[ ] [ ]

Số nghiệm phương trình [1] bằng số giao điểm của đường đồ thị hàm số f t

[ ]

và đường thẳng

[ ]

y f m=

Xét phương trình

[ ]

2 1

4
t
f x = −

Nếu

2 1 0
4

2 1 44

t−

 −

thì phương trình

[ ]

2 1

4
t

f x = − có một nghiệm.

Nếu 2 1 04
2 1 4

4
t
t−

 =

−

 = −



thì phương trình

[ ]

2 1

4
t

f x = − có hai nghiệm

Nếu 4 2 1 04

t −

− < < thì phương trình

[ ]

2 1

4
t

f x = − có ba nghiệm

Từ bảng biến thiên của hàm số f x ta suy ra phương trình

[ ]

f t

[ ]

= f m

[ ]

có nhiều nhất ba nghiệm.

Suy ra phương trình 2

[ ]

f  f x + = f m

  có 9 nghiệm

⇔ f t

[ ]

= f m

[ ]

có ba nghiệm thỏa 4 2 1 04

t −

− < ∀ ∈

− + −

Sau đây là BBT của hàm số g x trên đoạn

[ ]

0;4

f 4

[ ]

+

2 15- 12

[

]

4

0 g[x]

g'[x]

x

Vậy phương trình g x

[ ]

= f

[ ]

3 có đúng một nghiệm.

Câu 2. Cho hàm số f x

[ ]

có đồ thị như hình vẽ. Đặt g x[ ]= f f x[ [ ] 1]− . Tìm số nghiệm của

'[ ] 0
g x = .

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

Lời giải
Chọn C

Xét g x'[ ]= f x f f x'[ ]. '[ [ ] 1]−

Ta có: '[ ] 0 '[ ] 0 [1]'[ [ ] 1] 0 [2]

f x

g x

f f x=

= ⇔  − =

[78]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Từ [1]:

, [ 1,0]'[ ] 0 1

, [1,2]
x a a

f x x

x b b

= ∈ −


= ⇔ =

 = ∈



Từ [2]:

[ ] 1 , [ 1,0]'[ [ ] 1] 0 [ ] 1 1

[ ] 1 , [1,2]

f x a a

f f x f x

f x b b

− = ∈ −



− = ⇒ − =

 − = ∈



[ ] 1, 1 0[ ] 2

[ ] 1, 1 1 3

f x a a

f x

f x b b

= + + >


⇒ =

 = + < + ⇒ + ≥ ⇒  + 

[88]

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu suy ra bất phương trình g x và hàm số 0 y f x=

[ ]

có 3 điểm cực trị là 0, ,x x . Do vậy, phương trình 1 2

y′ = có 3 nghiệm phân biệt là 0, ,x x . 1 2

[92]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Đồ thị hàm số y′= f x′

[ ]

có dạng sau:

Từ đồ thị hàm số y′= f x′

[ ]

suy ra phương trình f x′′

[ ]

=0 có 2 nghiệm phân biệt x x3, 4 nên
đồ thị hàm số y′′= f x′′

[ ]

là một parabol có dạng sau:

Ta có f x f x m′′

[ ]

 ′′

[ ]

− =0

[ ]

0
f x
f x m

′′ =

⇔ 

′′ =

 .

Phương trình f x f x m′′

[ ]

 ′′

[ ]

− =0 có bốn nghiệm phân biệt⇔phương trình f x′′

[ ]

=m có
hai nghiệm phân biệt khác x x3, 4 ⇔parabol y′′= f x′′

[ ]

cắt đường thẳng y m= tại hai điểm

phân biệt có hồnh độ khác x x . 3, 4

Tung độ đỉnh của parabol y′′= f x′′

[ ]

là

4
b
f

 

′′ − 

  nên phương trình f x′′

[ ]

=m có hai

nghiệm phân biệt ,

[

]

m f m

 

′′

⇔ > −  ≠

  mà 2 4 1

b
f

 

′′

− < − < −

  và m nguyên thuộc

[

−8;2019

]

nên− ≤ ≤1 m 2019,

[

m≠0

]

[93]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Câu 8. Cho hàm đa thức bậc ba y f x=

[ ]

có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi phương trình

[

]

f f x′ = có bao nhiêu nghiệm?

A. 4 . B. 5. C. 3. D. 6.

Lời giải
Chọn B

Đặt f x

[ ]

=ax bx cx d3+ 2+ + .

