Cho hàm số y bảng fx có bảng biến thiên Số nghiệm đường của phương trình 2x 3 = 0 là

(1)

Nội dung chính Show

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài tốn liên quan đến phương trình có
dạng f x

( )

=a., f u x

(

( )

)

=a.

Dạng 2: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến phương trình có
dạng f x

( )

=g m

( )

,f u x

(

( )

)

=g m

( )

Dạng 3: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến phương trình có

dạng f x

( )

= f m

( )

, f u x

(

( )

)

= f m

( )

Dạng 4: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến phương trình có

dạng f x

( )

=a f x;

( )

=a f u x;

(

( )

)

=a f u x;

(

( )

)

=a....

Dạng 5: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến phương trình có
dạng f x

( )

=g m

( )

; f x

( )

=g m f u x

( )

;

(

( )

)

=g m

( )

; f u x

(

( )

)

=g m

( )

....

Dạng 6: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài tốn liên quan đến phương trình có

dạng f x

( )

=g x f u x

( )

;

(

( )

)

=g v x

(

( )

)

Dạng 7: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến phương trình,
bất phương trình chứa f x f x'

( )

; ''

( )

... .

Dạng 8: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

( )

, xét các bài toán liên quan đến phương trình

có dạng f x=0; f u x =0;f x=g x f u x; =g v x ... .

Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

( )

, xét các bài toán liên quan đến phương trình

có dạng f x

( )

=m f u x;

(

( )

)

=m f x;

( )

=g m f u x

( )

;

(

( )

)

=g m

( )

...

Dạng 10: Biết số nghiệm của phương trình f x =

( )

0 , xét các bài toán liên quan đến phương trình
có chứa f x f x'

( )

; ''

( )

... .

Dạng 11: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến BẤT
PHƯƠNG TRÌNH có dạng f x

( )

≥g x f u x

( )

;

(

( )

)

≥g x

( ) (

> < ≤, , ...

)

có thể có tham số.

Dạng 12: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

( )

, xét các bài toán liên quan đến BẤT

PHƯƠNG TRÌNH có dạng f x

( )

≥g x f u x

( )

;

(

( )

)

≥g x

( ) (

> < ≤, , ...

)

có thể có tham số.

CÁC DẠNG TỐN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN
BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO

(2)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN

XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN 1. Từ dạng 1 đến dạng 4)

Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến

phương trình có dạng f x=a., f u x =a.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thuộc khoảng

(

0;π

)

của phương trình f

(

sinx = −

)

4 là

A. 0. B. 1. C. 2 . D. 4 .

Lời giải
Chọn C

Xét phương trình: f

(

sinx = −

)

4 sin

(

( )

1;0

)

sinxx 0;1

αβ

= ∈ −

⇔  = ∈

Vì x∈

(

0;π

)

⇒sinx∈

(

0;1

]

. Suy ra với x∈

(

0;π

)

thì f

(

sinx = −

)

4⇔sinx= ∈β

( )

0;1 . Vậy
phương trình đã cho có 2 nghiệm x∈

(

0;π

)

(thỏa mãn).

Vậy chọn C.

(3)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Phương trình

(

cos

)

133

f x = có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ;2 2

π π

− 

 

 ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.

Lời giải
Chọn C

Đặt t=cosx, ;

(

0;1

]

2 2

x∈ − π π ⇒ ∈t

  .

Phương trình

(

cos

)

133

f x = trở thành

( )

3
f t =

Dựa vào bảng biến thiên trên ta có phương trình

( )

f t = có đúng một nghiệm t ∈

( )

0;1

Với một nghiệm t ∈

( )

0;1 , thay vào phép đặt ta được phương trình cosx t= có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng ;

2 2

π π

− 

 

 .

Vậy phương trình

(

cos

)

f x = có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng ;2 2

π π

− 

 

 .
Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên \ 0

{ }

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình 2 3f x − − =

(

5 7 0

)

là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải
Chọn C

(

)

(

)

2 3 5 7 0 3 5

2
f x− − = ⇔ f x− = .

Đặt t=3 5x− , phương trình trở thành

( )

2

f t = .

Với mỗi nghiệm t thì có một nghiệm 5

3
t

x= + nên số nghiệm t của phương trình

( )

2
f t =

(4)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x=

( )

suy ra phương trình

( )

f t = có 3 nghiệm
phân biệt nên phương trình 2 3f x − − =

(

5 7 0

)

có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  thỏa mãn điều kiện lim

( )

x→−∞ f x = xlim→+∞ f x

( )

= −∞ và có

đồ thị như hình dưới đây

Với giả thiết, phương trình f

(

1− x3+x

)

=acó nghiệm. Giả sử khi tham số a thay đổi, phương trình đã

cho có nhiều nhất mnghiệm và có ít nhất nnghiệm. Giá trị của m n+ bằng

A. 4 . B. 6 . C. 3. D. 5.

Lời giải
Chọn C

Dễ thấy điều kiện của phương trình đã cho là x ≥ . 0

Đặt t= −1 x x3+

( )

1 ⇒ ∈ −∞t ( ;1].

Dễ thấy phương trình

( )

1 ln có nghiệm duy nhất ∀ ∈ −∞t ( ;1] .

Phương trình đã cho có dạng: f t

( )

=a (2), 1t≤ .

(5)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Do đó:

(2) vơ nghiệm khi a > . 1

(2) có hai nghiệm khi − ≤ <3 a 1.

(2) có nghiệm duy nhất khi a = hoặc 1 a < − . 3
Vậy m=2,n= ⇒ + =1 m n 3.

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi m là số nghiệm của
phương trình

f f x =

(

( )

)

1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. m =6. B. m =7. C. m =5. D. m =9.
Lời giải

(6)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Ta có:

( )

(

)

( )

1;0

1 0;1

x x

f x x x

x x

= ∈ −



= ⇔ = ∈

 = >

Suy ra:

(

( )

)

( )

1
23

1 2

3
f x x

f f x f x x

f x x=



= ⇔ =

 =



+) Xét (1): f x

( )

= ∈ −x1

(

1;0

)

, ta có đường thẳng y x= 1 cắt đồ thị hàm số y f x=

( )

tại 3

điểm phân biệt nên phương trình

( )

1 có 3 nghiệm phân biệt.

+) Xét

( )

2 : f x

( )

= ∈x2

( )

0;1 , ta có đường thẳng y x= 2 cắt đồ thị hàm số y f x=

( )

tại 3
điểm phân biệt nên phương trình

( )

2 có 3 nghiệm phân biệt.

+) Xét

( )

3 : f x

( )

=x3 >2, ta có đường thẳng y x= 3 cắt đồ thị hàm số y f x=

( )

tại 1 điểm

nên phương trình

( )

3 có 1 nghiệm.

Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: m = + + = . 3 3 1 7

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ sau.

Số nghiệm của phương trình f

(

2sinx = trên đoạn

)

[

0;2π

]

là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải
Chọn C

Đặt t =2sinx, t ∈ −

[

2;2

]

(7)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

sin 1sin 212sin 1 sin

2 211235

t l

t n
f t
t n
t l
x

x
x x= −

  = −

= − 
 
= ⇔  ⇔ ⇔

= − 

 = −==−= − .

Với sin 1 2

x= − ⇔ = −x π +k π ,

[

0;2

]

x∈ π ⇒ =x π .

Với sin 1 3 2

4
2 23

x k

x
x k
π π
π π = − += − ⇔  = +

[

0;2

]

x∈ π ⇒ =x π , 4

π .

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình f f x = có bao nhiêu nghiệm.

(

( )

)

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Lời giải.
Chọn D

y=c

y=b

y=a

Phương trình f x = có ba nghiệm phân biệt là:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

2; 10;11;2

x a a

x b b
x c c

 = ∈ − −= ∈= ∈

(8)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt.

Câu 8. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ.

x
y

1-1

-13

Số nghiệm của phương trình 3 ( ) 4 0f x − = là

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải
Chọn B

Ta có 3

( )

4 0

( )

f x − = ⇔ f x = .

Phương trình

( )

1 là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x=

( )

và đường thẳng 4

y = . Số nghiệm của

( )

1 chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

x
y

1-1

y = 43

-13

Dựa vào đồ thị của hai hàm số

( )

, 43

y f x y= = ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
nên phương trình

( )

1 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau

(9)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Lời giải

Phương trình 2f x − =

( )

3 0

( )

f x

⇔ = .

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x=

( )

với đường thẳng 3

2
y = .

Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm thực của phương trình 2f x − = là

( )

3 0 2.

Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên  có đồ thị

( )

y f x=

( )

như hình vẽ bên. Phương trình

( )

(

)

f − f x = có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt.

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải
Chọn B

Theo đồ thị:

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

2 1 2 2 1

0 0 1 2 0 2 2 2

1 2 2 2 3

x a a f x a f x a

f x x b b f f x f x b f x b

x c c f x c f x c

= − < < − − = = −

  

  

= ⇔ = < < ⇒ − = ⇔ − = ⇔  = −

 = < <  − =  = −

  

Nghiệm của phương trình (1); (2); (3) là giao điểm của đường thẳng y= − ; 2 a y= − ; 2 b2

y= − với đồ thị hàm số c f x .

( )

 a∈ −

(

2;1

)

⇒ − ∈2 a

( )

3;4 suy ra phương trình (1) có đúng 1 nghiệm.
 b∈

( )

0;1 ⇒ − ∈2 b

( )

1;2 suy ra phương trình (2) có đúng 1 nghiệm.
 c∈

( )

1;2 ⇒ − ∈2 c

( )

0;1 suy ra phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biệt.

(10)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Có bao nhiêu số ngun m để phương trình 2f x

( )

+ =m 0 có 4 nghiệm phân biệt?
A. 4. B. 5. C. 2. D. 6.

Lời giải
Chọn B

Ta có: 2

( )

m
f x m+ = ⇔ f x =− .

Phương trình

( )

* có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng

( )

d y= − cắt đồ thị hàm số

( )

y f x= tại 4 điểm phân biệt 2 12

m−

⇔ − < < ⇔ − < <2 m 4.

Do m∈  nên m∈ −{ 1; 0; 1; 2; 3}. Chọn B.

Câu 12. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình

(

cos 2

)

f f x = ?

A. 1 điểm. B. 3 điểm. C. 4 điểm. D. Vô số.

Lời giải
ChọnC

Dựa vào đồ thị ta thấy khi x ∈ −

[

1;1

]

thì y ∈

[ ]

0;1 .

Do đó nếu đặt t=cos 2x thì t ∈ −

[

1;1 ,

]

khi đó f

(

cos 2x ∈

)

[ ]

0;1 .

Dựa vào đồ thị, ta có

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

cos 2 0

cos 2 0 cos 2 1 .

cos 2 1

f x

f f x f x a a

f x b b

=



= ⇔ = < −

  

 

 = >



loạiloại

Phương trình

(

)

(

) (

)

(

) (

)

cos 2 0

cos 2 0 cos 2 1 cos 2 1

f x x a a

x b b

 =



= ⇔ = < −
 = >

loạiloại

⇔ cos 2 0

(

)

4 2

x= ⇔ =x π +kπ k∈ 

(11)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Câu 13. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây

Tìm số nghiệm thực của phương trình f

(

− +x2 4x−3

)

= −2.

A. 1 B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải
ChọnA

Ta có − +x2 4x−3 xác định khi 1≤ ≤x 3.

Từ đồ thị của hàm số, ta có

(

)

(

)

( )

2 2

4 3 0

4 3 2 4 3 1 .

4 3 2;3

x x a

f x x x x

x x b

 − + − = <



− + − = − ⇔ − + − =

− + − = ∈

loại

• − +x2 4x− = ⇔ =3 1 x 2.

• − +x2 4x− = ⇔3 b x2 −4x+ +3 b2 =0 có

(

)

( )

4 3 b 1 b 0, b 2;3 .′

∆ = − + = − < ∀ ∈

Vậy phương trình f

(

− +x2 4x−3

)

= −2 có đúng 1 nghiệm.

Câu 14. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các
giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 sinf

(

x + =1

)

m có nghiệm thuộc khoảng

(

0;π

)

là

[

0;4

)

. B.

(

0;4

)

. C.

( )

1;3 . D.

[

0;8

)

.
Lời giải

O x

(12)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Chọn D

Đặt t=2 sinx +1. Với x∈

(

0;π

)

thì t ∈

(

1;3

]

Do đó phương trình 2 2 sinf

(

x + =1

)

m có nghiệm thuộc khoảng

(

0;π

)

khi và chỉ khi
phương trình

( )

2
m

f t = có nghiệm thuộc nửa khoảng

(

1;3

]

Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là

[

0;4

)

[

0;8

)

m∈ ⇔ ∈m .

Câu 15. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các
giá trị thực của tham số m để phương trình f

(

2−x2

)

=m có nghiệm là:

A. − 2 ; 2. B.

(

0;2

)

. C.

(

−2;2

)

. D.

[ ]

0;2 .
Lời giải

Chọn D

Điều kiện của phương trình: x ∈ − 2 ; 2 .

Đặt t= 2−x2 . Với x ∈ − 2 ; 2

  thì t ∈ 0; 2 .

Do đó phương trình f

(

2−x2

)

=m có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f t

( )

=m có

nghiệm thuộc đoạn 0; 2  .

Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m ∈

[ ]

0;2 .

Câu 16. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:

( )

Số nghiệm thực của phương trình 3f x − = là

( )

5 0

A. 4. B. 2. C. 0. D. 3.

- 2 2

(13)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Lời giải
Chọn A

Ta có 3f x − =

( )

5 0⇔3f x

( )

3
f x⇔ = .

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị y f x=

( )

và đường thẳng 5

3
y = .

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng 5

y = cắt đồ thị y f x=

( )

tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.

Câu 17. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ sau.

Số nghiệm của phương trình [ (f x2 +1)]2 − f x( 2 + − =1) 2 0 là:

A. 1. B. 4. C. 3. D. 5.

Lời giải
Chọn B

Đặt t x= 2 + ⇒ ≥ . 1 t 1

Ta thấy ứng với t = cho ta một giá trị của 1 x và ứng với mỗi giá trị t > cho ta hai giá trị của 1
x .

Phương trình đã cho trở thành:

( )

2 1

2 0

2
f t
f t f t

f t= −

− − = ⇔

  

  =

 .

Từ đồ thị hàm số y f t=

( )

trên

[

1;+∞ suy ra phương trình

)

f t = −

( )

1 có 1 nghiệm t = và 2
phương trình f t = có

( )

2 1 nghiệm t > do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm. 2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 18. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m

[

−1 10; 0

]

để phương trình f x

(

3−3x2+2

)

=m2−3m có nghiệm thuộc

(14)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. 21. B. 5. C. 6 . D. 4.

Lời giải
Chọn D

Đặt t x= 3−3x2+2.

Vì 1≤ < ⇒ − ≤

Phương trình f x

(

3−3x2+2

)

=m2−3m⇔ f t

( )

=m2−3m với t ∈ −

[

2;2

)

Phương trình có nghiệm thuộc nửa khoảng

[

1;3

)

2 22

3 2 0

2 3 4

3 4 0

m m

 − + ≥

⇔ − ≤ − < ⇔ 

− − <

 .

1 1

2 4

m
m− < ≤

⇔  ≤ <


Vậy trên đoạn

[

−1 10; 0

]

có 4 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 19. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x = là:

( )

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải
Chọn C

Số nghiệm của phương trình f x = là số giao điểm của đồ thị hàm số

( )

2 y f x=

( )

và đường
thẳng y =2. Dựa vào đồ thị ta thấy số giao điểm là 3.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

(15)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3

Lời giải
Chọn C

Từ đồ thị ta có f f x

(

( )

)

= − ⇔3 f x

( )

= −1.

Cũng từ đồ thị ta thấy ta có đồ thị hàm số y f x=

( )

cắt đường thẳng y = −1 tại hai điểm phân
biệt nên phương trình f x = − có hai nghiệm phân biệt.

( )

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Câu 21. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ.

y = f(x)

-2

x
O

-21-1

Phương trình f f x =

(

( )

)

2 có bao nhiêu nghiệm?

A. 3 B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:

( )

(

)

( )

1
f x
f f x

f x = −= ⇔ 

 .

Số nghiệm của các phương trình f x = − và

( )

2 f x = lần lượt là số giao điểm đồ thị hàm số

( )

(16)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Dựa vào đồ thị ta có f x = − có hai nghiệm phân biệt

( )

2 x1= −1;x2 =2 và f x = có ba

( )

nghiêm x3=a x; 4 =b x; 5 =c sao cho -2 < a < -1 < b < 1 < c < 2 .

Vậy phương trình f f x =

(

( )

)

2 có 5 nghiệm phân biệt.

Câu 22. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá
trị thực của tham số m để phương trình f x

(

2+2x−2

)

=3m+1 có nghiệm thuộc khoảng

[ ]

0;1 ..

[ ]

0;4 . B.

[

−1;0

]

. C.

[ ]

0;1 . D. 1 ;13

− 

 

 

Lời giải
Chọn.D.

Đặt t x= 2+2x−2. Với x∈

[ ]

0;1 ⇒ ∈ −t

[

2;1

]

Phương trình f x

(

2+2x−2

)

=3m+1 có nghiệm thuộc đoạn

[ ]

0;1 khi và chỉ khi phương trình

( )

3 1

f t = m+ có nghiệm thuộc

[

2;1

]

0 3 1 4 1 13

m m

− ⇔ ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ .

Câu 23. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm phương trình f x −

( )

2020 0= là

A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3

Lời giải
Chọn C

(17)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y f x=

( )

cắt đường thẳng y =2020 tại 1 điểm nên phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Câu 24. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình bên dưới

x
y

2- 2

-2

0 1

Số nghiệm của phương trình 2f x − = là:

( )

7 0

A. 4. B. 2. C. 0 . D. 3.

Lời giải
Chọn B

( )

2f x − =7 0

( )

2
f x

⇔ = .

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y f x=

( )

và đường thẳng 7

y = cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình 2f x − =

( )

7 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 25. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f x + = là?

( )

1 0

A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2.

Lời giải

Phương trình f x + =

( )

1 0⇔ f x

( )

= −1.

(18)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Câu 26. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình f

(

1 3− x

)

=6 có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2.

Lời giải

Xét g x

( )

= f

(

1 3− x

)

⇒g x′

( )

= −3 1 3f

(

− x

)

1 3 1 3

1 3 3 2

3
x
x

x x

 =− = −

⇔ − = ⇔ 

  = −



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f

(

1 3− x

)

=6 có một nghiệm âm.

Chọn A.

Câu 27. Đồ thị hàm số f x

( )

=ax bx cx dx e4+ 3+ 2+

(19)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Phương trình

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) 0

a f x +b f x +c f x +df x e+ = (*) có số nghiệm là

A. 2. B. 6. C. 12. D. 16.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta thấy đồ thị y f x=

( )

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f x = có 4

( )

0
nghiệm phân biệt: x ∈ −1

(

1,5; 1− ,

)

x ∈ − −2

(

1; 0,5

)

, x ∈3

(

0;0,5

)

, x ∈4

(

1,5;2

)

(20)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Với m x= ∈ −1

(

1,5; 1− có 2 giao điểm nên phương trình

)

f x

( )

=x1 có 2 nghiệm.

Với m x= ∈ − −2

(

1; 0,5

)

có 4 giao điểm nên phương trình f x

( )

=x2 có 4 nghiệm.

Với m x= ∈3

(

0;0,5

)

có 4 giao điểm nên phương trình f x

( )

=x3 có 4 nghiệm.

Với m x= ∈4 1,5;2 có 2 giao điểm nên phương trình f x=x4 có 2 nghiệm.

Vậy phương trình (*) có 12 nghiệm.

Câu 28. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình bên.

Số nghiệm phân biệt của phương trình f f x = là

(

( )

)

A. 7. B. 8. C. 9. D. 6.

Lời giải
Chọn A.

Đặt f x

( )

=t, khi đó

( )

(

)

(

)

2 1

1 0

1 2

t a a

f t t

t b b

= − < < −


= ⇔ =

 = < <

Khi đó ta có

( )

(

)

( )

(

)

2 1

1 2

f x a a

f x

f x b b

= − < < −

 =



 = < <

Dựa vào đồ thị ta có phương trình f x

( )

=a có 1 nghiệm, phương trình f x = có

( )

0 3

nghiệm, phương trình f x

( )

=b có 3 nghiệm. Và các nghiệm này khơng trùng nhau.
Vậy phương trình f f x = có

(

( )

)

1 7 nghiệm.

(21)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải
Chọn B

Ta có:

Theo đồ thị :

( )

(

2 e

)

1 2

( )

e 1

(

)

2 e , 2 3

x
x

f f

f a a

 + = −

+ = ⇔

 + = < <

( )

e 1

( )

2 e 1 e 3 0

e 1

x x

f f x

b L

 =

+ = − ⇔ = − ⇔  ⇔ =

= < −

( )

(

)

( )

e 1

2 e e 2, 0 2 1 e 0 ln

e 2

x x x

c L

f a f a a d L x t

t = < −

+ = ⇔ = − < − < ⇔ = < ⇔ =

= >

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

(22)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

1 (

−3;0

)

. B.

(

−3;3

)

. C.

( )

0;3 . D.

[

−3;0

]

Lời giải
Chọn A

Đặt t =ex. Với x∈

(

0;ln 2

)

⇒ ∈t

( )

1;2

Phương trình f

( )

ex =m có nghiệm thuộc khoảng

(

0;ln 2 khi và chỉ khi phương trình

)

( )

f t =m có nghiệm thuộc khoảng

( )

1;2 ⇔ − < <3 m 0.

Câu 31. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để phương trình f

(

2log2x

)

=m có nghiệm duy nhất trên 1 ;22 

.

A. 9. B. 6 . C. 5. D. 4

Lời giải
Chọn.B

Đặt t=2log2 x, 1 ;2

[

2;2

)

x∈ ⇒ ∈ −t

 . Với mỗi t ∈ −

[

2;2

)

thì phương trình 2log x t2 = có

một nghiệm duy nhất trên 1 ;2

2 

(23)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Phương trình f

(

2log2x

)

=m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 1 ;22 

 khi và chỉ khi phương

trình f t

( )

=m có nghiệm duy nhất thuộc

[

2;2

)

2 26

m
m− ≤ ≤

− ⇔ =
⇒ có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 32. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số giá trị nguyên của tham số mđể phương trình 8f e

( )

x =m2−1 có hai nghiệm thực phân biệt

là

A. 5. B. 4. C. 7 . D. 6 .

Lời giải
Chọn A

Đặt t e t= x

(

)

phương trình trở thành 8

( )

2 1

( )

2 1

8
m

f t =m − ⇔ f t = −

( )

1 .

với t > cho ta duy nhất một nghiệm 0 x=lnt. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm thực phân
biệt khi và chỉ khi (1) có đúng hai nghiệm t > . 0

Từ đồ thị ta suy ra phương trình (1) có đúng hai nghiệm t > khi và chỉ khi: 0

2 1

1 1 3 3.

m − m

− < < ⇔ − <

Dạng 2: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến
phương trình có dạng f x

( )

=g m

( )

, f u x

(

( )

)

=g m

( )

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình vẽ sau

+ ∞ 2 + ∞

1 1

∞ ∞

1 1

(24)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. m∈

(

1;2

]

. B. m∈

[

1;2

)

. C. m∈

( )

1;2 . D. m∈

[ ]

1;2 .

Fece: Chính Nguyễn

Lời giải

Chọn C.

Phương trình f x m

( )

− = ⇔0 f x

( )

∗ .

Dựa vào đồ thị hàm số y f x=

( )

, phương trình

( )

∗ có 4 nghiệm phân biệt ⇔1<

Câu 2. Cho hàm số y f x=

( )

xác định và liên tục trên đoạn

[

−2;2

]

và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ sau.

Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x

( )

=m có 3 nghiệm phân biệt trên đoạn

[

−2;2

]

là

A. m∈

(

2;+∞

)

. B. m∈ −

[

2;2

]

. C. m∈ −

(

2;3

)

. D. m∈ −

(

2;2

)

Face: Hà Dũng
Lời giải

Chọn D.

Số nghiệm của phương trình f x

( )

=m bằng số điểm chung của đồ thị hàm số y f x=

( )

(hình
vẽ) và đường thẳng y m= .

Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có 3nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m∈ −

(

2;2

)

Câu 3. Cho hàm số y f x( ) xác định trên \



1;1



, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của thàm số m sao cho phương trình f x

 

m có ba nghiệm thực phân biệt.

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

(25)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

V

D

– V

DC

Chọn D

Căn cứ bảng biến thiên ta thấy:

Phương trình f x

 

m có ba nghiệm phân biệt khi − < <2 m 2

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn ycbt.

Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên =

( )

 và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số các giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 5 để phương trình

( )

2 1 08

πx −m − =

có hai nghiệm phân biệt là

A. 5. B. 4. C. 7. D. 6.

Fece: Chính Nguyễn
Lời giải

Chọn A

( )

2 1 0 1

( )

x m

f π − − = .

Đặt t=πx. Điều kiện t >0. (1) trở thành

( )

2 1 2

( )

8
m

f t = − .

Vì với mỗi nghiệm t >0 của phương trình (2) cho đúng một nghiệm x=logπt của phương trình (1) nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có đúng hai nghiệm phân biệt trên

(

0;+∞

)

. Dựa vào đồ thị ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 1.8

m −

− < <

5 5

3 3

1 1

m m

m

m



 ∈  ∈

 ≤ ⇔ ≤ ⇔

 

 − − < <− < <



 



2; 1;0;1;2



(26)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên \ 1

{ }

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f

(

log2x

)

=m có nghiệm thuộc

khoảng

(

1;+ ∞

)

là

(

1;+ ∞

)

. B.

( )

0;1 . C.

[

0;+∞

)

. D. \ 1

{ }

Face: Điểm Đàm
Lời giải

Chọn C

Đặt t=log2x. Với x ∈

(

1;+ ∞

)

thì t ∈

(

0;+ ∞

)

Do đó phương trình f

(

log2x

)

=m có nghiệm thuộc khoảng

(

1;+ ∞

)

khi và chỉ khi phương
trình f t

( )

=m có nghiệm thuộc khoảng

(

0;+ ∞

)

Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m∈ +∞

[

)

Câu 6. Hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau.

Số các giá trị nguyên của m để phương trình

f x

(

3+1

)

=

m có 4 nghiệm phân biệt là

A. 15. B. 7. C. 17. D. 8.

Face: Nguyễn Văn Sang
Lời giải

Chọn A

Đặt

t x

=

3+1, phương trình f x( 3+1)=m trở thành f( )t =m. Do

y x

=

3+1

là hàm số đồng
biến nên ta có bảng biến thiên hàm số y f= ( )t cũng là

O x

(27)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Để phương trình

f x

(

3+1

)

=

m có 4 nghiệm phân biệt thì − < <9 m 7. Do đó có 15 giá trị

nguyên của m thỏa mãn.

Câu 7. Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 100 để phương trình

( )

2 2 2020 0

f x −m + = có đúng hai nghiệm phân biệt là

A. 55. B. 56. C. 54. D. 99.

Face : Hoàng Ngọc Hùng
Lời giải

Chọn A

Đặt t x= 2,t ≥ . Phương trình đã cho trở thành 0 f t

( )

=m2−2020 1

( )

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình

( )

1 có đúng 1 nghiệm dương.

Từ đồ thị hàm số y f x=

( )

ta có 2 2020 1 2 2021 2021

2021
m

m m

m ≥

− ≥ ⇔ ≥ ⇔ 

≤ −

 .

Do m nguyên dương và nhỏ hơn 100 nên m∈

{

45;46;47,...,99 .

}

Vậy có 55 số thỏa mãn.

Câu 8. Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên  và có bảng biến thiên của y' như hình vẽ.

Tìm m để phương trình f x( +2)= +m x có nghiệm x ∈ −

[

1;2

]

A. f(4) 2− < B. f(4) 2− ≤ ≤m f(1) 1+ .

C. m f≤ (1) 1+ . D. − ≤ ≤ −5 m 1.

Face : Hồng Ngọc Hùng

Lời giải
Chọn B

Ta có f x( +2)= + ⇔m x m f x= ( + −2) x

(28)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Từ bảng biến thiên ta thấy f x + ∈ − − nên '( 2)

[

5; 1

]

f x'( + < ∀ ∈ −2) 0 x

[

1;2

]

suy ra hàm số

( 2)

y f x= + nghịch biến trên ( 1;2)− ⇒ f(4)≤ f x( + ≤2) f(1),∀ ∈ −x

[

1;2

]

.
Mặt khác ta có ⇒ − ≤ − ≤ ∀ ∈ −2 x 1, x

[

1;2

]

Từ đó f(4) 2− ≤ f x( + − ≤2) x f(1) 1+ ∀ ∈ −x

[

1;2

]

Để phương trình f x( +2)= +m x có nghiệm x ∈ −

[

1;2

]

điều kiện m là

(4) 2 (1) 1.
f − ≤ ≤m f +

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Có tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình f x

(

2−4x+ + =5 1

)

m có nghiệm ?

A. 5 . B. 6 . C. 4. D. Vô số.

Face: Trần Quốc Đại

Lời giải

Chọn A

Đặt t x= 2−4x+5 suy ra t ≥ , ta có phương trình 1 f t

( )

= −m 1

Dựa vào đồ thị phương trình f t

( )

= −m 1 có nghiệm t ≥ khi và chỉ khi 1

1 4 5

m− ≤ ⇔ ≤m Suy ra có 5 giá trị nguyên của m.

(29)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. 17. B. 16 . C. 18 . D. Vô số.

Face: Trần Quốc Đại

Lời giải

Chọn A

Đặt t x= 2−4x+5 suy ra t ≥ , ta có phương trình 1 f t

( ) ( )

= f m

Dựa vào đồ thị phương trình f t

( ) ( )

= f m có nghiệm t ≥ khi và chỉ khi 1

( )

4 2

1
m
f m

m ≤ −

≥ ⇔  ≥

 . Suy ra các giá trị nguyên của m∈ −

(

10;10

)

là 9− ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤m 2 1 m 9Vậy có 17 số nguyên

Câu 11. Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tìm các giá trị thực của m để phương trình f(cos )x =m có nghiệm thuộc khoảng

;2 2

π π

− 

 

 :

A. m∈ −

[

1;3

)

. B. m∈ −

(

1;1

)

. C. m∈ −

[

1;1

)

. D. m∈ −

(

1;3

)

(30)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Chọn C

Đặt t=cosx, do ;2 2

x∈ − π π 

 ⇒ ∈t

(

0;1

]

. Phương trình trở thành f t( )=m

Phương trình f(cos )x =m có nghiệm thuộc khoảng ;2 2

π π

− 

 

  khi và chỉ khi phương trình ( )

f t =m có nghiệm t ∈

(

0;1

]

⇔ Đường thẳng y m= có điểm chung với đồ thị hàm số f t( )

trên nửa khoảng

(

0;1 .

]

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có giá trị cần tìm của m là m∈ −

[

1;1

)

Câu 12. Giả sử tồn tại hàm số y f x=

( )

xác định trên \ 1 ,

{ }

± liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của thàm số m sao cho phương trình    

f x m

x có nghiệm.

A.  

 2;1. B.  2;1



. C.



 ;



.
D.



 2;



Lời giải
Chọn B

Đặt  t x 1

x Khi đó:    

t . Căn cứ bảng biến thiên ta thấy:

Phương trình f t

 

m có nghiệm khi − ≤ <2 m 1.

Câu 13. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình f x

(

2−2x

)

=m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt

thuộc đoạn 3 7; ?2 2

− 

 

 

(31)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Lời giải
Chọn B

Đặt t x= 2−2 ,x với 3 7;

2 2
x ∈ − 

  thì

211; .

4
t ∈ − 

 

x 3

2
−

1 72

( )

t x′ − 0 +

( )

t x 214 214

1−

Dựa vào BBT ta thấy: với mỗi 1;214

t ∈ − 

  sẽ cho hai nghiệm x và với t = − sẽ cho một 1

nghiệm .x

Do đó phương trình f x

(

2−2x

)

=m có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 7;

2 2
− 

 

 

( )

f t m

⇔ = có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc 1;214
− 

 

 .

Dựa vào đồ thị ta có f t

( )

=m với 1;214

t ∈ − 

  có đúng 2 nghiệm phân biệt

2 4

5 .(4)

m
m f

< <


⇔ =

 =

Vìm nguyên nên m=3,m=5. Vậy chọn đáp án B.

Câu 14. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá
trị thực của tham số m để phương trình f x

(

3−3x2+2

)

=m2−3m có nghiệm thuộc nửa

khoảng

[

1;3 là

)

(32)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Chọn D

Đặt t x= 3−3x2+2.

Vì 1≤ < ⇒ − ≤

Phương trình f x

(

3−3x2+2

)

=m2−3m⇔ f t

( )

=m2−3m với t ∈ −

[

2;2

)

Phương trình có nghiệm 2 22

3 2 0 1 1

2 3 4

2 4

3 4 0

m m m

m m

 − + ≥ − < ≤

⇔ − ≤ − < ⇔ ⇔ ≤ <− − <

 

 .

Câu 15. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ.

Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

(

sinx

)

=m có đúng hai
nghiệm thuộc khoảng

( )

0;π ?

A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
Lời giải

Chọn D

Đặt t=sinx x

(

∈

( )

0;π ⇒ < ≤0 t 1

)

Nhận xét: với mỗi giá trị t thỏa mãn 0<

(

π −x0

)

thuộc

khoảng

( )

0;π .

Phương trình f

(

sinx

)

=m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng

( )

0;π

⇔ Phương trình f t

( )

=m có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng

( )

0;1

7 m 2

⇔ − < < − . Mà: m∈ ⇒ ∈ − − − − m

{

3; 4; 5; 6

}

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

(

sinx

)

=m có đúng hai nghiệm
thuộc khoảng

( )

0;π .

(33)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình f x( )= f m( ) có đúng 2 nghiệm?

A. 4. B. 3. C. 3. D. 1.

Lời giải
Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số thì phương trình f x( )= f m( ) có đúng 2 nghiệm ( ) 1(1).( ) 3
f m
f m

= −

⇔  =


Số giá trị m thỏa mãn (1) chính là số nghiệm x của hệ ( ) 1(2).

( ) 3
f x
f x

= −

 =



Lại dựa vào đồ thị thì đường thẳng y =3 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt,
đường thẳng y = −1 cũng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt, 4 điểm này có hồnh
độ khác nhau nên hệ (2) có 4 giá trị x thỏa mãn. Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán.

Dạng 3: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài tốn liên quan đến

phương trình có dạng f x

( )

= f m

( )

, f u x

(

( )

)

= f m

( )

(34)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình f

(

3−x

)

= f m

( )

có hai nghiệm thuộc đoạn

[

−1;5

]

A. 2. B. 3. C. 5. D. 0 .

Lời giải
Chọn A

Đặt t= −3 x. Với x ∈ −

[

1;5

]

ta suy ra t ∈ −

[

2;4

]

.
Khi đó, mỗi t ∈ −

[

2;4

]

cho ta một x ∈ −

[

1;5

]

Do đó phương trình f

(

3−x

)

= f m

( )

có hai nghiệm thuộc đoạn

[

−1;5

]

khi và chỉ khi phương
trình f t

( )

= f m

( )

(*) có hai nghiệm thuộc đoạn

[

−2;4

]

Từ đồ thị của hàm số f x

( )

, ta suy ra phương trình (*) có hai nghiệm khi và chỉ khi:

( )

2 4 2

f m
f m

= −

 < <

 .

Mặt khác, từ đồ thị của hàm số f x , ta suy ra

( )

− =1 f

( )

1 = f

( )

4 =2 và

( )

3 2

2
x
f x

x= −

= − ⇔  =

 .

Do đó

( )

1 22

= −

⇔  =

 .

Trên khoảng

(

−2;0

)

hàm số f x đồng biến, suy ra

( )

(35)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Trên khoảng

( )

0;2 hàm số f x nghịch biến, suy ra

( )

2< f m < ⇔4 f 1 < f m < f 0 ⇔ < <0 m 1.

Do đó

( )

2 1 0

0 1

m
m− < <

⇔  < <

 .

Suy ra tập hợp các giá trị m cần tìm là

(

−1;0

) ( ) {

∪ 0;1 ∪ −2;2

}

Vì m ∈  nên m ∈ −

{

2;2

}

Vậy có hai số nguyên thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Câu 2. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f

(

1 2sin− x

)

= f m

( )

có nghiệm thực?

A. 6. B. 7. C. 4. D. 5.

Lời giải

Chọn B

Ta có: 1 1 2sin− ≤ − x≤ ∀ ∈  . 3, x

Do đó: f

(

1 2sin− x

)

= f m

( )

có nghiệm − ≤2 f m

( )

≤ ⇔ − ≤2 1 m ≤ ⇔3 m ≤3
3 m 3

⇔ − ≤ ≤ .

Mà m∈ ⇒ ∈ − − − m

{

3; 2; 1;0;1;2;3

}

⇒ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

(36)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. m∈ −

{

1;0;1;2

}

. B. m∈

{

0;1;2

}

. C. m∈∅ . D. m∈

{ }

0;1 .

Lời giải.

Chọn A.

Xét phương trình f

(

1 sin+ x

)

= f m

( )

(*).

* Với m = − : 1

Từ đồ thị hàm số ta thấy f − = − .

( )

1 3

Do đó

( )

* ⇔ f

(

1 sin+ x

)

= − ⇔ +3 1 sinx=2⇔sinx=1 22

x π k π

⇔ = + .

Suy ra m = − thỏa yêu cầu bài toán. 1
* Với m ≠ − : 1

Đặt t= +1 sinx, 0≤ ≤t 2.