[ ]

3 2 2

f x′ = ax + bx c+ .

Dựa vào đồ thị ta có:

[ ]

1 3 3 1

1 1 1 0

3 2 0 3

1 0

3 2 0 1

1 0

f a b c d a

f a b c d b

a b c c

a b c d

− =

 − + − + =  =

  

= − + + + = − =

 ⇔ ⇔

 ′ − =  − + =  = −

  

 ′ =  + + =  =

Suy ra f x

[ ]

=x3−3 1x+ .

Ta có

[ ]

[

]

[ ]

1 3 1 1 1

1 3 1 1 2

f x x x

f f x

f x x x



= − − + = −

′ = ⇔  ⇔ 

= − + =

 

  .

Dựa vào độ thị hàm số ta suy ra phương trình

[ ]

1 có 2 nghiệm và phương trình

[ ]

2 có 3 nghiệm. Các nghiệm của 2 phương trình này khơng trùng nhau. Do đó phương trình

[ ]

[

]

f f x′ = có 5 nghiệm.

[94]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Câu 1. Cho hàm số f x[ ]=ax bx cx dx ex m5+ 4+ 3+ 2+ − với a b c d e m∈, , , , , . Hàm số y f x= '[ ] có

đồ thị như hình vẽ [đồ thị của y f x= '[ ] cắt Ox tại 4 điểm có hồnh độ − −3; 1; 0,5 và 2].
Hỏi phương trình f x[ ]= −m có mấy nghiệm phân biệt.

A. 3. B. 1. C. 5. D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị ta có

[

][

]

[

4 3 2

]

'[ ] 3 1 2 1 2 2 3 12 7 6

f x =a x+ x+ x− x− =a x + x − x − x+ .

[

4 3 2

]

2 5 3 4 3 7 2

[ ] 2 3 12 7 6 d 4 6

5 4 2

f x a x x x x x a x x x x x m

⇒ = + − − + =  + − − + −

 

∫

Giải phương trình :

5 4 3 2

4 3 2

2 3 7

[ ] 4 6 0 2 3 7

5 4 2 4 6 0 [1]

5 4 2

f x m x x x x x

x x x x

=

= − ⇔ + − − + = ⇔

 + − − + =



Ta thấy phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt khác 0 .

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt.

[95]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Phương trình f x =

[ ]

0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị hàm số đã cho, ta có bảng biết thiên của hàm số y f x=

[ ]

Qua BBT và f

[ ]

3 0< ta thấy phương trình f x = vô nghiệm.

[ ]

Câu 3. Cho hàm số y f x=

[ ]

liên tục trên  và có đồ thị f x′

[ ]

như hình vẽ, biết f a

[ ]

=0. Phương
trình f x

[ ]

=0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải

Chọn B

Xét 1=

∫

′

[ ]

−

[ ]

b
a
a

S f x dx f x f b f a

[ ]

2 = −

∫

′ = − = − .

c
b
b

S f x dx f x f b f c

Vì S S1< 2⇒ f b

[ ]

− f a

[ ]

< f b

[ ]

− f c

[ ]

⇒ f a

[ ]

> f c

[ ]

Dựa vào đồ thị của hàm số f x′

[ ]

, ta có bảng biến thiên của hàm f x

[ ]

như sau:

x a b c

[ ]

f x′ − 0 + 0 − 0 +

[ ]

f x f a

[ ]

f b

[ ]

f c

[96]

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Câu 4. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[

−3; 3

]

và đồ thị hàm số y f x= ′

[ ]

như
hình vẽ bên. Biết f

[ ]

1 6= và

[ ]

[ ] [

]

g x = f x − + . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Phương trình g x = có đúng hai nghiệm thuộc

[ ]

[

−3;3

]

B. Phương trình g x =

[ ]

0 có đúng một nghiệm thuộc

[

−3;3

]

C. Phương trìnhg x = khơng có nghiệm thuộc

[ ]

[

−3;3

]

D. Phương trìnhg x =

[ ]

0 có đúng ba nghiệm thuộc

[

−3;3

]

Lời giải

Chọn B

Ta có: g x′

[ ]

= f x′

[ ] [

− +x 1 .

]

Ta thấy đường thẳng y x= +1 là đường thẳng đi qua các điểm

[

− −3; 2 , 1;2 , 3;4 .