(*)⇔ f t

( )

= f m

( )

Dựa vào đồ thị hàm số thì hàm số f t

( )

nghịch biến với t ∈

[ ]

0;2 .
Do đó f t

( )

= f m

( )

⇔ =t m ⇔ ∈m

[ ]

0;2 .

Vì m∈ nên m∈

{

0;1;2

}

Vậy m∈ −

{

1;0;1;2

}

Câu 4. Cho đồ thị hàm số y f x=

( )

như hình vẽ. Để phương trình f

(

61−x2

)

= f m

( )

có nghiệm thì

điều kiện của tham số m là m a b∈

[ ]

; . Hỏi điểm A a b thuộc đường tròn nào sau đây?

( )

;

(

) (

)

3 1 2

x− + y− = . B.

(

) (

)

1 1 1

x− + y− = .

C. x2+

(

y−1

)

2 =1. D.

(

) (

2 1

)

2 20

x− + y+ =
Lời giải
Chọn B

(37)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Khi đó f

(

61−x2

)

= f m

( )

⇒ f t

( )

= f m

( )( )

Dựa vào đồ thị thấy hàm số f t nghịch biến với

( )

t ∈

[ ]

0;1 .
Do đó phương trình (*) ⇔ = ⇒ ≤ ≤t m 0 m 1 vì t ∈

[ ]

0;1 .

Để phương trình f

(

61−x2

)

= f m

( )

có nghiệm thì điều kiện của tham số m là m∈

[ ]

0;1 .

Tọa độ điểm A

( )

0;1 , ta có:

(

0 1−

) (

2+ −1 1

)

2 =1⇒ ∈A C

( ) (

: x−1

) (

2+ y−1

)

2 =1.

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

(

8 4+ x−4x2 − =1

)

f m

( )

có

nghiệm thuộc

(

−1;1

)

A. 5. B. 7. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn D.

Xét trên

(

−1;1

)

, hàm số y f x=

( )

nghịch biến nên phương trình

(

8 4 4 2 1

)

( )

8 4 4 2 1

f + x− x − = f m ⇔ + x− x = +m

(

)

1 0

8 4 4 1

x x m

+ ≥

⇔ 

+ − = +



Để u cầu bài tốn được thỏa, ta tìm các giá trị thực m ≥ −1 sao cho đồ thị hàm số

8 4 4

y= + x− x cắt đường thẳng

(

)

y= m+ tại ít nhất một điểm có hồnh độ − < <1 x 1.

(38)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

x − 1 1

2 1

y + 0 -

8 4 4

y= + x− x 9 0 8

Như vậy ta phải có

(

)

1 2

0 1 9

m
m

≥ −

 ⇔ − ≤ ≤



< + ≤

 , m∈ suy ra m∈ −

{

1;0;1;2

}

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để phương trình f x

(

− +1 2

)

= f

(

3− +m 2

)

có nghiệm.

A. −2. B. 6 . C. 8 . D. 4.

Lời giải

Chọn B

Đặt t x= − + ≥1 2 2 thì phương trình f x

(

− +1 2

)

= f

(

3− +m 2 1

)

( )

trở thành

( )

(

3 2 2

)

( )

f t = f − +m với t ≥ . 2

Để phương trình

( )

2 có nghiệm thì đường thẳng có phương trình y f=

(

3− +m 2

)

phải cắt
đồ thị hàm số y f t=

( )

tại ít nhất một điểm với mọi t ≥ 2 ⇔ − <1 f

(

3− +m 2

)

≤2⇔ ≤m 3.
Vì m nguyên dương nên m∈

{

1; 2; 3

}

⇒ tổng các giá trị nguyên dương của m thỏa mãn bài toán là 1 2 3 6+ + = .

(39)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f

(

6sinx+8cosx

)

= f m m

(

)

có nghiệm thực.

A. 5. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải
Chọn D

Nhận thấy hàm số y f x=

( )

là hàm số đồng biến trên 

(

6sin +8cos

)

(

)

f x x f m m ⇔6sinx+8cosx m m=

(

)

Đặt y=6sinx+8cosx.

Có: 62+82 ≥ y2⇔ −10≤ ≤y 10.

Vậy phương trình có nghiệm ⇔ − ≤10 m m

(

+ ≤1 10

)

10 010 0

 + − ≤



⇔ 

+ + ≥

m m

1 41 1 41

2 2

− − − +

⇔ ≤ ≤m .

Vì m∈ ⇒ ∈ − − − m

{

3; 1; 1;0;1;2

}

. Vậy có 6 số nguyên thỏa u cầu bài tốn.

(40)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈ −

[

5;5

]

để phương trình

(

2+2 10+

)

(

2+1

)

f x x f m có hai nghiệm phân biệt?

A. 8. B. 6. C. 9. D. 7.

Lời giải

Chọn B.

Đặt t= x2+2 10x+ ⇒ =t

(

x+1

)

2+ ⇒ ≥9 t 3.

Với t =3 thì x= −1. Ta có f m

(

2+ =1

)

( )

3 ⇒m2+ = ⇔1 3 m= ± 2

(loại).
Với t >3 mỗi giá trị t sẽ có 2 giá trị x tương ứng.

Do đó f

(

x2+2 10x+

)

= f m

(

2+1

)

⇔ f t

( )

= f m

(

2+1

)

với t ≥3

Để phương trình f

(

x2+2 10x+

)

= f m

(

2+1

)

có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng

(

2+1

)

f m cắt đồ thị y f t=

( )

tại 1 điểm duy nhất có hồnh độ t>3.

Từ đồ thị y f x ta có =

( )

(

)

(

)

1 21 1

 + =



 + < −

f m
f m

1 51 6 + =⇒ 

+ >

m
m

255= ±

⇒ >

 < −

m
m

m .

Do m∈ và m∈ −

[

5;5

]

⇒ = − − −m

{

5; 4; 3;3;4;5

}

. Có 6 giá trị m thỏa mãn.
Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

=ax4+bx2+c a 0

(

≠

)

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

-1

-3

O
y

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: f

(

4−x x

)(

−2

)

= f m( ) có nghiệm?

(

−∞;1

)

. B.

[

−1;1

]

. C.

[ ]

0;1 . D.

(

− +∞1;

)

Lời giải
Chọn B

Đặt t 4x x   2 t 0.

Với  x  2;4 theo bất đẳng thức Cơsi ta có: 4  2 4   2 12

x x

x x   

(41)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

 t  0;1 , 2;4 x    3 f t    0 3 f



4x x 2



0

  



4 2



( )

f x x f m

    có nghiệm khi và chỉ khi:  3 f m( ) 0    1 m 1.

Câu 10. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị

ngun của tham số mđể phương trình f

(

2sinx−cosx

)

= f m

( )

có nghiệm x∈ .

x −∞ ∞+ y’ + y ∞+ −∞

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6 .

Lời giải
Chọn C

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x=

( )

đồng biến trên 

nên f

(

2sinx−cosx

)

= f m

( )

⇔2sinx−cosx m=

Phương trình 2sinx cosx m− = có nghiệm ⇔22+ −

( )

1 2 ≥m2 ⇔m2 ≤ ⇔ −5 5≤ ≤m 5

.
Vậy m∈ ± ±

{

2; 1;0

}

Câu 11. Cho f x là một hàm số liên tục trên đoạn

( )

[

−2;9

]

, biết f

( )

− =1 f

( )

2 = f

( )

9 3= và f x

( )

có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình f x

( )

= f m

( )

có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn

[

−2;9 .

]

A. m ∈ −

(

2;9 \

]

(

−1;2

) { }

∪ 6 .

)

B. m ∈ −

[

2;9 \

]

(

−1;2

) { }

∪ 6 .

)

C. m ∈ −

(

2;9 \ 6 .

]

{ }

D. m ∈ −

[

2;9 \ 2;6 .

]

{

−

}

Lời giải
Chọn A

(42)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Trên

(

6;9 ,

)

hàm số f x đồng biến và

( )

9 3= nên − <4 f m

( )

≤ ⇔ < ≤ 3 6 m 9.
Vậy điều kiện của m là: m∈ − − ∪

(

2; 1

] [

2;6

) (

∪ 6;9

]

⇔ ∈ −m

(

2;9 \

]

(

−1;2

) { }

∪ 6 .

)

Câu 12. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ.

x
y

-1 2

-2

1
O

Số giá trị nguyên dương của m để phương trình f x

(

− x2+ =1

)

f m

( )

có nghiệm là :

A. 1. B. 0 . C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số u x

( )

= −x x2+1

Ta có

( )

2 2

' 1 0,

1 1

x x x

u x

x x

+ −

= − = >

+ +

Bảng biến thiên

x −∞ +∞

( )

u x +

( )

u x

0−∞

Do đó f x

(

− x2+ ≤1 3

)

với mọi x ∈ .

YCBT⇔ f m

( )

≤ ⇔3 m≤2.
Vì m ngun dương nên m∈

{ }

1;2

(43)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Tập hợp các giá trị dương của tham số m để phương trình 2

( )

f  f x + = f m

  có 9

nghiệm là:

( )

0;1 . B. 1 ;0

2  

 . C.

10;

2  

 . D.

(

0;1 .

]

Lời giải
Chọn C

Đặt 2

( )

t= f x + , suy ra

( )

2 12

2 4

t t

f x = − = −

Phương trình viết lại: f t

( )

= f m

( ) ( )

Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của đường đồ thị hàm số f t

( )

và đường thẳng

( )

y f m=

Xét phương trình

( )

2 1

4
t
f x = −

Nếu

2 1 0
4

2 1 44

t−

 <



 −

 > −

thì phương trình

( )

2 1

4
t

f x = − có một nghiệm.

Nếu 2 1 04
2 1 4

4
t
t−

 =

−

 = −



thì phương trình

( )

2 1

4
t

f x = − có hai nghiệm

Nếu 4 2 1 04

t −

− < < thì phương trình

( )

2 1

4
t

f x = − có ba nghiệm

Từ bảng biến thiên của hàm số f x ta suy ra phương trình

( )

f t

( )

= f m

( )

có nhiều nhất ba nghiệm.

Suy ra phương trình 2

( )

f  f x + = f m

  có 9 nghiệm

⇔ f t

( )

= f m

( )

có ba nghiệm thỏa 4 2 1 04

t −

− < <

⇔ f t

( )

= f m

( )

có ba nghiệm thỏa 15 1
2 t 2− < <

( )

258

f m

(44)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Do m >0 nên ta cho chọn 0 12

⇔ < < .

Dạng 4: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến

phương trình có dạng f x

( )

=a f x;

( )

=a f u x;

(

( )

)

=a f u x;

(

( )

)

=a....

Câu 1. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình

(

3 3

)

2
f x − x = là

A. 8. B. 4. C. 7 . D. 3.

Lời giải
Chọn A

Phương trình

(

)

(

)

(

)

3 2

2 3

2
f x x
f x x

f x x

 − =

− = ⇔ 

 − = −

x
a2

a1 a3

y =- 32
y = 32

-2 O

-12

* Phương trình

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1

3 3

2 2

3 3

3 , 2 0

3 3 , 0 2

3 , 2

x x a a

f x x x x a a

x x a a

 − = − < <

− = ⇔ − = < <
 − = >

* Phương trình

(

)

(

)

4 4

3 3 , 2

f x − x = − ⇔x − x a a= < − .

(45)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

x

y

y = a4
y = a3

y = a2

y = a1

O

2 -2

1 -1

Dựa vào đồ thị trên ta có:
- Phương trình 3

x − x a= có 3 nghiệm phân biệt. - Phương trình 3

x − x a= có 1 nghiệm. - Phương trình 3

x − x a= có 1 nghiệm.

Vậy phương trình

(

3 3

)

f x − x = có 8 nghiệm phân biệt.

Câu 2. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình

(

4 2 2

)

f x − x = là

A. 8. B. 9. C. 7 . D. 10.

(46)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Chọn A

Phương trình

(

)

(

)

(

)

4 2

2 2

f x x

 − =



− = ⇔

 − = −



* Phương trình

(

)

(

)

(

)

(

)

4 2

4 2 4 2

4 2

2 , 1 0

2 2 2 , 0 1

2 , 2 3

x x b b

f x x x x c c

x x d d

 − = − < <

− = ⇔ − = < <
 − = < <

* Phương trình f x

(

4−2x2

)

= − ⇔2 x4−2x2 =a, 2

(

− < < − . a 1

)

(47)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Dựa vào đồ thị trên ta có:

- Phương trình x4−2x2 =a, 2

(

− < < −a 1

)

khơng có nghiệm thực.

- Phương trình x4 −2x2 =b, 1

(

− < ) có 4 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình x4−2x2 =c, 0
(
< ) có 2 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình x4−2x2 =d, 2
(
< ) có 2 nghiệm thực phân biệt.

Vậy phương trình f x
(
4 −2x2
)
=2 có 8 nghiệm thực phân biệt.

Câu 3. Cho hàm số trùng phương y f x
 
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thuộc

0;2

của
phương trình f

cos 2x 

1 bằng

A. 4 . B. 6 . C. 3. D. 8 .

Lời giải
Chọn D

Ta có f

cos 2x 

1
(

)

(

)

cos 2 1cos 2 1

f x

f x

=

⇔ 

= −

( )

( )
cos 2 0
cos 2 1 cos 2 0

sin 4 0sin 2 0

cos 2 1cos 2 1

x

x a VN x

x
x

x b VN

x=

 = >

=



⇔ ⇔ ⇔ =

=
= < − 



= ±

Phương trình sin 4x  có 8 nghiệm thuộc 0

0;2

.

(48)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Số nghiệm thực của phương trình
(
3 3
)
4

3

f x − x = là

A. 3. B. 8 . C. 7 . D. 4.

Lời giải
Chọn B

Xét phương trình:
(
3 3
)
4

3
f x − x =
( )
1 .

Đặt t x= 3−3x, ta có: t′ =3x2−3; t′ = ⇔ = ± . 0 x 1

Bảng biến thiên:

Phương trình
( )
1 trở thành
( )
43

f t = với t ∈ .

Từ đồ thị hàm số y f x=
( )
ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số y= f t
( )
như sau:

Suy ra phương trình
( )
43
f t = có các nghiệm t1< − < < < <2 t2 t3 2 t4. Từ bảng biến thiên ban đầu ta có:

+) 3

1

3

x − x t= có 1 nghiệm x1.

+) 3

4

3

x − x t= có 1 nghiệm x . 2

+) 3

2

3

x − x t= có 3 nghiệm x x x3, ,3 5. +) 3

3

3

x − x t= có 3 nghiệm x x x6, ,7 8.
Vậy phương trình
(
3 3
)
4

3

f x − x = có 8 nghiệm.

(49)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Tìm số nghiệm phương trình
( )
3

2
f x = .

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Đồ thị hàm y= f x
( )
gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị y = f x
( )
nằm trên Ox (Kể cả giao điểm trên trục Ox )
+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f x
( )
nằm dưới Ox
Từ đó ta có đồ thị của của hàm số y= f x
( )
.

-2 -1 1 2

-2-1123456

x
y

Từ đồ thị của hàm số y= f x
( )
nên
( )
3

2

f x = có 6 nghiệm.

Cách 2:

( )
3

2

f x =
( )

( )

( )

( )
3 *23 **2
f x

f x
 = −

⇔ 

 =

(50)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

-2

-1

1

2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

3

2

y = −

3

2

y =

Dựa vào đồ thị trên:

-Phương trình
( )
3

2

f x = − : có 4 nghiệm

-Phương trình
( )
3

2

f x = : có 2 nghiệm

Vậy
( )
3

2

f x = có 6 nghiệm.

Câu 6. Đồ thị hàm số y= −2x3+9x2−12x+4 như hình vẽ. Phương trình 2 3 9 2 12 9 0

2

x − x + x − = có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 3. B. 4. C. 6. D. 8 .

Lời giải
Chọn C

Xét phương trình

3 2 9

2 9 12 0

2
x − x + x − =

3 2 17

2 9 12 4

2

x x x

⇔ − + − + = (*)

O x

y

1

1−

(51)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= −2 x3+9x2−2x+4 và

đường thẳng 172
y =

Hình vẽ dưới là đồ thị hàm số y= −2 x3+9x2 −2x+4 (C). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

đường thẳng 172

y = cắt đồ thị (C ) tại 6 nghiệm phân biệt.

Câu 7. Cho hàm số y f x=
( )
xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên

Số nghiệm của phương trình f x
(
2−2 1x−
)
=4 là

A. 2. B. 4. C. 6 . D. 8 .

Lời giải
Chọn D

Đặt t x= 2 −2 1x− , t ≥ − . Khi đó, phương trình thành 2 f t =
( )
4.

Từ bảng biến thiên của hàm số y f x=
( )
suy ra phương trình f x = có 4 nghiệm
( )
0

1, , ,2 3 4

x x x x thỏa mãn x1< − <2 x2< <0 x3 < <2 x4. Ta có bảng biến thiên hàm số y= f x
( )

là:

O x

y

1

1−

24

(52)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f t = có 6 nghiệm phân biệt
( )
4 t t t t t t thỏa 1 2 3 4 5 6, , , , ,
mãn t1< < < − <
Xét hàm số y x= 2−2 1x− có y′ =2x− = ⇔ =2 0 x 1. Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên trên có phương trình 2

1

2 1

x − x− =t và 2

2

2 1

x − x− =t vơ nghiệm.

Mỗi phương trình x2−2 1x− =t với
{

}
3 4 5 6, , ,
t∈ t t t t có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều phân biệt.

Vậy phương trình f x
(
2−2 1x−
)
=4 có 8 nghiệm phân biệt.

Câu 8. Cho hàm số y f x( ) ax b
cx d+

= =

+ có đồ thị như hình vẽ bên.

Tất cả các giá trị của m để phương trình f x( )=mcó hai nghiệm phân biệt là

A. 0< < và m 1 m> . 1 B. m ≥ và 2 m≤ . 1 C. m > và 2 m< . 1 D. 0< < . m 1

Lời giải
Chọn C

Số nghiệm của phương trình ( )f x =m(1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x= ( )và
đường thẳng y m= .

Hàm số y f x= ( )là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số y f x= ( )gồm 2 phần:

+ Phần 1: Đồ thị hàm số y f x= ( )với x ≥ . 0

(53)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì đường thảng y m= cắt đồ thị y f x= ( ) tại 2
điểm phân biệt. Từ đồ thị ta có m>2; m< 1

Câu 9. Cho hàm số y f x=
( )
=ax bx3+ 2+cx d a b c d+ , , , ,
(
∈, 0a≠
)
, có bảng biến thiên như hình

sau

Phương trình f x =
( )
3 có bao nhiêu nghiệm dương phân biệt?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải
Chọn D

Ta có:
( )
0
( ) ( )
1 1 22
y y

y = − + = .

Bảng biến thiên của hàm số y= f x
( )
là:

Từ bảng biến thiên ta có: Phương trình f x =
( )
3 có duy nhất 1 nghiệm dương.