] [ ] [ ]

Do f

[ ]

1 6= ⇒g

[ ]

1 4.=Từ hình vẽ ta thấy:

[ ]

d 6
f x x

−

>′

∫

⇒ f

[ ]

1 − f

[ ]

− >3 6⇒ f

[ ]

− ⇒ f

[ ]

3 8> ⇒g

[ ]

3 = f

[ ]

3 8 0− > .

Từ đồ thị hàm số y f x= ′

[ ]

và đường thẳng y x= +1 cùng với các kết quả trên ta có bảng biến

thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình g x =

[ ]

0 có đúng một nghiệm thuộc

[

−3;3 .

]

[97]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

VD

– V

DC

Biết

f

[ ]

0 0

=

. Khi đó số nghiệm của phương trình

f x

[

−

x

]

=

0

là:

A. 2. B. 4.

C. 3. D. 6.

Lời giải:
Chọn B

*Cách 1: Từ đồ thị ta có BBT sau:

Từ BBT ta có

[ ]

0

2 x

f x

x a

=



= ⇔  = >



Do đó

[

]

[ ]

0 1

0

2 x

f x

x

x a

 − =

−

= ⇔ 

− =

Ta có [1]

0

1 x

=



⇔  =



[2]

⇔

x

− − =

x a

0

, có

∆ = +

1 4

a

> ∀ >

0 , a

2

nên [2] ln có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và 1

Vậy PT

f x

[

−

x

]

=

0

có 4 nghiệm phân biệt.

*Cách 2: Từ đồ thị ta có

[ ]

0

2 x

f ' x

x

=



= ⇔  =



Đặt

g x

[ ]

=

f x

[

−

x

]

Ta có

g' x

[ ]

=





f x

[

−

x '

]





=

[

2 x

−

1 ]

f ' x

[

−

x

]

[ ]

[

]

2 1 0

1

0 1 0

1 2

0

2 x

g' x

x

; ; ; ;

f ' x

x

− =







= ⇔



⇔ ∈ −





−

=







[98]

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Từ BBT ta thấy phương trình

g x

[ ]

=

f x

[

−

x

]

=

0

có 4 nghiệm phân biệt.

*Cách 3: Từ GT ta có

f ' x

[ ]

=

3 ax

+

2 bx c

+

. Từ đồ thị ta có

f '

[ ]

0 0

= ⇒ =

c

0

;

[ ]

2 0 12

4 0 3

0 f '

= ⇒

a

+

b c

+ = ⇒

a b

+ =

[1]

Lại có

f '

[ ]

1 = −

1

nên

3 a

+

2 b

=−

1

[2] Từ [1], [2] ta có

1

3 a

=

; b

= −

Do đó

[ ]

2 [ ]

[

2 ]

3 2

3 x

f ' x

=

x

−

x

⇒

f x

=

∫

x

−

x dx

=

−

x

+

C

Lại có

f

[ ]

0 0

= ⇒ =

C

0

do đó

[ ]

3 2

3 x

f x

=

−

x

Ta có

[ ]

0

3 2

0

3 x

f x

x

=



= ⇔

−

= ⇔  =



Khi đó

[

]

0

1

0

1

13

3

2 x

;x

x

f x

x

=



 − =



−

= ⇔



⇔



±

− =

=





có 4 nghiệm.

Câu 6. Cho hàm số y f x=

[ ]

có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Phương trình

[

4 2

]

1 3 3 2 8 3

f x x− = − x + x − x+ có bao nhiêu nghiệm thực trên khoảng

[ ]

0;4 ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.

Lời giải

[99]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

[ ]

[

4 2

]

1 3 3 2 8 3

g x = f x x− + x − x + x−

[ ] [

4 2

]

[

4 2

]

2 6 8

g x′ = − x f′ x x− +x − x+ =

[

2−x

]

2f′

[

4x x− 2

]

+ −4 x

  .

Với x ∈

[ ]

0;4 thì 4− > ; x 0 0 4< x x− 2 ≤4 nên f′

[

4x x− 2

]

≥0.

Suy ra 2f′

[

4x x− 2

]

+ − >4 x 0

, ∀ ∈x

[ ]

0;4 . Bảng biến thiên

[ ]

4 11 26; [0] [0] 3 6; [4] [0] 7 2.

3 3 3 3

g = f + = g = f − = − g = f + = −

Suy ra phương trình

[

4 2

]

1 3 3 2 8 3

f x x− = − x + x − x+ có hai nghiệm thực trên khoảng

[ ]

0;4 .

Câu 7. Cho hàm số y f x=

[ ]

liên tục trên  có đồ thị hàm số y f x= ′

[ ]

như hình bên. Biết

[ ]

f a > , hỏi đồ thị hàm số y f x=

[ ]

có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

A. 4 điểm. B. 2 điểm. C. 1 điểm. D. 3 điểm.
Lời giải

Chọn B

[100]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Theo hình vẽ ta có: c '

[ ]

f x x f c= − f a < ⇔ f c < f a

∫

Từ đó, ta có thể lập được bảng biến thiên như sau:

.
Vậy đồ thị hàm số y f x=

[ ]

có thể cắt trục hồnh tại nhiều nhất 2 điểm.

Câu 8. Cho hàm số bậc y f x=

[ ]

thỏa mãn f

[ ]

− =1 f

[ ]

3 0= , f

[ ]

1 = −1 và đồ thị của hàm số

[ ]

y f x= ′ có dạng như hình dưới đây. Phương trình

[

f x

[ ]

]

3 = f

[ ]

1 có bao nhiêu nghiệm thực

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của y f x=

[ ]

x

[ ]

f x′

[ ]

f x

−∞ −1 1 3 +∞

0 +

−

+

−

0 0

[ ]

1
f

Xét hàm số y=

[

f x

[ ]

]

3 ta có y′=

[

f x

[ ]

]

′ = 3f x

[ ]

2.f x′

[ ]

[101]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

x

[ ]

f x′

[ ]

f x

[ ]

2.f x  .f x′

[ ]

[

]

y= f x

−∞ −1 1 3 +∞

0 +

−

0 0

[ ]

[

]

1
f

[

[ ]

]

3 = f

[ ]

1 = −1

Vậy phương trình

[

f x

[ ]

]

3 = f

[ ]

1 có 3 nghiệm phân biệt

Câu 9. Cho hàm số f x

[ ]

=ax bx cx d3+ 2+ +

[

a b c d ∈, , ,

]

. Đồ thị hàm số f x′

[ ]

như sau:

và 2018 1 2019 0f

[ ]

= f

[ ]

. Hỏi tập nghiệm của phương trình f x

[ ]

= f x′

[ ]

có số phần tử là?

A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3.

Lời giải

Chọn B

Ta có f x′

[ ]

=3ax2+2bx c+

Dựa vào đồ thị ta có f x′

[ ]

=3a x

[

][

x− =1 3

]

a x

[

2+ −x 2

]

và a ≠0

Suy ra

[ ]

3 3 2 6

f x =a x + x − x+d

 

Theo đề bài 2018 1 2019 0f

[ ]

= f

[ ]

2018 7 2019

2a d d

 

⇔ − + =

  ⇔ = −d 7063a.

Vậy ta có f x

[ ]

= f x′

[ ]

[

]

3 3 2 6 7063 3 2 2

a x x x a a x x

⇔  + − − = + −

[102]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

3 3 2 9 7057 0

x x x

⇔ − − − = . Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Câu 10. Cho hàm số bậc ba y f x=

[ ]

có đạo hàm là hàm số y f x= ′

[ ]

với đồ thị như hình vẽ sau đây:

Biết rằng đồ thị hàm số y f x=

[ ]

tiếp xúc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ âm. Hỏi
phương trình f x − =

[

]

0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Dựa vào dữ kiện của bài tốn ta có bảng biến thiên của hàm số y f x=

[ ]

như sau:

Suy ra phương trình f x =

[ ]

0 có hai nghiệm phân biệt x = −2 và x x= 0 với x ∈0

[

0;+ ∞

]

Do đó f x − =

[

3 0

]

3 23

x x

 − = −⇔ 

− =

 0

x x

 =⇔ 

= +



[

]

x x

= ±

⇔  = ± +

 .

Vậy phương trình f x − =

[

]

0 có 4 nghiệm phân biệt.

[CỊN TIẾP PHẦN CUỐI]

O x

3−

[103]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

CÁC DẠNG TỐN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN

XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ [PHẦN CUỐI: TỪ DẠNG 9-12]
Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

[ ]

, xét các bài tốn liên quan đến
phương trình có dạng f x

[ ]

=m f u x;

[

[ ]

]

=m f x;

[ ]

=g m f u x

[ ]

;

[

[ ]

]

=g m

[ ]

...