Câu 10. Cho hàm số y f x=
( )
có đồ thị
( )
C như hình vẽ bên. Phương trình
(
1
)
32

(54)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải

Chọn D

Đồ thị
( )
C của hàm số 1 y f x=
(
+1
)
vẽ được bằng cách tịnh tuyến đồ thị ( )C sang trái 1 đơn

vị ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới

Đồ thị
( )
C của hàm số 2 y= f x
(
+1
)
vẽ được bằng cách

+ Giữ nguyên phần đồ thị
( )
C nằm phía trên trục hồnh và những điểm trên trục hoành ta 1

được đồ thị
( )
C . 3

+ Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị
( )
C1 nằm phía dưới trục hồnh ta được đồ thị
( )
C4 .

+ Khi đó
( ) ( ) ( )
C2 = C3 ∪ C4 có đồ thị như hình vẽ dưới

Từ đồ thị
( )
C2 dễ thấy phương trình f x + =
(
1
)
32 có 4 nghiệm âm phân biệt.

(55)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Phương trình f
(
1 3− x
)
+ =1 3 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 3. C. 6 . D. 5.

Lời giải
Chọn A

Cách 1: Dựa vào BBT của đồ thị hàm số y f x=
( )
ta có số nghiệm của phương trình
( )
=

f x m , m là tham số như sau:

+/ Nếu 35
m

m < − >

 phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

+/ Nếu 35
m

m = − =

 phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
+/ Nếu 3− <

Ta có phương trình
(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 3 1 3 1 3 2

1 3 1 3

1 3 1 3 1 3 4

− + = − = 
− + = ⇔  ⇔
− + = − − = −  

f x f x

f x

f x f x .

Từ kết quả trên ta suy ra
( )

( )

( )

12

4 1 2 3

34

1 31 3

( 1 3 ; 3 3)

1 31 3

x a
x a

a f a a a f f

x a
x aα α− = − =

 < < < − < < < = = − − =



− =

Vậy phương trình f
(
1 3− x
)
+ =1 3có 4 nghiệm phân biệt

Cách 2 : Dựa vào BBT ta có:
( )

( )

( )

1 1 5

0

3 3 3

x f
f x
x f= − ⇒ − =
′ = ⇔ 
= ⇒ = −

Xét hàm số g x
( )
= f
(
1 3− x
)
+1.Ta có:

( )
3 1 3
(

)

g x′ = − f′ − x . Suy ra g x′
( )
=0 ⇔ f′
(
1 3− x
)
=0 1 3 11 3 3

(56)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

V

D

– V

DC

( )

2 1 1 6

3

g  = − + =  f

  ;
( )

2 3 1 2

3

g− = f + = −

  .

Mặt khác f x′
( )
< ⇔ − < <0 1 x 3. Do đó
(
1 3
)
0

f′ − x < 1 1 3 3 2 3 2 2 2

3 3

x x x

⇔ − < − < ⇔ − < − < ⇔ − < <

Suy ra: g x′
( )
= −3 1 3f′
(
− x
)
>0 2 2

3 x 3

⇔ − < < nên ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f
(
1 3− x
)
+ =1 3 có 4 nghiệm.

Câu 12. Cho hàm số y f x=
( )
có bảng biến thiên như hình vẽ

Hỏi phương trình f x +
(
2017 2018 2019
)
− = có bao nhiêu nghiệm?

A. 6 . B. 2. C. 4. D. 3.

Lời giải
Chọn C

Xét đồ thị hàm số y f x=
(
+2017 2018
)
− có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x=
( )

song song với trục Ox sang trái 2017 đơn vị, rồi sau đó tịnh tiến song song với trục Oy xuống dưới 2018 đơn vị.

(57)
N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Khi đó đồ thị hàm số y= f x
(
+2017 2018
)
− gồm hai phần:

+ Phần đồ thị của hàm số y g x=
( )
= f x
(
+2017 2018
)
− nằm phía trên trục hồnh.

+ Và phần đối xứng của đồ thị y g x=
( )
= f x
(
+2017 2018
)
− nằm phía dưới trục hồnh.

Do đó ta có được bảng biến thiên của hàm số y g x=
( )
như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình f x +
(
2017 2018 2019
)
− = có 4 nghiệm.

Câu 13. Cho hàm số y f x=
( )
xác định trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình

(
2
)
1

2

f x − = − có bao nhiêu nghiệm?

x
y

13

-1

-1 O

A. 4. B. 0 . C. 6 . D. 2.

Lời giải
Chọn A

+ Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số y f x=
(
−2
)
.
( )
C 1

+ Tiếp theo xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng x = . 2

(58)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

x
y

13

-1

3

O

 2

yf x

x
y

1

2

-1

3

O

 2

yf x

12

y  

+ Dựa vào đồ thị hàm số y f x=
(
−2
)
, ta thấy đường thẳng 1

2

y = − cắt đồ thị hàm số

(
2
)

y f x= − tại 4 điểm phân biệt →phương trình
(
2
)
12
f x − = − có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 14. Cho hàm số y f x=
( )
xác định trên  và và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f x
(
2−2x
)
=3 là

A. 3. B. 4. C. 2. D. 5.

Lời giải
Chọn C

Ta có
(

)

(

)

(

)

22

2

2 3

2 3

2 3

f x x

f x x

f x x

 − =



− = ⇔

 − = −

Dựa vào đồ thị ta thấy:

+ Phương trình f x
(
2−2x
)
=3 1
( )
⇔x2−2x a a=
(
> ⇔1
)
x2−2x a− =0. Vì ∆ = + >1 a 0nên

phương trình
( )
1 có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình f x
(
2−2x
)
= −3 2
( )
⇔x2−2x b b=
(
< − ⇔1
)
x2−2x b− =0. Vì

1 b 0

∆ = + < nên phương trình
( )
2 vơ nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình f x
(
2−2x
)
=3 là 2.

Câu 15. Cho hàm số f x ax bx cx d a b c d
( )
= 3+ 2+ +
(
, , , ∈ 
)
có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá

(59)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

A. − < <3 m 1. B. − < <1 m 3. C. − < <2 m 6. D. − < <6 m 2.

Lời giải
Chọn D

Ta có: 2f x
( )
+ =m 0
( )
2−
⇔ f x = m .

( )

f x là hàm chẵn nên đồ thị như hình bên:

Từ đồ thị ta có phương trình 2f x
( )
+ =m 0 có 4 nghiệm thực phân biệt khi:

1 3

2−

− < m< ⇔ − < <6 m 2.

Câu 16. Cho hàm số y f x=
( )
liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Số giá trị nguyên của m để phương trình f x
(
−2
)
=m có nghiệm trên đoạn
[
−1,5
]
là.

(60)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

Lời giải
Chọn C

Ta có − ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ − ≤1 x 5 3 x 2 3 0 x 2 3

Do đó ∀ ∈ −x
[
1;5
]
, 0≤ − ≤x 2 3.

Đặt t x= −2 với t ∈
[ ]
0;3 . Xét hàm số y f t=
( )
liên tục trên
[ ]
0;3 . Dựa vào đồ thị ta thấy
[ ]0;3

max ( ) 5f t = , [ ]

0;3

min ( ) 2f t = [ ] [ ]

1;51;5

max (− f x 2 ) 5,min (= − f x−2 ) 2

⇒ − =

Suy ra pt f x
(
−2
)
=m có nghiệm trên đoạn
[
−1,5
]
khi 2≤ ≤m 5.

(61)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

CÁC DẠNG TỐN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN
XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN 2: DẠNG 5-8)

Dạng 5: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=
( )
, xét các bài toán liên quan đến

phương trình có dạng f x
( )
=g m
( )
; f x
( )
=g m f u x
( )
;
(

( )
)
=g m
( )
; f u x
(

( )
)
=g m
( )
....

Câu 1. Cho hàm số y f x=
( )
liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
(
2 sin
)

2
m
f x =  f  

  có đúng 12
nghiệm phân biệt thuộc đoạn
[
−π π;2
]
?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 5.

Lời giải

Chọn C

Ta có bảng biến thiên của hàm số y g x=
( )
=2 sinx trên đoạn
[
−π π;2
]

Phương trình
(
2 sin
)

2

m
f x =  f  

  có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
[
−π π;2
]
khi và chỉ

khi phương trình
( )

2
m
f t =  f  

(62)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

VD

– V

DC

Dựa vào đồ thị hàm số y f x=
( )
suy ra phương trình
( )

2
m
f t =  f  

  có 2 nghiệm phân biệt

( )
0;2

t ∈ khi và chỉ khi 27 0

16 2

m
f  
− <  <

 

0 2 0 4

2

3 3

2 2

m

m

m m

 < <

  < <

⇔ ⇔ ≠

 ≠



.

Do m nguyên nên m∈
{ }
1;2 . Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán.

Câu 2. Cho hàm số y f x=
( )
có đồ thị như sau. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương
trình f x
( )
=m có hai nghiệm dương phân biệt.

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3.

Lời giải
ChọnC

(63)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Dựa vào đồ thị, phương trình f x
( )
=mcó hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 02
m

m

= = .

Câu 3. Cho hàm hàm số y f x=
( )
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm để phương trình f x
(
2+1
)
=m có 6 nghiệm phân

biệt.

A. 12. B. 198. C. 6 . D. 190.

Lời giải
Chọn C

Đặt t x= 2+1, điều kiện t ≥ , từ đó phương trình trở thành 1 f t
( )
=m, t ≥ . 1

(64)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Bảng biến thiên của hàm số y= f t
( )
trên
[
1;+∞ là
)

Cứ mỗi nghiệm t > cho được hai nghiệm 1 x , do vậy để phương trình f x
(
2+1
)
=m

có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f t
( )
=m cần có 3 nghiệm 1t > . Dựa bảng biến thiên
của hàm y= f t
( )
ở trên ta có điều kiện 3<
{
4;5;6;7;8;9
}

m∈ .

Vậy có 6 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán.

Câu 4. Cho hàm số y f x=
( )
có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Phương trình f x
( )
+ =4 m2−3m+2 có

4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi tham số m thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

A. 0≤ ≤m 4. B. 0<

C. 3 17;1 2;3 17

2 2

m∈ − ∪ + 

   . D.

3 17 3; 17

2 2

m∈ − + 

 .

(65)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

VD

– V

DC

Xét hàm số g x
( )
= f x
( )
+4 .

Đồ thị hàm số g x
( )
= f x
( )
+4 có được bằng cách:

 Tịnh tiến đề thị hàm số f x lên trên
( )
4 đơn vị ta được f x + .
( )
4

 Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f x + qua
( )
4 Ox, ta được đồ thị hàm
sốg x
( )
= f x
( )
+4 .

Phương trình f x
( )
+ =4 m2−3m+2có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường

thẳngy m= 2−3m+2 cắt đồ thị hàm số g x
( )
= f x
( )
+4 tại 4điểm phân biệt. Từ đồ thị hàm

số g x
( )
= f x
( )
+4, ta suy ra phương trình f x
( )
+ =4 m2−3m+2có 4 nghiệm phân biệt

khi và chỉ khi0

(

) (

)

22

;1 2;3 2 0

3 17 3; 17
3 2 4

2 2

m

m m

m

m m

∈ −∞ ∪ + ∞

 − + > 

⇔ ⇔  − + 

∈− + <

  

   

 



.

3 17;1 2;3 17

2 2

m  −   + 

⇔ ∈   ∪ 

   .

Câu 5. Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (f x+2017) 2018− =mcó đúng

4 nghiệm phân biệt?

A. 4034 . B. 4035 . C. 4036 . D.

(66)
N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Xét hàm số y f x= ( +2017) 2018− có đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x= ( ) sang trái 2017 đơn vị, sau đó tịnh xuống dưới 2018 đơn vị. Ta được bảng biến thiên của hàm số

( ) ( 2017) 2018

y g x= = f x+ − như sau:

Khi đó đồ thị hàm số y= f x( +2017) 2018− gồm hai phần:

+ Phần 1: Giữ nguyên toàn bộ phần đồ thị hàm số y g x= ( ) nằm phía trên trục hồnh.

+ Phần 2: Lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số y g x= ( )qua0x .

Vậy ta có bảng biến thiên của hàm sốy g x= ( ) như sau:

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình (f x+2017) 2018− =mcó 4 nghiệm phân biệt khi và
chỉ khi 0< B

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị m để phương trình 3 2 22 32 2

x x

f m

 + +  =

 + 

  có nghiệm.

A. − ≤ ≤ −4 m 2 B. m > −4 C. 2D. 2≤m≤4
Lời giải

(67)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thi của hàm y= f x

( )

là

Đặt

(

)

2 2

3 2 3 4 4

2 2 2 2

x x x

t t

x x

+ + ′ − +

= ⇒ =

+ + ;

1
x
t

x= −

′ = ⇔  =

 .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x∈ ⇔ ∈ t

[ ]

1;2 .

Vậy phương trhhh 3 2 22 32 2

x x

f m

 + +  =

 + 

  có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f t

( )

=m có
nghiệm t ∈

[ ]

1;2 ⇔ ≤ ≤2 m 4.

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên \ 0

{ }

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

x −∞ 0 2 +∞

y − − +

y 2

2−

+∞

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình f x

( )

=m có 4 nghiệm phân biệt.

A. 5. B. 2.

C. 4. D. 0.

Lời giải
Chọn C

Từ bảng biến thiên của hàm số y f x=

( )

ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x=

( )

như sau:

(68)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Suy ra phương trình f x

( )

=m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi − < <2 m 3 mà

{

1,0,1,2

}

m∈ ⇒ ∈ − m . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 8. Cho hàm sốy f x= ( ) xác định trên



\ 0

{ }

và có bảng biến thiên như hình vẽ. Số giá trị
nguyên củamđể phương trình f x

(

2 −3

)

− =m 0có đúng 2nghiệm phân biệt là

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Lời giải
Chọn A

Đặt 2x− =3 t phương trình đã cho trở thành f t

( )

− = ⇔m 0 f t( ) =m. (*)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y f t

=

( )

và đường
thẳng y m= song song hoặc trùng với trục hoành.

Từ bảng biến thiên đã cho ta vẽ được bảng biến thiên của hàm số

y f t

=

( )

Do hàm số t=2x−3đồng biến trên  nên số nghiệm tcủa phương trình (*) bằng số nghiệm
x của phương trình đã cho.

(69)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Vớim∈ suy ram∈

{ }

1;2 .

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương
trình f x

(

2−2x

)

=1 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 9. B. 7. C. 6. D. 8.
Lời giải

Chọn B

+ Ta có đồ thị hàm số y= f x

( )

có được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm

( )

y f x= nằm bên phải trục Ox và đối xứng của chính phần đồ thị này qua Ox . Sau đó giữ ngun phần đồ thị phía trên Ox và lấy đối xứng của phần đồ thị phía dưới Ox qua Ox . Như

vậy đồ thị hàm số y= f x

( )

như hình vẽ.

Từ phương trình f x

(

2−2x

)

=1Đặt t x= 2−2x ta được f t =

( )

Khi đó dựa vào đồ thị ta nhận thấy đồ thị hàm số y= f t

( )

cắt đường thẳng y =1 tại 5 điểm
là t a1= ∈ −

(

2;1 ,

)

t2 = −1,t3 =0,t4 =1,t5 = ∈b

( )

1;2

Với t x= 2 −2x

Ta có t′=2x− ⇒ = ⇔ =2 t′ 0 x 1. Ta có bảng biến thiên

O x

2−

211−

(70)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

VD

– V

DC

(

)

( )

1 2;1 , 2 1, 3 0, 4 1, 5 1;2

t a= ∈ − t = − t = t = t = ∈b
Dựa vào bảng biến thiên ta có

(

)

2 2 2; 1

x − x a= ∈ − − vô nghiệm.

2 2 1

x − x= − có đúng 1 nghiệm x.

2 2 0

x − x= có đúng 2 nghiệm x.

2 2 1

x − x= có đúng 2 nghiệm x.

2 2

x − x b= có đúng 2 nghiệm x.

Câu 10. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Tìmm để phương trình f x

(

2 −2x

)

=m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn

3 7;2 2
− 

 

 ?

A. 2<

( )

4 < B. 2< ≤m 3 hoặc f

( )

4 <

C. 2≤

( )

4 < D. 2< ( )4 < ≤m 5.

Lời giải
Chọn C

Đặt t = x2 −2x, với 3 7;

2 2
x ∈ − 

 .

x −∞ 1 +∞

y′

–

0 +

y +∞

1−

(71)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Ta thấy hàm số u x

( )

=x2 −2x liên tục trên đoạn 3 7;

2 2
− 

 

  và u′ =2x−2; u x′

( )

= ⇔ =0 x 1.

Bảng biến thiên:

Nhận xétrằng vớit = hoặc 0 1 214

< ≤ thì phương trình t = x2 −2x có2 nghiệm phân biệt;

vớit = thì phương trình 1 t= x2 −2x có 3 nghiệm phân biệt; với mỗit ∈

( )

0;1 thì phương trình

2 2

t = x − x có 4 nghiệm phân biệt.

Với t = x2 −2x phương trình f x

(

2 −2x

)

=mthành

( )

, 0;21

4
f t =m t ∈ 

 

 

Dựa vào đồ thị f ta biện luận số nghiệm của phương trình

( )

, 0;214

f t =m t ∈ 

 

 trong các

trường hợp sau
TH1: m =2

( )

2 1

f t = ⇔ =t . Khi đó phương trình f x

(

2 −2x

)

=m có 3 nghiệm phân biệt.

TH2: 2

( )

0;11;3

t a

f t m

t b= ∈

= ⇔ = ∈

 . Khi đó phương trình

(

)

2 2

f x − x =m có 6 nghiệm phân biệt.

TH3: m =3

( )

t 0

( )

1;3
f t m

t b=

= ⇔ 

= ∈

 . Khi đó phương trình

(

)

2 2

(72)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

TH4: 3

( )

1;4

f t =m⇔ = ∈t a . Khi đó phương trình f x

(

2 −2x

)

=m có 2 nghiệm phân biệt.

TH5: m f=

( )

t 4

( )

1;4
f t m

t b=

= ⇔ 

= ∈

 . Khi đó phương trình

(

)

2 2

f x − x =m có 4 nghiệm phân biệt.

TH6: f

( )

f t =m có 3 nghiệm phân biệt thuộc

( )

1;5 . Khi đó phương trình f x

(

2 −2x

)

=m có 6

nghiệm phân biệt.
TH7: m =5

( )

f t =m có 2 nghiệm phân biệt thuộc

( )

1;5 . Khi đó phương trình f x

(

2 −2x

)

=m có 4

nghiệm phân biệt.

TH8: 5 214

m f  

< <   

( )

f t =m có 1 nghiệm thuộc 1;214  

 . Khi đó phương trình

(

)

2 2

f x − x =m có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình f x

(

2 −2x

)

=m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7;

2 2
− 

 

  khi

và chỉ khi 2<

( )

4 <

Câu 11. Cho đồ thị hàm số bậc bốn y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m
để phương trình f x m

(

)

=mcó 4 nghiệm phân biệt là?

A. 0 . B. Vô số. C. 1. D. 2 .

(73)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Ta có đồ thị hàm số y f x=

( )

như sau:

Đồ thị hàm số y f x m=

(

)

có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x=

( )

dọc theo trục
Ox nên số nghiệm của phương trình f x m

(

)

=m bằng số nghiệm của phương trình

( )

f x =m.

Do đó, phương trình f x m

(

)

=m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị của hàm số

( )

y f x= cắt đường thẳng y m= tại 4 điểm phân biệt 341

m =⇔

= −

Vì m nguyên nên m = − . 1

Câu 12. Cho hàm số y x= 3−3 1x+ có đồ thị hàm số như hình bên. Sử dụng đồ thị hàm số đã cho, tìm

số-giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 2 2

(

)

2 3

8 x −6 (x x +1) = m−1 (x +1) có nghiệm.

A. 2 B. 0 C. 3. D. 1.

Lời giải
Chọn C

Phương trình 8 2 3 6 2 1 22 3 3 22 1

1 1 1 1

x x m x x m

x + − x + = − ⇔ x + − x + + = .

Đặt 22 01

= ≥

+ . Ta có

2 1 2

x + ≥ xsuy ra 0 22 11

≤ ≤

+ Do đó 0≤ ≤t 1.

(74)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Số nghiệm của phương trình

( )

* là số giao điểm của đồ thị hàm số y x= 3−3 1x+ (chỉ xét với

[ ]

0;1

x∈ ) và đường thẳng y m= .

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình

( )

* có
nghiệm thuộc đoạn

[ ]

0;1 khi và chỉ khi 1− ≤ ≤m 1.

Như vậy có 3giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán đã cho.

Câu 13. Cho đồ thị của hàm số y f x=

( )

như hình vẽ:

-2 -1 1 2 3 4

-2-1123456

x
y

Tìm các giá trị của m để phương trình f x

( )

=m có 6 nghiệm phân biệt.

A. m∈∅ . B. 0< . 4 C. m = . 0 D.

Lời giải
Chọn D

Đồ thị hàm y f x=

( )

gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị y = f x

( )

nằm bên phảitung (Kể cả giao điểm trên trục tung), bỏ phần bên trái trục tung.

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
Từ đó ta có đồ thị của của hàm số y f x=

( )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2-1123456

x
y

Từ đồ thị của hàm số y f x=

( )

nên f x

( )

=m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi0<

Câu 14. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình dưới. Phương trình f x

(

−2

)

=m2−4m có

(75)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

A. m > hoặc 5 m < . 0 B. − < <1 m 0 hoặc 4<

C. − < <2 m 1. D. m < − hoặc 2 m > . 1

Lời giải
Chọn B

Đồ thị hàm số f x −

(

)

được suy từ đồ thị hàm số f x như sau:

( )

- Tịnh tiến đồ thị hàm số f x sang phải 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số

( )

f x − .

(

)

- Giữ nguyên phần bên phải trục tung. Bỏ phần bên trái trục tung, lấy đối xứng phẩn bên phải trục tung qua trục tung.

Ta có bảng biến thiên hàm số f x −

(

)

Số nghiệm của phương trình f x

(

−2

)

=m2−4m là số giao điểm của đồ thị hàm số f x −

(

)

và đường thẳng y m= 2−4m. Do đó phương trình f x

(

−2

)

=m2−4m có 4 nghiệm phân biệt

khi và chỉ khi 0

4 0 1 0

4 5

1 5

m m m

m m

m >

 − > − < <

 

⇔ ⇔ < ⇔ < <− <

 

 − < <

Vậy − < <1 m 0 hoặc 4<

(76)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( )f x + =m 0 có 5 nghiệm phân biệt là

(

− −2; 1

]

. B.

[

−1;2

)

. C.

(

− −2; 1

)

. D.

(

−2;1

)

Lời giải:

Chọn A

Gọi x ; x ; x lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số 1 2 3 y f x=

( )

và trục hoành. Từ bảng biến
thiên của hàm số y f x=

( )

.Ta có bảng biến thiên của hàm số y= f x

( )

Khi đó phương trình ( )f x + =m 0 có 5 nghiệm khi phương trình ( )f x = −mcó 5 nghiệm hay
đồ thị hàm số y= f x

( )

và y= −m cắt nhau tại 5 điểm phân biệt

Do vậy 1≤ − < ⇔ − < ≤ −m 2 2 m 1. Chọn đáp án A

Dạng 6: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài tốn liên quan đến

phương trình có dạng f x

( )

=g x f u x

( )

;

(

( )

)

=g v x

(

( )

)

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên

[

0;+∞ và có BBT như hình vẽ

)

+∞

+

2 3

+∞

0 y

y'

x

Hỏi phương trình f x

( )

= f

( )

(

5− +x 4−x

)

có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 . B. 2. C. 1. D. 3.

(77)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Điều kiện: 0≤ ≤x 4

Phương trình ban đầu

( )

5 4

f x

x x

⇔ =

− + − . Đặt

( )

5 4

f x
g x

x x

− + −

Ta có

( )

(

)

( )

(

)

( )

1 1

' 5 4 .

2 5 2 4

' 0, 0;4

5 4

f x x x f x

x x

g x x

x x

 

− + − +  + 

− −

 

= > ∀ ∈

− + −

Sau đây là BBT của hàm số g x trên đoạn

( )

[ ]

0;4

f 4

( )

+

2 15- 12

(

)

4

0 g(x)

g'(x)

x

Vậy phương trình g x

( )

= f

( )

3 có đúng một nghiệm.

Câu 2. Cho hàm số f x

( )

có đồ thị như hình vẽ. Đặt g x( )= f f x( ( ) 1)− . Tìm số nghiệm của

'( ) 0
g x = .

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

Lời giải
Chọn C

Xét g x'( )= f x f f x'( ). '( ( ) 1)−

Ta có: '( ) 0 '( ) 0 (1)'( ( ) 1) 0 (2)

f x

g x

f f x=

= ⇔  − =

(78)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Từ (1):

, ( 1,0)'( ) 0 1

, (1,2)
x a a

f x x

x b b

= ∈ −


= ⇔ =

 = ∈



Từ (2):

( ) 1 , ( 1,0)'( ( ) 1) 0 ( ) 1 1

( ) 1 , (1,2)

f x a a

f f x f x

f x b b

− = ∈ −



− = ⇒ − =

 − = ∈



( ) 1, 1 0( ) 2

( ) 1, 1 1 3

f x a a

f x

f x b b

= + + >


⇒ =

 = + < + <

Dựa vào đồ thị suy ra: (1) có 3 nghiệm phân biệt

(2) Ta xét lần lượt đường thẳng: y a= +1 cắt đồ thị f x( ) tại 2 điểm phân biệt

y = cắt đồ thị f x( ) tại 2 điểm phân biệt

y b= + cắt đồ thị f x( ) tại 2 điểm phân biệt Nên (2) có 6 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình g x ='( ) 0 có 9 nghiệm phân biệt

Câu 3. Cho hàm số y f x

 

có liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương
trình













3 3 3 13 2 3 1

f x  x  x   x x   x .

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải
Chọn C













3 3 3 13 2 3 1

f x  x  x   x x   x



3 3



6 6 4 9 2 3 3 9 2

f x x x x x x x

       



 







3 3 3 3 2

f x x x x x x

      

(79)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

Dựa vào đồ thị thì

 

2 33

0 3 0 3

3 2

2 3 2 2

1
x

t x x x

f t t t

t x x x

x 

       



       

     

Vậy phương trình có 5 nghiệm.

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên

[ ]

1;3 và có bảng biến thiên như hình dưới

Hỏi phương trình

(

)

2 56 12

f x

x x

−− =

− + có bao nhiêu nghiệma trên

[ ]

2;4 ?

A. 1. B. 0 . C. 2. D. 3.

Lời giải
Chọn C

Do x2−6 12 0,x+ > ∀ ∈ x nên

(

)

(

)

(

)

1 6 12 1 5

6 12

f x x x f x

x x

−

− = ⇔ − + − = −

− + .

Đặt g x

( )

(

x2−6 12x+

)

f x

(

− ⇒1

)

g x′

( ) (

= 2x−6

) (

f x− +1

)

(

x2−6 12x+

)

f x′

( )

Xét trên

[ ]

2;4 ta có:

Với x∈

[ ]

2;3 thì

(

)

(

)

( )

[ ]

1 0

1 1 2 2 6 0

2 6 0 0, 2;3

1 06 12 0

6 12 0
f x

x g x x

f x

x x

 − <

 ≤ − ≤ 

− ≤

 − ≤ ⇒ ⇒ ′ > ∀ ∈

  ′ − >

 − + > 

  − + >



(80)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Với x∈

(

3;4

]

thì

(

)

(

)

( )

(

]

1 02 1 3

2 6 0

2 6 0 0, 3;4

1 06 12 0

6 12 0
f x

x g x x

f x

x x

 − <
 < − ≤  − >

 − > ⇒ ⇒ ′ < ∀ ∈

  ′ − <

 − + > 

  − + >



Tính: g

( ) (

2 = 4 12 12− +

) ( )

f 1 = −20, g

( ) (

3 = − +9 18 12

) ( )

f 2 = −3,

( ) (

4 16 24 12

) ( )

3 8

g = − + f = − .

Lập bảng biến thiên của y g x=

( )

trên

[ ]

2;4 :

Dựa vào BBT trên suy ra trên

[ ]

2;4 phương trình

(

x2−6 12x+

)

f x

(

− = −1

)

5 có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 5. Cho hàm số y f x

 

liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f



1f x

 



0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 5. B. 4. C. 7 . D. 6 .

Lời giải
Chọn C

Từ đồ thị hàm số ta có f

(

1− f x

( )

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 2 1

1 0 1

1 1 2

f x m m

f x n n

f x p p

− = − < < −



⇔ − = < < − = < <

( )

111

f x m

f x n

f x p

= −



⇔ = −

 = −

(81)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

VD

– V

DC

+) Do 0<

( )

= −1 n có 3 nghiệm x x x2, ,3 4.

+) Do 1<

( )

= −1 p có 3 nghiệm x x x5, ,6 7.

Dễ thấy 7 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có đúng 7 nghiệm phân biệt.

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f x x

( )

− 2+2 1 0x− = là

A. vô số. B. 0 . C. 2. D. 1.

Lời giải
Chọn D

( )

2 2 1 0

( ) (

)

f x −x + x− = ⇔ f x = x− .

Với x > thì 1 f x < nên phương trình vơ nghiệm.

( )

Với x < ta có 1 g x

( )

= f x

( )

−x2 +2 1x− . Ta có g x′

( )

= f x′

( )

−2x+ >2 0 nên hàm số g x

( )

đồng biến và liên tục trên

(

−∞;1

)

Lại có:

( )

lim ; lim

x→−∞g x = −∞ x→−g x = +∞ nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất trên

(

−∞;1

)

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập các giá trị nguyên
của m để cho phương trình f

(

sinx

)

=3sinx m+ có nghiệm thuộc khoảng

( )

0;π . Tổng các phần tử của S bằng :

(82)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Lời giải
Chọn C

Đặt t=sinx, do x∈

( )

0;π ⇒sinx∈

(

0;1

]

⇒ ∈t

(

0;1

]

. PT đã cho trở thành f t

( )

= +3t m

( ) 3
f t t m⇔ − = (*)

Đặt g t( )= f t( ) 3 .− t Ta có: g t'( )= f t'( ) 3− (1)

Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ( ),ta có: ∀ ∈t

(

0;1 : ( ) 0

]

f t'

< (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∀ ∈t

(

0;1 : ( ) 0.

]

g t'

Do đó hàm số g t( ) nghịch biến trên khoảng

( )

0;1 .
PT (*) có nghiệm

(

]

[ ] [ ]

0;1 0;1

0;1 min ( ) max ( ) (1) (0)
t∈ ⇔ g t ≤

(1) 3 (0) 4 1.

f m f m

⇔ − ≤ < ⇔ − ≤ <

Vậy m nguyên là: m= − − − −4; 3; 2; 1;0⇒ = −S 10.

Câu 8. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình vẽ:

( )

Số nghiệm của phương trình f x =

( )

2 0 là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

(83)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Đặt t x t= 2

(

≥0

)

Phương trình f x =

( )

2 0 trở thành f t

( )

(

t≥0

)

Dựa vào đồ thị hàm số f ta thấy phương trình

( )

(

)

f t t

t a=

= ≥ ⇔ 

= >

Từ đó ta có 22 0 0

1
x
x

x a

 = 

⇔

 

= ±
= > 

Vậy phương trình f x =

( )

2 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên  có đồ thị như hình vẽ

x

y

- 2 2

3 -1

O

1

Tìm số nghiệm của phương trình 2f x

( )

−x2−2x=0.

A. 4. B. 3. C. 2. D. 0.

Lời giải
Chọn A

+ 2

( )

2 2 0

( )

2 .

2
x
f x −x − x= ⇔ f x = +x

+ Xét hàm số

( )

2
x
g x = +x.

+ Vẽ đồ thị hàm số

( )

(84)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

y=g(x)

x

y

y=f(x)

- 2

-1

2

3 -1

O

1

+ Dựa vào đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 10. Cho đồ thị hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình

( )

f x =x.

x
y

O 1

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải
Chọn D

Số nghiệm của phương trình f x

( )

=x bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x=

( )

và

y x= .

x
y

O 1

Dựa và hình vẽ suy ra phương trình f x

( )

=x có 3 nghiệm.

(85)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

(

)

4 5
m
f x

x x

+ =

− + có nghiệm trên

khoảng

( )

1;2 .

A. 10. B. 4. C. 5. D. 0.

Lời giải
Chọn B

Vì x2−4x+ =5

(

x−2

)

2+ >1 0 ∀xnên

(

)

(

)

(

)

1 4 5 1

4 5
m

f x x x f x m

x x

+ = ⇔ − + + =

− + .

Đặt h x

( )

(

x2−4x+5

)

f x

(

)

, với x∈

( )

1;2 .

Ta có h x′

( )

(

x2−4x+5

)

f x′

(

+ +1

) (

2x−4

) (

f x+1

)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x=

( )

ta có ∀ ∈x

( )

1;2 ⇒ + ∈x 1 2;3

( )

⇒ f x′

(

+ ≤1 0

)

và 2x− < ∀ ∈4 0, x

( )

1;2 ; f x

(

+ ≥ >1 3 0,

)

x+ ∈1 2;3

( )

. Do đó h x′

( )

< ∀ ∈0, x

( )

1;2 .

Bảng biến thiên của hàm số y h x=

( )

trên khoảng

( )

1;2 .

Khi đó phương trình h x

( )

=m có nghiệm x∈

( )

1;2 khi và chỉ khi h

( )

2 < ( )1

( )

1. 3f m 2 2f

⇔ < < ⇔ <3 m<8. Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 7: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến

(86)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số y f x= ( )=ax bx cx4+ 3+ 2+dx e+ ,

(

a b c d e, , , , ∈; 0, 0a≠ b≠

)

cắt

trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt.Khi đó đồ thị hàm số g x

( )

(

f x′

( )

)

2− f x f x′′

( ) ( )

. cắt
trục hoành Ox tại bao nhiêu giao điểm?

A. 6. B. 0. C. 4. D. 2.

Lời giải
Chọn B

Ta có g x

( )

(

f x′

( )

)

2− f x f x′′

( ) ( )

Đồ thị hàm số y f x= ( )=ax bx cx dx e4+ 3+ 2+ + cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt nên

phương trình f x

( )

=a x x x x x x x x

(

− 1

)(

− 2

)(

− 3

)(

− 4

)

, với x i =i, 1,2,3,4 là các nghiệm.

Suy ra

( )

(

)(

) (

)(

)

(

)(

2 4

) (

3 41

)(

1 3

)

3 4[

]

f x a x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

′ = − − − + − − −

+ − − − + − − −

( )

1 2 3 4

1 1 1 1

f x

f x x x x x x x x x

′

⇒ = + + +

− − − −

( )

1 2 3 4

1 1 1 1

f x

f x x x x x x x x x

′ ′

 ′   

⇒  = − + − + − + − 

 

( ) ( )

(

( )

)

( )

2 2 2 2 2

1 2 3 4

1 1 1 1

f x f x f x

f x x x x x x x x x

 

′′ − ′         

⇔ = −   +  +  + 

 −   −   −   −  

 

Nếu x x= i với 1,2,3,4i = thì f x = ,

( )

0 f x′

( )

≠0 ⇒ f x f x′′

( ) ( )

(

f x′

( )

)

2.
Nếu x x≠ i

(

∀ =i 1,2,3,4

)

thì

(

)

1 0

x x− > ,

( )

2 0

f x > . Suy ra f x f x′′

( ) ( )

. −

(

f x′

( )

)

2 <0

( ) ( )

(

( )

)

f x f x′′ f x′

⇔ < . Vậy phương trình

(

f x′

( )

)

2− f x f x′′

( ) ( )

. =0 vơ nghiệm hay
phương trình g x = vơ nghiệm. Do đó, số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

( )

0 0 .

Câu 2. Cho hàm số f x

( )

=ax bx cx d3+ 2+ + có đồ thị là hình vẽ dưới đây.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng

(

−2020;2020

)

để bất phương
trình f x'

( )

− −2x x2

A. 2020. B. 2019. C. 2022. D. 2018.

(87)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

Đặt g x

( )

= f x'

( )

− −2x x2

Ta có tập xác định của hàm số y g x=

( )

là D = −

[

2;0

]

Từ đồ thị ta thấy trên khoảng

(

−2;0

)

hàm số y f x=

( )

đồng biến và hàm số đạt cực đại tại 0

x = , đạt cực tiểu tại x = − . 2

Suy ra

( )

[

]

( )

' 0 2;0

' 2 ' 0 0

f x x

f f ≥ ∀ ∈ −− = =

( )

[

]

( )

0 2;0

2 (0) 0

g x x

g g

 ≥ ∀ ∈ −

⇒ 

− = =

 ⇒min[−2;0]g x

( )

= 0

Vậy bất phương trình f x'

( )

− −2x x2

[ 2;0]

( )

min 0

m − g x m

⇔ > ⇔ >

Kết hợp m∈ −

(

2020;2020

)

suy ra có 2019 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án B

Câu 3. Cho hàm số f x

( )

có bảng biến thiên

Đặt g x

( )

f x 1
x

 

=  + 

 . Bất phương trình g x <'

( )

0 có tập nghiệm là

(

−∞ − ∪; 1

) ( )

0;1 B.

(

−2;0

)

. C.

( )

0;2 . D.

(

−1;0

) (

∪ +∞1;

)

Lời giải
Chọn D

Ta có g x

( )

1 12 f x 1 .

x x

   

′ = −  ′ + 

   

( )

{

}

1 0 1

0 1

1 0 2;0;2

x
x

g x

f x x

x − =  = ±′⇒ = ⇔ ⇔ + ∈ − 

 ′ + =  

  

Với x 1 2

(

x 1

)

2 0 x 1
x

+ = − ⇒ + = ⇔ = − ( nghiệm bội chẵn).

Với x 1 2

(

x 1

)

2 0 x 1
x

+ = ⇒ − = ⇔ = ( nghiệm bội chẵn).