Câu 1. Cho hàm số y f x=

[ ]

. Đồ thị của hàm số y f x= ′

[ ]

như hình vẽ bên. Tìm điều kiện của m đề
phương trình f x[ ]=mcó nghiệm x∈ −

[

2;6

]

A. f

[ ]

− ≤ ≤2 m f

[ ]

0 . B. f

[ ]

− ≤ ≤2 m f

[ ]

5 .

C. f

[ ]

5 ≤ ≤m f

[ ]

6 . D. f

[ ]

0 ≤ ≤m f

[ ]

2 .

Lời giải

Chọn B.

Gọi S , 1 S , 2 S , 3 S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 y f x= ′

[ ]

với

và trục hoành.

Quan sát hình vẽ, ta có
 0

[ ]

2 0

d d

f x x f x x

−

′ > − ′

∫

[ ]

2 2

f x − f x⇔ >

[ ]

f f f f

⇔ − − > − ⇔ f

[ ]

− − ⇔ f

[ ]

2 < f

[ ]

6Ta có bảng biến thiên

− −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x
y

2−

O1−2−3

− 1 2 3 4 5 6 7 x

[104]

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán ⇔ f

[ ]

− ≤ ≤2 m f

[ ]

5 .

Câu 2. Cho hàm sốy f x= [ ]. Hàm số y f x= ′[ ] có bảng biến thiên như sau:

Phương trình [ ] cosf x − πx−2m= có nghiệm 0 x ∈o [2;3] khi và chỉ khi

A. 1

[ ]

2 1

[ ]

2 f ≤m≤ 2 f . B.

[ ]

1 3 1 2

2 f . 0

Vậyg x′[ ]= f x′[ ]+πsinπx> ∀ ∈0, x [2;3].
Bảng biến thiên của hàm số [ ]g x

Câu 3. Cho f x là hàm số đa thức bậc 5, có

[ ]

1 0= và đồ thị hàm số y f x đối xứng qua = ′

[ ]

đường thẳng x =1 như hình dưới đây.

Biết phương trình f x

[

+ = có nghiệm 1

]

m x∈ −

[

1;1

]

khi và chỉ khi m a b∈

[ ]

; . Khi đó a b+

bằng

A. 1

− . B. 1

5. C. 13. D. 0.

Lời giải

−2 0 2 5 6

[ ]

f x′

0 + 0 − 0 + 0 − 0

[ ]

f x

[ ]

2
f

[105]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Chọn D

Từ đồ thị [C] đã cho của hàm số y f x ta suy ra được đồ thị [C’] của hàm số = ′

[ ]

y f x= ′

[

+ 1

]

bằng cách tịnh tiến [C] sang trái 1 đơn vị. Khi đó [C’] đối xứng qua trục Oy và do nó là đồ thị

hàm đa thức bậc 4, nên [C’] là đồ thị hàm số trùng phương dạng y ax bx c= 4+ 2+ . Ta có [C’]

lần

lượt đi qua các điểm

[

0; 1− ;

]

[ ]

2; 3 ;

[

− − nên lập hệ giải ra ta được 1; 3

]

y x= −4 3x2−1.

Suy ra f x'[ 1]+ = −x4 3x2 −1 từ đó

[

]

5 3

5

x

f x+ = − − +x x C. Lại có f

[ ]

1 0= nên C =0.
Vậy

[

]

5 3

5
x

f x+ = − −x x.

Ta thấy f x'[ 1]+ = −x4 3x2− < ∀ ∈ −1 0 x

[ ]

1;1 nên hàm số

[

]

[ ] 5 3

5
x

f x+ =g x = − −x x nghịch
biến trên đoạn

[ ]

−1;1 . Do đó phương trình f x

[

+ = có nghiệm 1

]

m x∈ −

[

1;1

]

khi và chỉ khi
m∈

[

g[1]; [ 1]g − hay

]

9 9;

5 5
m ∈ − 

  suy ra

9; 9 0

5 5

a= − b= ⇒ + =a b .

Vậy

[ ]

2 2 [3] [2] sin 2 2 [3] sin 3 1

[ ]

2 1

[ ]

2 2

g < m g< ⇔ f + π < m f< + π ⇔ f < [ loại vì m 

⇒∆ = + − > ⇔ >

m
m

Mà  ∈ −

[

∈5;5

]

⇒ ∈

{ }

4;5 .


m

m Vậy có 2 giá trị nguyên m thoả mãn bài toán.