Với x 1 0
x

+ = ⇒phương trình vô nghiệm.

(

−1;0

) (

∪ +∞1;

)

Nhận xét với x 0 x 1 2 f x 1 0 .

x x

 

′

> ⇒ + ≥ ⇒  + <

 

Với x 0 x 1 2 f x 1 0.

x x

 

′

< ⇒ + ≤ − ⇒  + >

(88)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu suy ra bất phương trình g x <'

( )

0 có tập nghiệm là

(

−1;0

) (

∪ +∞1;

)

Câu 4. Cho hàm số bậc bay f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ.

Tìm số nghiệm tối đa của phương trình f x'

( )

=m với m là tham số thực.

A. 2 . B. 4 . C. 6. D. 7.

Lời giải
Chọn B

Từ đồ thị hàm số y f x=

( )

ta suy ra:

+ f x = có hai nghiệm là '

( )

0 x=0;x=2

+ Hệ số của x trong biểu thức của hàm số 3 y f x=

( )

mang dấu dương

(89)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Suy ra đồ thị hàm số y= f x'

( )

có dạng:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y m= có tối đa 4 điểm chung với đồ thị hàm số y= f x'

( )

nên phương trình có tối đa 4 nghiệm.

Câu 5. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm ( )f x′ có đồ thị như hình vẽ.

Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2

3
x

g x = f x − +x − +x , phương trình g x = có số nghiệm là? '

( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Chọn C

Ta có hàm số g x( ) xác định trên  và g x′( )= f x′( ) ( 1)− −x 2 do đó số nghiệm của phương

(90)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Từ đồ thị suy ra

( ) 0 1

2
x

g x x

x=

′ = ⇔ =

 =

. Vậy phương trình g x = có 3 nghiệm. Đáp án'

( )

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên tập R và có đồ thị như hình bên. Đặt g x

( )

= f f x

(

( )

)

. Xác
đinh số nghiệm của phương trình g x ='

( )

A. 5. B. 6. C. 8. D. 10.

Lời giải
Chọn C

Ta có g x'

( )

(

f f x

(

( )

)

'= f x f f x'

( )

. '

(

( )

)

nên:

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

' 0 2

' 0 ' . ' 0 0 1

' 0

2 2
x

f x x

g x f x f f x f x

f f x

f x=

= =

 

= ⇔ = ⇔ ⇔ =

 

(91)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

PT (1) có ba nghiệm khác 0 và 2 PT (2) có ba nghiệm khác 0 và 2

Vậy số nghiệm của phương trình g x ='

( )

0 là 8 nghiệm.

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

=ax bx cx4+ 3+ 2+dx e+ ,

(

a ≠ có đồ thị như hình vẽ. Biết 0

)

2 1

4
b
f

 

′′

− < − < −

  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc

[

−8;2019

]

để phương

trình f x f x m′′

( )

 ′′

( )

− =0 có bốn nghiệm phân biệt?

A. 2022 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2021.

Lời giải
Chọn B

Từ đồ thị suy ra a > và hàm số 0 y f x=

( )

có 3 điểm cực trị là 0, ,x x . Do vậy, phương trình 1 2

y′ = có 3 nghiệm phân biệt là 0, ,x x . 1 2

(92)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Đồ thị hàm số y′= f x′

( )

có dạng sau:

Từ đồ thị hàm số y′= f x′

( )

suy ra phương trình f x′′

( )

=0 có 2 nghiệm phân biệt x x3, 4 nên
đồ thị hàm số y′′= f x′′

( )

là một parabol có dạng sau:

Ta có f x f x m′′

( )

 ′′

( )

− =0

( )

0
f x
f x m

′′ =

⇔ 

′′ =

 .

Phương trình f x f x m′′

( )

 ′′

( )

− =0 có bốn nghiệm phân biệt⇔phương trình f x′′

( )

=m có
hai nghiệm phân biệt khác x x3, 4 ⇔parabol y′′= f x′′

( )

cắt đường thẳng y m= tại hai điểm

phân biệt có hồnh độ khác x x . 3, 4

Tung độ đỉnh của parabol y′′= f x′′

( )

là

4
b
f

 

′′ − 

  nên phương trình f x′′

( )

=m có hai

nghiệm phân biệt ,

(

)

m f m

 

′′

⇔ > −  ≠

  mà 2 4 1

b
f

 

′′

− < − < −

  và m nguyên thuộc

[

−8;2019

]

nên− ≤ ≤1 m 2019,

(

m≠0

)

(93)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Câu 8. Cho hàm đa thức bậc ba y f x=

( )

có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi phương trình

(

)

f f x′ = có bao nhiêu nghiệm?

A. 4 . B. 5. C. 3. D. 6.

Lời giải
Chọn B

Đặt f x

( )

=ax bx cx d3+ 2+ + .

( )

3 2 2

f x′ = ax + bx c+ .

Dựa vào đồ thị ta có:

( )

1 3 3 1

1 1 1 0

3 2 0 3

1 0

3 2 0 1

1 0

f a b c d a

f a b c d b

a b c c

a b c d

− =

 − + − + =  =

  

= − + + + = − =

 ⇔ ⇔

 ′ − =  − + =  = −

  

 ′ =  + + =  =

Suy ra f x

( )

=x3−3 1x+ .

Ta có

( )

(

)

( )

1 3 1 1 1

1 3 1 1 2

f x x x

f f x

f x x x



= − − + = −

′ = ⇔  ⇔ 

= − + =

 

  .

Dựa vào độ thị hàm số ta suy ra phương trình

( )

1 có 2 nghiệm và phương trình

( )

2 có 3 nghiệm. Các nghiệm của 2 phương trình này khơng trùng nhau. Do đó phương trình

( )

(

)

f f x′ = có 5 nghiệm.

(94)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Câu 1. Cho hàm số f x( )=ax bx cx dx ex m5+ 4+ 3+ 2+ − với a b c d e m∈, , , , , . Hàm số y f x= '( ) có

đồ thị như hình vẽ (đồ thị của y f x= '( ) cắt Ox tại 4 điểm có hồnh độ − −3; 1; 0,5 và 2).
Hỏi phương trình f x( )= −m có mấy nghiệm phân biệt.

A. 3. B. 1. C. 5. D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị ta có

(

)(

)

(

4 3 2

)

'( ) 3 1 2 1 2 2 3 12 7 6

f x =a x+ x+ x− x− =a x + x − x − x+ .

(

4 3 2

)

2 5 3 4 3 7 2

( ) 2 3 12 7 6 d 4 6

5 4 2

f x a x x x x x a x x x x x m

⇒ = + − − + =  + − − + −

 

∫

Giải phương trình :

5 4 3 2

4 3 2

2 3 7

( ) 4 6 0 2 3 7

5 4 2 4 6 0 (1)

5 4 2

f x m x x x x x

x x x x

=

= − ⇔ + − − + = ⇔

 + − − + =



Ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 .

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt.

(95)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Phương trình f x =

( )

0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị hàm số đã cho, ta có bảng biết thiên của hàm số y f x=

( )

Qua BBT và f

( )

3 0< ta thấy phương trình f x = vô nghiệm.

( )

Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị f x′

( )

như hình vẽ, biết f a

( )

=0. Phương
trình f x

( )

=0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải

Chọn B

Xét 1=

∫

′

( )

−

( )

b
a
a

S f x dx f x f b f a

( )

2 = −

∫

′ = − = − .

c
b
b

S f x dx f x f b f c

Vì S S1< 2⇒ f b

( )

− f a

( )

< f b

( )

− f c

( )

⇒ f a

( )

> f c

( )

Dựa vào đồ thị của hàm số f x′

( )

, ta có bảng biến thiên của hàm f x

( )

như sau:

x a b c

( )

f x′ − 0 + 0 − 0 +

( )

f x f a

( )

f b

( )

f c

(96)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[

−3; 3

]

và đồ thị hàm số y f x= ′

( )

như
hình vẽ bên. Biết f

( )

1 6= và

( )

( ) (

)

g x = f x − + . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Phương trình g x = có đúng hai nghiệm thuộc

( )

[

−3;3

]

B. Phương trình g x =

( )

0 có đúng một nghiệm thuộc

[

−3;3

]

C. Phương trìnhg x = khơng có nghiệm thuộc

( )

[

−3;3

]

D. Phương trìnhg x =

( )

0 có đúng ba nghiệm thuộc

[

−3;3

]

Lời giải

Chọn B

Ta có: g x′

( )

= f x′

( ) (

− +x 1 .

)

Ta thấy đường thẳng y x= +1 là đường thẳng đi qua các điểm

(

− −3; 2 , 1;2 , 3;4 .

) ( ) ( )

Do f

( )

1 6= ⇒g

( )

1 4.=Từ hình vẽ ta thấy:

( )

d 6
f x x

−

>′

∫

⇒ f

( )

1 − f

( )

− >3 6⇒ f

( )

− <3 0⇒g

( )

− =3 f

( )

− − <3 2 0.

( )

d 2
f x x >′

∫

⇒ f

( )

3 − f

( )

1 6> ⇒ f

( )

3 8> ⇒g

( )

3 = f

( )

3 8 0− > .

Từ đồ thị hàm số y f x= ′

( )

và đường thẳng y x= +1 cùng với các kết quả trên ta có bảng biến

thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình g x =

( )

0 có đúng một nghiệm thuộc

[

−3;3 .

]

(97)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

VD

– V

DC

Biết

f

( )

0 0

=

. Khi đó số nghiệm của phương trình

f x

(

−

x

)

=

0

là:

A. 2. B. 4.

C. 3. D. 6.

Lời giải:
Chọn B

*Cách 1: Từ đồ thị ta có BBT sau:

Từ BBT ta có

( )

0

2 x

f x

x a

=



= ⇔  = >



Do đó

(

)

( )

0 1

0

2 x

f x

x

x a

 − =

−

= ⇔ 

− =

Ta có (1)

0

1 x

=



⇔  =



(2)

⇔

x

− − =

x a

0

, có

∆ = +

1 4

a

> ∀ >

0 , a

2

nên (2) ln có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và 1

Vậy PT

f x

(

−

x

)

=

0

có 4 nghiệm phân biệt.

*Cách 2: Từ đồ thị ta có

( )

0

2 x

f ' x

x

=



= ⇔  =



Đặt

g x

( )

=

f x

(

−

x

)

Ta có

g' x

( )

=





f x

(

−

x '

)





=

(

2 x

−

1 )

f ' x

(

−

x

)

( )

(

)

2 1 0

1

0 1 0

1 2

0

2 x

g' x

x

; ; ; ;

f ' x

x

− =







= ⇔



⇔ ∈ −





−

=







(98)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Từ BBT ta thấy phương trình

g x

( )

=

f x

(

−

x

)

=

0

có 4 nghiệm phân biệt.

*Cách 3: Từ GT ta có

f ' x

( )

=

3 ax

+

2 bx c

+

. Từ đồ thị ta có

f '

( )

0 0

= ⇒ =

c

0

;

( )

2 0 12

4 0 3

0 f '

= ⇒

a

+

b c

+ = ⇒

a b

+ =

(1)

Lại có

f '

( )

1 = −

1

nên

3 a

+

2 b

=−

1

(2) Từ (1), (2) ta có

1

3 a

=

; b

= −

Do đó

( )

2 ( )

(

2 )

3 2

3 x

f ' x

=

x

−

x

⇒

f x

=

∫

x

−

x dx

=

−

x

+

C

Lại có

f

( )

0 0

= ⇒ =

C

0

do đó

( )

3 2

3 x

f x

=

−

x

Ta có

( )

0

3 2

0

3 x

f x

x

=



= ⇔

−

= ⇔  =



Khi đó

(

)

0

1

0

1

13

3

2 x

;x

x

f x

x

=



 − =



−

= ⇔



⇔



±

− =

=





có 4 nghiệm.

Câu 6. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Phương trình

(

4 2

)

1 3 3 2 8 3

f x x− = − x + x − x+ có bao nhiêu nghiệm thực trên khoảng

( )

0;4 ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.

Lời giải

(99)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

( )

(

4 2

)

1 3 3 2 8 3

g x = f x x− + x − x + x−

( ) (

4 2

)

(

4 2

)

2 6 8

g x′ = − x f′ x x− +x − x+ =

(

2−x

)

2f′

(

4x x− 2

)

+ −4 x

  .

Với x ∈

( )

0;4 thì 4− > ; x 0 0 4< x x− 2 ≤4 nên f′

(

4x x− 2

)

≥0.

Suy ra 2f′

(

4x x− 2

)

+ − >4 x 0

, ∀ ∈x

( )

0;4 . Bảng biến thiên

( )

4 11 26; (0) (0) 3 6; (4) (0) 7 2.

3 3 3 3

g = f + = g = f − = − g = f + = −

Suy ra phương trình

(

4 2

)

1 3 3 2 8 3

f x x− = − x + x − x+ có hai nghiệm thực trên khoảng

( )

0;4 .

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  có đồ thị hàm số y f x= ′

( )

như hình bên. Biết

( )

f a > , hỏi đồ thị hàm số y f x=

( )

có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

A. 4 điểm. B. 2 điểm. C. 1 điểm. D. 3 điểm.
Lời giải

Chọn B

(100)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Theo hình vẽ ta có: c '

( )

f x x f c= − f a < ⇔ f c < f a

∫

Từ đó, ta có thể lập được bảng biến thiên như sau:

.
Vậy đồ thị hàm số y f x=

( )

có thể cắt trục hồnh tại nhiều nhất 2 điểm.

Câu 8. Cho hàm số bậc y f x=

( )

thỏa mãn f

( )

− =1 f

( )

3 0= , f

( )

1 = −1 và đồ thị của hàm số

( )

y f x= ′ có dạng như hình dưới đây. Phương trình

(

f x

( )

)

3 = f

( )

1 có bao nhiêu nghiệm thực

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của y f x=

( )

x

( )

f x′

( )

f x

−∞ −1 1 3 +∞

0 +

−

+

−

0 0

( )

1
f

Xét hàm số y=

(

f x

( )

)

3 ta có y′=

(

f x

( )

)

′ = 3f x

( )

2.f x′

( )

(101)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

x

( )

f x′

( )

f x

( )

2.f x  .f x′

( )

(

)

y= f x

−∞ −1 1 3 +∞

0 +

−

0 0

( )

(

)

1
f

(

( )

)

3 = f

( )

1 = −1

Vậy phương trình

(

f x

( )

)

3 = f

( )

1 có 3 nghiệm phân biệt

Câu 9. Cho hàm số f x

( )

=ax bx cx d3+ 2+ +

(

a b c d ∈, , ,

)

. Đồ thị hàm số f x′

( )

như sau:

và 2018 1 2019 0f

( )

= f

( )

. Hỏi tập nghiệm của phương trình f x

( )

= f x′

( )

có số phần tử là?

A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3.

Lời giải

Chọn B

Ta có f x′

( )

=3ax2+2bx c+

Dựa vào đồ thị ta có f x′

( )

=3a x

(

)(

x− =1 3

)

a x

(

2+ −x 2

)

và a ≠0

Suy ra

( )

3 3 2 6

f x =a x + x − x+d

 

Theo đề bài 2018 1 2019 0f

( )

= f

( )

2018 7 2019

2a d d

 

⇔ − + =

  ⇔ = −d 7063a.

Vậy ta có f x

( )

= f x′

( )

(

)

3 3 2 6 7063 3 2 2

a x x x a a x x

⇔  + − − = + −

(102)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

3 3 2 9 7057 0

x x x

⇔ − − − = . Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Câu 10. Cho hàm số bậc ba y f x=

( )

có đạo hàm là hàm số y f x= ′

( )

với đồ thị như hình vẽ sau đây:

Biết rằng đồ thị hàm số y f x=

( )

tiếp xúc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ âm. Hỏi
phương trình f x − =

(

)

0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Dựa vào dữ kiện của bài tốn ta có bảng biến thiên của hàm số y f x=

( )

như sau:

Suy ra phương trình f x =

( )

0 có hai nghiệm phân biệt x = −2 và x x= 0 với x ∈0

(

0;+ ∞

)

Do đó f x − =

(

3 0

)

3 23

x x

 − = −⇔ 

− =

 0

x x

 =⇔ 

= +



(

)

x x

= ±

⇔  = ± +

 .

Vậy phương trình f x − =

(

)

0 có 4 nghiệm phân biệt.

(CỊN TIẾP PHẦN CUỐI)

O x

3−

(103)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

CÁC DẠNG TỐN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN

XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN CUỐI: TỪ DẠNG 9-12)
Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

( )

, xét các bài tốn liên quan đến
phương trình có dạng f x

( )

=m f u x;

(

( )

)

=m f x;

( )

=g m f u x

( )

;

(

( )

)

=g m

( )

...

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

. Đồ thị của hàm số y f x= ′

( )

như hình vẽ bên. Tìm điều kiện của m đề
phương trình f x( )=mcó nghiệm x∈ −

[

2;6

]

A. f

( )

− ≤ ≤2 m f

( )

0 . B. f

( )

− ≤ ≤2 m f

( )

5 .

C. f

( )

5 ≤ ≤m f

( )

6 . D. f

( )

0 ≤ ≤m f

( )

2 .

Lời giải

Chọn B.

Gọi S , 1 S , 2 S , 3 S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 y f x= ′

( )

với

và trục hoành.

Quan sát hình vẽ, ta có
 0

( )

2 0

d d

f x x f x x

−

′ > − ′

∫

( )

2 2

f x − f x⇔ >

( )

f f f f

⇔ − − > − ⇔ f

( )

− <2 f

( )

2
 2

( )

0 2

d d

f x x′ f x x′− <

∫

( )

2 2

f x f x⇔ <

( )

f f f f

⇔ − < − ⇔ f

( )

0 < f

( )



( )

5 6

2 5

d d

f x x′ > −f x x′

∫

( )

2 6

f x f x⇔ >

( )

f f f f

⇔ − > − ⇔ f

( )

2 < f

( )

6Ta có bảng biến thiên

− −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x
y

2−

O1−2−3

− 1 2 3 4 5 6 7 x

(104)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán ⇔ f

( )

− ≤ ≤2 m f

( )

5 .

Câu 2. Cho hàm sốy f x= ( ). Hàm số y f x= ′( ) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình ( ) cosf x − πx−2m= có nghiệm 0 x ∈o (2;3) khi và chỉ khi

A. 1

( )

2 1

( )

2 f ≤m≤ 2 f . B.

( )

1 3 1 2

2 f C. 1

( )

2 1

( )

2 f D.

( )

1 3 1 2

2 f ≤m≤2 f .
Lời giải

Chọn C

Ta có: 2m f x= ( ) cos− πx

Xét hàm số g x( )= f x( ) cos ,− πx x∀ ∈(2;3).
Ta có g x′( )= f x′( )+πsinπx.

( ) ( )

2;3 ⊂ 1;4 nên từ bảng biến thiên ta thấy f x′

( )

> ∀ ∈0, x

( )

2;3 .
Mặt khác x∈

( )

2;3 ⇒πx∈

(

2 ;3π π

)

⇒sinπx> . 0

Vậyg x′( )= f x′( )+πsinπx> ∀ ∈0, x (2;3).
Bảng biến thiên của hàm số ( )g x

Câu 3. Cho f x là hàm số đa thức bậc 5, có

( )

1 0= và đồ thị hàm số y f x đối xứng qua = ′

( )

đường thẳng x =1 như hình dưới đây.

Biết phương trình f x

(

+ = có nghiệm 1

)

m x∈ −

[

1;1

]

khi và chỉ khi m a b∈

[ ]

; . Khi đó a b+

bằng

A. 1

− . B. 1

5. C. 13. D. 0.

Lời giải

−2 0 2 5 6

( )

f x′

0 + 0 − 0 + 0 − 0

( )

f x

( )

2
f

(105)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Chọn D

Từ đồ thị (C) đã cho của hàm số y f x ta suy ra được đồ thị (C’) của hàm số = ′

( )

y f x= ′

(

+ 1

)

bằng cách tịnh tiến (C) sang trái 1 đơn vị. Khi đó (C’) đối xứng qua trục Oy và do nó là đồ thị

hàm đa thức bậc 4, nên (C’) là đồ thị hàm số trùng phương dạng y ax bx c= 4+ 2+ . Ta có (C’)

lần

lượt đi qua các điểm

(

0; 1− ;

)

( )

2; 3 ;

(

− − nên lập hệ giải ra ta được 1; 3

)

y x= −4 3x2−1.

Suy ra f x'( 1)+ = −x4 3x2 −1 từ đó

(

)

5 3

5

x

f x+ = − − +x x C. Lại có f

( )

1 0= nên C =0.
Vậy

(

)

5 3

5
x

f x+ = − −x x.

Ta thấy f x'( 1)+ = −x4 3x2− < ∀ ∈ −1 0 x

[ ]

1;1 nên hàm số

(

)

( ) 5 3

5
x

f x+ =g x = − −x x nghịch
biến trên đoạn

[ ]

−1;1 . Do đó phương trình f x

(

+ = có nghiệm 1

)

m x∈ −

[

1;1

]

khi và chỉ khi
m∈

[

g(1); ( 1)g − hay

]

9 9;

5 5
m ∈ − 

  suy ra

9; 9 0

5 5

a= − b= ⇒ + =a b .

Vậy

( )

2 2 (3) (2) sin 2 2 (3) sin 3 1

( )

2 1

( )

2 2

g < m g< ⇔ f + π < m f< + π ⇔ f <

Câu 4. Cho hàm số h x

( )

=mx nx4+ 3+px qx2+

(

m n p q ∈ Hàm số , , ,

)

. y h x= ′

( )

có đồ thị như hình

vẽ bên

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình h x

( )

=m2 + có hai ngiệm phân biệt? m

A. 2. B. 10. C. 71. D. 2022.

Lời giải
Chọn B

Dựa vào đồ thị có h x′

( )

= có 3 nghiệm phân biệt nên 0 m ≠0 và m <0
Ta có h x′

( )

=4mx3+3nx2+2px q+ Mặt khác dựa vào đồ thị . y h x= ′

( )

suy

( )

(

)

(

)

4 3 13 2 1 15

4 4 2 4

h x′ = m x+ x−  x− = m x − x − x+ 

   .

Đồng nhất hệ số ta có: 13 , , 15 .3

n= − p= −m q= m

(106)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

4 13 3 2 15 1

x x x x m

⇔ − − + = + . Đặt

( )

4 13 3 2 15

f x =x − x x− + x. Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình h x

( )

=m2 + có 2 nghiệm phân biệt thì m

TH 1: 32 1 0
3 m−

< + < 35 1
3 m
−

⇔ < < − ⇒ ∈ −m

{

11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2− − − − − − − − −

}

. TH 2: 1 8575 7807

768 768

m + > ⇔ m > ( loại vì m <0). Vậy ta có 10 giá trị m thỏa mãn.

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

=ax bx cx dx e với ( , , , ,4+ 3+ 2+ + a b c d e∈ ). Biết hàm số y f x = ′

( )

có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm O

( )

0;0 và cắt truc hoành tại A

( )

3;0 . Có bao nhiêu
giá trị nguyên của m trên

[

−5;5

]

để phương trình f

(

− +x2 2x m+

)

=e có bốn nghiệm phân

biệt.

A. 0. B. 2. C. 5. D. 7.

Lời giải
Chọn B

Quan sát đồ thị f x như hình vẽ. Ta thấy rằng đây là hàm bậc '

( )

3 qua 0 không đổi dấu và qua 3 đổi dấu 1 lần. Nên suy ra

( )

(

) (

)

' = . −3 <0

f x k x x k (vì lim→+∞

( )

= −∞

x f x nên k<0 )

Do ' 2 1

( )

4 1 1 '

( )

1 3 3 2.

4 4 4

−

= ⇒ − = ⇔ = → = − +

f k k f x x x

Suy ra

( )

1 4 1 3 1 3 1 1 .

16 4 4 4

−  

= + + = −  − +

 

f x x x e x x e

Mà theo đề ta có phương trình

(

)

(

)

3 2 2

2 2 1 0

− + + 

− + + = ⇔ − + +  − =

 

x x m

f x x m e x x m

( )

2 0 1

2 4 0 2

− + + =
⇔ − + + − =



x x m

(107)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Để phương trình f

(

− +x2 2x m+

)

=e có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) và (2) lần

lượt có 2 nghiệm phân biệt 12

1 0

1 4 0

∆ = + >

⇒∆ = + − > ⇔ >

m
m

Mà  ∈ −

[

∈5;5

]

⇒ ∈

{ }

4;5 .


m

m Vậy có 2 giá trị nguyên m thoả mãn bài toán.

Câu 6. Cho hàm số y f x ax bx cx dx e a b c d e=

( )

= 4+ 3+ 2+ + , , , , ,

(

∈;a≠0

)

có đạo hàm trên  thỏa
mãn f − = −

( )

1 2, f

( )

1 3= , f

( )

4 = − và có đồ thị 3 y f x= '

( )

như hình vẽ sau:

Phương trình f x m

( )

− +2019 0= có 1 nghiệm khi

A. m =2016. B. m =2017. C. m =2018. D. m =2019

Lời giải

Chọn A.

Từ đồ thị hàm sốy f x= ′

( )

và giả thiết ta có bảng biến thiên:

Ta có f x m

( )

− +2019 0= ⇔ f x m

( )

= −2019 *

( )

Qua bảng biến thiên ta thấy để phương trình (*) có 1 nghiệm thì m−2019= − ⇔3 m=2016.

(108)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Phương trình f x

( )

= có bao nhiêu nghiệm? m

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải
Chọn C

Từ đồ thị hàm số có

( )

(

)

(

1 4

)

3 13 2 2 15

f x′ == a x+ x+  x− = ax + ax − ax− a

  .

( )

4 13 3 2 15

f x ax ax ax ax m

⇒ = + − − + .

( )

4 13 3 2 15

f x = ⇔m ax + ax ax− − ax m m+ = 4 13 3 2 15 0

ax ax ax ax

⇔ + − − =

3 13 2 15 0

x x x x 
⇔  + − − =

 

0533

x
x

=


⇔ =

 = −

Vậy phương trình f x

( )

= có 3 nghiệm. m

Câu 8. Cho hàm số f x( )thỏa mãn 3 0;2

f   f

 

0 3; f

 

1 0; f

 

2 3 . Hàm số y f x 

 

liên tục trên  và có đồ thị như sau:

Với m 

 

0;3 số nghiệm thực của phương trình f x



2 3



m; (m là tham số thực), là

A. 3 B. 4

C. 6. D. 5.

Lời giải
Chọn C

(109)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Đặt t x 2  3 t 3, ta có phương trình

 

0;3

 

*
f t m
m

  

 có 3 nghiệm phân biệt, hơn nữa
do 3 0; 2

 

f  f  nên phương trình

 

* có 3 nghiệm phân biệt t t t1 2 3, , 32;2

 

  (thỏa

mãn điều kiện) suy ra mỗi phương trình 2 3 ; 3;2 ; 1,2,3.2

i i

t x  t    i

  đều có 2 nghiệm
phân biệt. Vậy phương trình f x



2 3



m có tất cả 6 nghiệm phân biệt với m 

 

0;3

Câu 9. Cho đồ thị hàm số y f x=

( )

xác định và có đạo hàm trên . Hàm số y f x= ′

( )

có đồ thị như
hình vẽ. Số nghiệm nhiều nhất của phương trình f x

( )

2 =m (m là tham số thực) là?

A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5

Lời giải
Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ′

( )

ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số y f x=

( )

như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f x

( )

=mcó tối đa hai nghiệm dương, do đó phương
trình f x

( )

2 =mcó tối đa 4 nghiệm.

Câu 10. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên , f

( )

0 + f

( )

5 2 3= f

( )

và có bảng biến thiên của hàm số

( )

y f x= ′ như sau:

x −∞ −1 x 1 0 x 2 3 x 3 4 +∞

( )

f x′ 0 0 0 0

Tập nghiệm của phương trình f x

(

2− =1

)

( )

3 có bao nhiêu phần tử?

A. 4. B. 5. C. 6 . D. 7 .

(110)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Từ BBT của hàm số y f x= ′

( )

suy ra dấu của f x′

( )

và có BBT của hàm số y f x=

( )

như sau:

x −∞ −1 0 3 4 +∞

( )

f x′ − 0 + 0 + 0 − 0 +

( )

f x f −

( )

1 f

( )

0 f

( )

3 f

( )

Lại có f

( )

0 + f

( )

5 =2 3f

( )

, mà f

( )

0 < f

( )

3 nên f

( )

5 > f

( )

3 .

Mặt khác với mọi x∈ ta có x − ≥ − , do đó 2 1 1 f x

(

2− =1

)

( )

(

)

1 3

1 4 5

x a a

 − =⇔ 

− = < <

x a

= ±⇔ 

= ± +

 . Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Dạng 10: Biết số nghiệm của phương trình f x =

( )

0, xét các bài tốn liên quan đến

phương trình có chứa f x f x'; ''....

Câu 1. Cho hàm số y f x

  

 x 1





x2x x



24



x29



. Hỏi phương trình f x '

 

0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Lời giải
Chọn D

Ta có:

  







2 4



2 9

 



4 13 2 36



7 14 5 49 3 36
f x  x x x x  x   x x x  x  x  x  x  x

 

' 7 6 70 4 147 2 36

f x  x  x  x 

Đặt t x t 2,



0



Xét hàm g t

 

7t370t2147 36t

Do phương trình g t'

 

21t2140 147 0t  có 2 nghiệm dương phân biệt và

 

. 0, 0 36 0

CD CT

g g  g    nên g t  có 3 nghiệm dương phân biệt.

 

Do đó f x '

 

0 có 6 nghiệm phân biệt.

(111)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Tập nghiệm của phương trình f x′

( )

2 = f x f x

( ) ( )

. ′′ có số phần tử là

A. 1. B. 2. C. 6. D. 0.

Lời giải
Chọn A

Xét phương trình f x′

( )

2 = f x f x

( ) ( )

. ′′

( )

Do f x = có ba nghiệm

( )

0 x x x x x1, ,2 2

(

1< 2 ) và f x = suy ra '

( )

3 0 x là một nghiệm của 3

(1)

Ta có

( )

(

)(

) (

)

1 2 3 , 0

f x =a x x x x− − x x− a≠

Với 3

( )

1 2 3

1 1 2

1 f x 0 0

x x

f x x x x x x x

′ ′

 ′   

≠ ⇒ ⇔  = ⇔ + +  =

− − −

 

(

)

(

)

(

)

1 2 3

1 1 2 0

x x x x x x

⇔ − − − =

− − − vơ nghiệm.

Vậy, phương trình (1) có đúng một nghiệm x x= 3.

Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị là đường cong trơn (khơng bị gãy khúc),
hình vẽ bên. Gọi hàm g x

( )

= f f x

( )

 Hỏi phương trình . g x′

( )

=0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.

Lờigiải

( )

g x = f f x  ⇒ g x′( )= f x f f x′( ). ′

( )

.

( ) 0

(112)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

( ) 00

f x

f f x′ =

⇔  ′  =

  

(

)

( )

(

)

{

}

( )

{

}

{

}

121 3

2 4 5 6 3 4 5 6

7 8 9 4 7 8 5 6 9

2; 10

1;22

2; 1 2

( ) 0 2;0;2

( ) 1;2 ; ; , 0 2

( ) 2 ; ; ,

x x
x
x x
x

f x x x x

f x x

f x x x x x x x x x x

f x x x x x x x x x x x

 = ∈ − −= = ∈ =⇔

= ∈ − − ⇔ = < −

 = ⇔ ∈ −

 = ∈ ⇔ ∈ < < < < <

 = ⇔ ∈ < < < < <

Kết luận phương trình g x′

( )

=0 có 12 nghiệm phân biệt.

Câu 4. Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên  và có đồ thị như hình vẽ bên.

Đặt g x( )= f f x

( )

. Tìm số nghiệm của phương trình g x′

( )

=0.

A. 8 . B. 2 C. 4. D. 6 .

Lời giải
Chọn A

Ta có:g x′( )= f x f f x′

( )

. ′

( )

.

( )

0
g x′ = ⇔ f x f f x′ ′ =

[

]

( ) 0 (1)( ) 0 (2)

f x

f f x′ =

⇔  ′ = .

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x= ( ) có hai điểm cực trị nên f x′( ) 0 (1)= có hai nghiệm
phân biệt x = ; 1 0 x với 2 2

PT (2):

[

]

2 2

( ) 0( ) 0

( ) ; 2 3
f x x

f f x

f x x x

= =

′ = ⇔ 

= < <

 .

(113)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Nên phương trình (2)có 6 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình g x′

( )

=0có tất cả 8 nghiệm phân biệt.

Câu 5. Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên  và có đồ thị như hình vẽ bên.

Đặt g x =( ) 2f x( )−3f x( ). Tìm số nghiệm của phương trình g x′

( )

=0.

A. 5. B. 3. C. 2. D. 6.

Lời giải
Chọn A

Ta có g x′( )= f x′( )2f x( )ln 2− f x′( )3f x( )ln 3= f x ′( ) 2f x( )ln 2 3− f x( )ln 3

  .

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) 0 ( ) 0

( ) 0

0 2 ln 3 log ln 3 1,1358

2 ln 2 3 ln 3 ln 2

3 ln 2

f x

f x f x

f x

g x f x

′ = ′

  =

′ =

  

′ = ⇔  ⇔  ⇔

= ≈ −

   

 

Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ( ) có hai điểm cực trị nên f x′( ) 0= có hai nghiệm phân biệt. Kẻ đường thẳng 2

ln 3

log 1,1358ln 2

y = ≈ − cắt đồ thị hàm số y f x= ( ) tại ba điểm phân biệt nên

phương trình 2

ln 3( ) log

ln 2

f x = có ba nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình g x′( ) 0= có 5 nghiệm thực phân biệt.

Câu 6. Cho hàm số f x

( )

có đạo hàm liên tục trên , f x

( )

có đồ thị

( )

C như hình dưới đây, trong
đó A B là các điểm cực đại của ,

( )

C , các tiếp tuyến của

( )

C tại các tiếp điểm thuộc cung AB

(114)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

VD

– V

DC

( )

lim ' , lim '

x→−∞ f x = +∞ x→+∞ f x = −∞. Xét phương trình f f x + =

(

( )

1 0

)

(*), khẳng định nào sau

đây đúng?

A. (*) có đúng hai nghiệm. B. (*) có đúng ba nghiệm.

C. (*) có ít nhất hai nghiệm. D. (*) có đúng ba nghiệm.

Lời giải
Chọn C

Dựa vào đồ thị ta thấy f x =

( )

0 có ba nghiệm trong đó có một nghiệm dương là 3.

Do f x + ≥ nên '

( )

1 1 f f x

(

( )

+ = ⇔1 0

)

f x'

( )

+ =1 3. Tức

( )

' 2

f x
f x

=



= −

 .

Gọi ,x x lần lượt là hoành độ của A B A B . Do , f x'

( )

liên tục nên ta có:

( )

(

)

' 0

;lim '

A
x

f x

x x

f x

→−∞

 ⇒ ∃ ∈ −∞

 = +∞

 sao cho f x ='

( )

1 2.

( )

(

)

' 0

;lim '

B
x

f x

x x

f x

→+∞

 ⇒ ∃ ∈ +∞

 = −∞

 sao cho f x = −'

( )

2 2.

+ Các tiếp tuyến của

( )

C tại các tiếp điểm thuộc cung AB đều không song song với hai đường

thẳng đường thẳng y=2x, y= −2x chứng tỏ

( )

[

]

' 2

;

' 2 A B

f x

x x x
f x

≠

 ∀ ∈



≠ −

 .

Tóm lại, (*) có ít nhất hai nghiệm.

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ:

Tìm số nghiệm của phương trình g x′

( )

=0, biết g x

( )

= f x3

( )

− f x2

( )

+8.

A. 13. B. 15. C. 17 . D. 19.

(115)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Chọn B

Ta có g x′

( )

=3.f x f x′

( ) ( )

. 2 −2.f x f x′

( ) ( )

. =0

( )

0023

f x

f x
f x ′ =

⇔ =

=

Dựa vào đồ thị hàm số y f x=

( )

ta được

+ Phương trình f x′

( )

=0 có 3 nghiệm phân biệt là −1;0;1

+ Phương trình f x = có 4 nghiệm phân biệt

( )

0
+ Phương trình

( )

f x = có 8 nghiệm phân biệt (để tìm nghiệm phương trình

( )

3
f x = ta kẻ

đường thẳng 2

y = , thấy đường thẳng 2

y = cắt đồ thị hàm số y f x=

( )

tại 8 điểm phân biệt ) Vậy phương trình có tất cả 15 nghiệm phân biệt.

Câu 8. Cho hàm số f x

( )

ax b,

(

ac 0;ad bc 0; , , ,a b c d

)

cx d

= ≠ − ≠ ∈

+  . Tìm số nghiệm của phương

trìnhg x ='

( )

0, biết g x

( )

=ef x( ) −e3f x( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải: Đáp án A.

Tập xác định g x

( )

: D \ d
c− 

=  

 

Ta có:g x'

( )

= f x e'

( )

f x( )−3 'f x e

( )

3f x( ) có TXĐ: D \ d

c− 

=  

 

Phương trình

( )

( ) ( )

( )

' 0 1

' 0 ' 3 ' 0

3 0 2

f x f x

f x

g x f x e f x e

e e

 =

= ⇔ − = ⇔ 

− =



+) Giải (1) vô nghiệm
+) Giải (2):

( )

0 32

1 3 0 4

f x
f x
e
e =⇔ − =

Ta có (3) vơ nghiệm. PT(4) 

( )

1 5

1 ( )3

f x

f x
e
e VN
 =

 = −



Từ (5) ta có

( )

ln 13

f x = Dựa vào dạng đồ thị của f x

( )

ta có PT chỉ có 1 nghiệm

Câu 9. Cho hàm số f x

( ) (

=x x−1

)(

x−2

)(

x−3

)(

x−4

)(

x−5

)(

x−6

)(

x−7

)

. Hỏi đồ thị hàm số

( )

y f x= ′ cắt trục hoành tại tất cả bao nhiêu điểm phân biệt?