Câu 6. Cho hàm số y f x ax bx cx dx e a b c d e=

[ ]

= 4+ 3+ 2+ + , , , , ,

[

∈;a≠0

]

có đạo hàm trên  thỏa
mãn f − = −

[ ]

1 2, f

[ ]

1 3= , f

[ ]

4 = − và có đồ thị 3 y f x= '

[ ]

như hình vẽ sau:

Phương trình f x m

[ ]

− +2019 0= có 1 nghiệm khi

A. m =2016. B. m =2017. C. m =2018. D. m =2019

Lời giải

Chọn A.

Từ đồ thị hàm sốy f x= ′

[ ]

và giả thiết ta có bảng biến thiên:

Ta có f x m

[ ]

− +2019 0= ⇔ f x m

[ ]

= −2019 *

[ ]

Qua bảng biến thiên ta thấy để phương trình [*] có 1 nghiệm thì m−2019= − ⇔3 m=2016.

[108]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Phương trình f x

[ ]

= có bao nhiêu nghiệm? m

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải
Chọn C

Từ đồ thị hàm số có

[ ]

[

]

[

1 4

]

3 13 2 2 15

f x′ == a x+ x+  x− = ax + ax − ax− a

  .

[ ]

4 13 3 2 15

f x ax ax ax ax m

⇒ = + − − + .

[ ]

4 13 3 2 15

f x = ⇔m ax + ax ax− − ax m m+ = 4 13 3 2 15 0

ax ax ax ax

⇔ + − − =

3 13 2 15 0

x x x x 
⇔  + − − =

 

0533

x
x

=


⇔ =

 = −

Vậy phương trình f x

[ ]

= có 3 nghiệm. m

Câu 8. Cho hàm số f x[ ]thỏa mãn 3 0;2

f   f

 

0 3; f

 

1 0; f

 

2 3 . Hàm số y f x 

 

liên tục trên  và có đồ thị như sau:

Với m 

 

0;3 số nghiệm thực của phương trình f x



2 3



m; [m là tham số thực], là

A. 3 B. 4

C. 6. D. 5.

Lời giải
Chọn C

[109]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Đặt t x 2  3 t 3, ta có phương trình

 

0;3

 

*
f t m
m

  

 có 3 nghiệm phân biệt, hơn nữa
do 3 0; 2

 

f  f  nên phương trình

 

* có 3 nghiệm phân biệt t t t1 2 3, , 32;2

 

  [thỏa

mãn điều kiện] suy ra mỗi phương trình 2 3 ; 3;2 ; 1,2,3.2

i i

t x  t    i

  đều có 2 nghiệm
phân biệt. Vậy phương trình f x



2 3



m có tất cả 6 nghiệm phân biệt với m 

 

0;3

Câu 9. Cho đồ thị hàm số y f x=

[ ]

xác định và có đạo hàm trên . Hàm số y f x= ′

[ ]

có đồ thị như
hình vẽ. Số nghiệm nhiều nhất của phương trình f x

[ ]

2 =m [m là tham số thực] là?

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5

Lời giải
Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ′

[ ]

ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f x

[ ]

=mcó tối đa hai nghiệm dương, do đó phương
trình f x

[ ]

2 =mcó tối đa 4 nghiệm.

Câu 10. Cho hàm số y f x=

[ ]

liên tục trên , f

[ ]

0 + f

[ ]

5 2 3= f

[ ]

và có bảng biến thiên của hàm số

[ ]

y f x= ′ như sau:

x −∞ −1 x 1 0 x 2 3 x 3 4 +∞

[ ]

f x′ 0 0 0 0

Tập nghiệm của phương trình f x

[

2− =1

]

[ ]

3 có bao nhiêu phần tử?

A. 4. B. 5. C. 6 . D. 7 .

[110]

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Từ BBT của hàm số y f x= ′

[ ]

suy ra dấu của f x′

[ ]

và có BBT của hàm số y f x=

[ ]

như sau:

x −∞ −1 0 3 4 +∞

[ ]

f x′ − 0 + 0 + 0 − 0 +

[ ]

f x f −

[ ]

1 f

[ ]

0 f

[ ]

3 f

[ ]

Lại có f

[ ]

0 + f

[ ]

5 =2 3f

[ ]

, mà f

[ ]

0 < f

[ ]

3 nên f

[ ]

5 > f

[ ]

3 .

Mặt khác với mọi x∈ ta có x − ≥ − , do đó 2 1 1 f x

[

2− =1

]

[ ]

[

]

1 3

1 4 5

x a a

 − =⇔ 

− = <