A. 1. B. 6. C. 0. D. 7.

Lời giải

Chọn D

Ta có f x = có các nghiệm: 0;1;2;3;4;5;6;7 .

( )

(116)

N

H

ÓM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Chẳng hạn xét trên đoạn

[ ]

0;1 thì tồn tại x sao cho: 1

( )

1 0

f f

f x′ = −

− ⇔ f x′

( )

1 = f

( )

1 − f

( )

0 0= . Suy ra x x= 1 là một nghiệm của phương

trình f x′

( )

=0.

Làm tương tự vậy các khoảng còn lại ta suy ra f x′

( )

=0 có 7 nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm
số y f x= ′

( )

cắt trục hoành tại 7 điểm phân biệt.

Câu 10. Cho hàm số f x

( )

=ax3+bx2 +cx d a+

(

≠0

)

. Biết phương trình f x =

( )

0 có hai nghiệm

phân biệt x x1; 2. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình f x ='

( )

A. x x1+ 2 B. x x12 2

−.

C. 1 2

2
x x+

. D. x x1− 2.

Lời giải
Chọn C

Vì hàm số y f x=

( )

là hàm bậc 3 và phương trình f x =

( )

0 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2

nên đồ thị hàm số y f x=

( )

tiếp xúc với trục hoành, tức là trong 2 nghiệm x x có 1 nghiệm 1; 2

kép. Khơng mất tính tổng qt giả sử nghiệm kép là x . 2
Khi đó ta có:

( )

(

)(

)

1 2

f x =a x x x x− −

( ) (

)(

)

( )

2 1 2

1 2

' 2

' 0

f x x x x x x

x x

f x x x

⇒ = − − −

=

= ⇔ +

 =

.Vì x x phân biệt nên 1; 2 x= x x1+2 2 là nghiệm của phương trình f x ='

( )

0. Ta chọn B.

Câu 11. Cho hàm số y f x=

( )

=ax4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ và thỏa mãn đẳng thức

sau: f x

(

+ −1

)

f x

( )

=2 2x x

(

)(

x+1

)

. Cho hàm số g x

( )

=mx2+nx p+ và

( )

(

2 1

)

f x =g x − . Tìm nghiệm của phương trình g x′

( )

=0.

A. 1

− . B. − . 2 C. 1

− . D. − . 4

Lời giải
Chọn C

(117)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Vì f

( )

1 = f

( )

0 và đồ thị hàm số y f x=

( )

=ax4+bx2+c đi qua

(

0; 1−

)

(

2;11

)

nên ta có hệ

phương trình:

( )

1 0 1

0 1 1 1

16 4 11 1

2 11

f f a b c c a

f c b

a b c c

  + + =  =

  

= − ⇔ = − ⇔ = −

  

 =  + + =  = −

 



Vậy f x

( )

=x4 −x2−1.

Ta có

( )

(

)

4 2

(

)

(

)

1 1 1 1

f x =g x − ⇔x −x − =m x − +n x − + p

(

)

(

)

4 2 1 4 2 2

1 1

2 1 1

1 1

x x mx m n x m n p

m m

m n n

m n p p

⇔ − − = + − + + − +

= =

 

 

⇔ − + = − ⇔ =
 − + = −  = −

 

Do đó g x

( )

=x2+ −x 1.

( )

0 2 1 0 1

2
g x′ = ⇔ x+ = ⇔ = −x .

Vậy 1

2
x = − .

Câu 12. Cho hàm số f x( )=x3+ax2+bx c+ . Nếu phương trình f x =

( )

0 có 3 nghiệm phân biệt thi

phương trình 2f x f x

( ) ( )

. " = f x′

( )

 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? 2

A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.

Lời giải
Chọn B

Giả sử f x =

( )

0 có 3 nghiệm phân biệt là x x x . 1, ,2 3

Xét g x=2f x f x. " − f x′ 2

( )

( ) ( )

. "

( )

. '''

( )

( ) ( )

"
g x′ f x f x′ f x f x f x f x′

⇒ =  + − =2f x f

( )

. '''

( )

x =6 f x

( )

Khi đó

( )

x x

g x x x

x x=

′ = ⇔  =

 =

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g x =

( )

0 có nhiều nhất 4 nghiệm.

Câu 13. Cho hàm số y f x=

( )

có đạo hàm f x′

( )

trên khoảng

(

−∞ +∞;

)

. Đồ thị của hàm số y f x=

( )

(118)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Tìm số nghiệm của phương trình

(



( )

2 2

)

'

f x 

A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 5.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

( )

(

2 2

)

( ) ( )

2 2

0 4 . . 0

  = ⇔ ′ =

f x  x f x f x

( )

2 2

0 1 0

1, 0 1

00 10

 =  = ±  =

  

⇔ ′ = ⇔ = ± = ⇔ =
  =  = −=

f x x x

x x x

f x

x x

Suy ra phương trình 3 nghiệm.

Câu 14. Biết rằng hàm số f x

( )

có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình

(

)

(

 2−1 

)

'

 

f f x .

A. 5. B. 3. C. 9. D. 8.

Lời giải
Chọn C.

Ta có

(



(

2−1

)



)

'

 

f f x ,

(



(

2−1

)



)

'

= ⇔0 2 . ′

(

2−1 .

)

′

(

2−1

)

=0

   

f f x x f x f f x ;

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2222220

0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 2 3

1 01 0

1 0 1 2; 1, 1 3;

1,b 1 1;

1 2 1 ;

=

 =  =



 = ± 

=

  − =   = ±

 ′ − =  = ± 

⇔ ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ±



 ′   

− =− = = ± + + ∈ +∞

    

   − = ∈ +∞ = ± + + ∈ + +∞

− = 

 − = ∈ +∞
 
x

x x x

f x x x

x
f x

f f x x a x a a

x b a

f x x b a

Vậy phương trình có

9

nghiệm.

Dạng 11: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x=

( )

, xét các bài toán liên quan đến BẤT
PHƯƠNG TRÌNH có dạng f x

( )

≥g x f u x

( )

;

(

( )

)

≥g x

( ) (

> < ≤, , ...

)

có thể có tham số.
1. Lý thuyết:

Loại 1: Không chứa tham số (đề thường yêu cầu về tập nghiệm của bất phương trình)

Phương pháp giải:

(119)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

- Chuyển bất phương trình về f x( )g x( ) 1 vế và lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiến của hàm số y f x'( ) và xét dấu của hàm số y g x '( )

Lưu ý: 1) Hàm số y f x y g x( );  ( ) cùng đồng biến(nghịch biến) trên K thì hàm số

( ) ( )

y f x g x đồng biến(nghịch biến) trên K

2) Nếu hàm số y f x( ) đồng biến(nghịch biến) trên K thì:
+ Hàm số y n f x( ) đồng biến(nghịch biến) trên K

+ Hàm số 1

( )

f x

 với f x ( ) 0 nghịch biến(đồng biến) trên K
+ Hàm số y f x( )nghịch biến(đồng biến) trên K

Dựa vào đồ thị hàm số y f x( ) và vẽ đồ thị của hàm số y g x ( )để kết luận nghiệm.
- Đặt t u x ( ), xác định điều kiện của biến t. Biến đổi f(u( ))x g x( ) thành f t( )h(t)

sau đó làm tương tự như trên.

Loại 2: Chứa tham số (đề thường yêu cầu tìm điều kiện của m để bất phương trình có nghiệm

hoặc có nghiệm với x  )

Cô lập tham số m biến đổi đưa về dạng

( , ) 0, g(x) h(m), ( ) h(m)

f x m    x K    x K Min g x 

( , ) 0, g(x) h(m), Max ( ) h(m)

f x m   x K    x K  g x 

( , ) 0

f x m  có nghiệm trên K ( , ) 0 g(x) h(m), ( ) h(m)

f x m x K Max g x

       

( , ) 0

f x m  có nghiệm trên K ( , ) 0 g(x) h(m), ( ) h(m)

f x m x K Min g x

       

Chú ý: Đối với các bất phương trình f x m( , ) 0, ( , ) 0 f x m  làm tương tự tuy nhiên ở bước
cuối nếu ( ), ( )

K K

Max g x Min g x đạt tại x0K thì ta kết luận dấu  , . Nếu

( ), ( )

K K

Max g x Min g x đạt tại x0K thì ta kết luận dấu <,>.

2. Bài tập:

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có bảng biến thiên như sau

Tập nghiệm của phương trình là

( )

3f x ≥3ex −6 là
A. ( 2019;0).− B.

(

− +∞1;

)

[

−1;1

]

D. 1 đáp án khác

Lời giải
Chọn D

Ta có:

( )

3f x ≥3ex − ⇔6 f x e− x + ≥2 0.

Đặt

( )

( ) x 2

g x = f x e− + . Ta thấy

( )

'( ) ' 2 x

g x = f x − xe

Dựa vào bản biến thiên của hàm số y f x= ( )

và hàm số

y= −e + ta được, Bảng biến thiên
hàm số

( )

( ) x 2

(120)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Dựa vào bảng biến thiên trên của hàm số

( )

( ) x 2

g x = f x e− + . Ta thấy ∀ ∈ −x

(

1;1

)

. hàm số

( )

( ) x 2 0

g x = f x e− + < .Vậy các đáp án A, B, C đều có các khoản tại đó hàm số âm nên
khơng thể là nghiệm của phương trình

( )

2 0

f x e− + ≥ .
Vậy đáp án là D.

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

x – ∞ 1 3 + ∞

y’ + 0

−

0 +

y + ∞

-2

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f

(

x− + ≤1 1

)

m có nghiệm?

A. m≥1 B. m≥ −2.

C. m≥4. D. m≥0.

Lời giải
Chọn B

Đặt t x( )= x− +1 1,, t≥1.

Bất phương trình trở thành f t( ) ≤m (t≥1) (*). Bất phương trình (*) có nghiệm với t ≥ thì 1

[1;min ( )+∞) f t ≤m. Dựa vào BBT ta thấy[1;min ( )+∞) f t = − ⇒ ≥ −2 m 2.

Câu 3. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

( )

(

( )

)

( )

(

)

( )

9.6f x + 4− f x .9f x ≤ −m +5 .4m f x đúng với ∀ ∈  là x

A. 10. B. 4. C. 5. D. 9.

Lời giải
Chọn A

(121)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

( )

(

)

2 ( ) 2

3 3

9. 4 5

2 2

f x f x

f x m m

   

⇔   + −   ≤ − +

    (1).

+Từ đồ thị suy ra

( )

2, 9. 3 ( ) 4,2

f x

f x ≤ − ∀ ⇒x    ≤ ∀x

  và

(

( )

)

( )

2 3

4 0,

f x

f x   x

−   ≤ ∀

 

+Suy ra 9. 3 ( )

(

4 2

( )

)

3 2 ( ) 4,

2 2

f x f x

f x x

  + −   ≤ ∀

   

    ⇒Maxg x

( )

=4.

+ Bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀ ∈  ⇔ x −m2+5m≥ ⇔ ≤ ≤4 1 m 4. Vậy có 4 giá trị

m nguyên m∈

{

1;2;3;4

}

. Vậy 1 2 3 4 10.+ + + =

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

= − +x3 3x2 −4 có bảng biến thiên dưới đây. Biết rằng với m>αthì bất

phương trình

(

4−x2

)

(

3− 4−x2

)

< +m 6 luôn đúng với mọi m. Hãy cho biết kết luận nào

sau đây đúng?

A. α là số nguyên âm. B. α là số nguyên dương.

C. α là số hữu tỉ dương. D. α là số vô tỉ.

Lời giải.

Chọn A.

Đặt t= 4−x2; 0≤ ≤t 2

Khi đó bất phương trình trên trở thành − +t3 3t2− < +4 m 2 (*)

Để

(

4−x2

)

(

3− 4−x2

)

< +m 6luôn đúng với mọi m thì (*) ln đúng với mọi t 0;2

∈  

Tức là f t

( )

< +m 2 luôn đúng với mọi t ∈  0;2

( )

0;2

2 max 2 0 2

m f t m m

 ∈ 

⇔ + > ⇔ + > ⇔ > −

Câu 5. Cho hàm số y f x=

( )

=x3−3x2 +2 có đồ thị như hình vẽ. Hãy cho biết tập nghiệm của bất

phương trình f x ≥ −

( )

A. S = − +∞

(

)

. B. S = − +∞ 1;

)

. C. S =

(

0;+∞

)

. D. S = − +∞ 2;

)

Lời giải.

Chọn B.

Nhìn vào đồ thị dễ dàng thấy những điểm có hồnh độ lớn hơn hoặc bằng −1 đều có tung độ
lớn hơn hoặc bằng −2. Chọn đáp án B.

Câu 6. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên  và có đồ thị hàm số như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương trình 1 2 1 0

2 1

f f m

x
  

     
  

     

  có nghiệm là:
x

3 2 2

(122)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

A. m 2 B. 1 m 2 C. m 1 D. m 5

Lời giải

Chọn A.

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

 

1;1 2 2

2;2 2 2

x f x

 

      

     

Ta có: 22 1 1 22 1

1 1

x x

x     x  

2 2;2 1 2 1 0;2

2 1

x x

f f f f

x
x

     

         
          



   

1 2 1 0 1 2 1

2 f f x x1 m 2 f f x x1 m
     

         

     

     

       

   

Nên bpt có nghiệm khi và chỉ khi m≤2.

Câu 7. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên

[

−1;3

]

và có đồ thị như hình vẽ.

Bất phương trình f x( )+ x+ +1 7− ≥x m có nghiệm thuộc

[

−1;3

]

khi và chỉ khi

A. m ≤ 7. B. m ≥7. C. m ≤2 2 2− . D. m ≥2 2 2− .

Lời giải
Chọn A

Ta có: x+ +1 7− ≤x

(

1 12+ 2

)

(

x+ + −1 7 x

)

=4.

Dấu '' ''= xảy ra khi 1+ = − ⇔ =x 7 x x 3. Ta có :

[ 1;3]

( )

max f x f 3 3

− = = .

Do đó bất phương trình f x( )+ x+ +1 7− ≥x m có nghiệm thuộc

[

−1;3

]

khi và chỉ khi

[ 1;3]

(

( )

)

max 1 7 4 3 7

m f x x x

−

≤ + + + − = + = . Vậy m ≤ . 7

Câu 8. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Biết trên

(

−∞ − ∪; 3

) (

2;+∞

)

thì

( )

f x′ > .

x32

2−1−

(123)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Số nghiệm ngun thuộc

(

−10;10

)

của bất phương trình f x x

( )

(

2− −x 6

)

> − +x3 2x2+5x−6

là

A. 9. B. 10. C. 8 . D. 7 .

Lời giải
Chọn C

Ta có f x x

( )

(

2− −x 6

)

> − +x3 2x2+5x− ⇔6 f x

( )

+ −x 1

(

x2− −x 6

)

 

+ Trường hợp 1 :

( )

2 6 0 2 3

3 2 3

3 1 2

1 0

x x x x

x x

f x x

 − − >  < − ∨ >

 ⇔ ⇔ − < < − ∨ >

 + − > − < < − ∨ >



+ Trường hợp 2 :

( )

2 6 0 2 3

1 2

3 1 2

1 0

x x x

x x

f x x

 − − < − < <

 ⇔ ⇔ − < <

 + − <  < − ∨ − < <



+ Từ hai trường hợp trên ta được các nghiệm nguyên thuộc

(

−10;10

)

là {0;1;4;5;6;7;8;9 .

}

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên . Đồ thị hàm số y f x=

( )

như hình dưới và

( )

g x = − −x . Tập nào sau đây là nghiệm của bất phương trình f x

( )

>g x

( )

(

−3;1

)

. B.

(

−∞ − ∪; 3

) ( )

1;3 . C.

(

−∞ − . ; 3

)

( )

1;3 .

(124)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Chọn B

Ta có số nghiệm của phương trình f x

( )

=g x

( )

chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

( )

y f x= và đường thẳng d y: = − −x 1 (như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị suy ra phương trình

( ) ( )

0 1

3
x

f x g x x

x= −

− = ⇔  =

 =

Yêu cầu bài toán ⇔ tìm các giá trị của x để đồ thị của hàm số f x

( )

nằm phía trên đường
thẳng y= − −x 1.

Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn.

Câu 10. Cho hàm số y f x= ( ) có BBT như sau:

Bất phương trình

(

x2+1 . ( )

)

f x ≥m nghiệm đúng với mọi x trên

(

−1;2

)

là

. 15

A m > B m ≤. 15 C.m ≤ 2 D m >. 2

Lời giải

Chọn C

Đặt:g x( )=

(

x2+1 . ( )

)

f x ⇒g'(x) 2 x. ( )= f x +

(

x2+1 . '( )

)

f x

Với − < < ⇒1 x 0 g x'( ) 0<

Với 0< < ⇒x 2 g'(x) 0>

g(0)=2;g(-1)=8;g(2)=15

Suy ra ∀ ∈ −x

(

1;2

)

⇒ ≤2 g x( ) 15

[ 1;2] ( ) m 2 m

min

g x

−

≥ ⇔ ≥

(125)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

OÁN

VD

– V

DC

y
2
-2 1

Bất phương trình

( )

f x x
f x

−

≤ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn

[

−6;8

]

A. 8. B. 10. C. 7. D. 9.

Lời giải
ChọnC

Ta giải các phương trình hồnh độ giao điểm sau:

( )

f x = ⇔ 3 3 0 0

3
x
x x
x=

− = ⇔ 

= ±

( )

0 3 4 0 0

2
x

f x x x x

x=

− = ⇔ − = ⇔ 

= ±

( )

0 0

2
x
f x
x=

= ⇔  = ±



Ta chia hai trường hợp và căn cứ vào đồ thị:

x
y
2
-2 1
x
y
2
-2 1

ĐTHS f x( ) Tương giao giữa đths f x( ) và đường thẳng y x=

Th1:

( )

f x x

f x − ≥<2 0

2 3 0

3 3, 0

x x

 − ≤ ≤ ≥

⇔ ⇔ − < <− < < ≠



1
x⇒ = −

Th2:

( )

f x x

f x − ≤> ⇔20 233

x
x
x ≤ −

 ≤ ≤



⇔  < −

 >



{

}

2 6; 5; 4; 3; 2

3 2 2

x x

 ≤ − ⇒ ∈ − − − − −⇔ 

< ≤ ⇒ =



Vậy bất phương trình trên có 7 nghiệm nguyên thuộc

[

−6;8

]

Câu 12. Cho hàm số f x

( )

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

x −∞ -1 1 3 +∞

( )

f x

(126)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Tìm m để bất phương trình 2

(

)

1 3 03

m − f x+ − x ≥ có nghiệm trên đoạn

[

−5;1

]

A. 47

m ≤ B. 47 3

64 <

C. m ≤ − hoặc5 m ≥5 D. − ≤ ≤1 m 1.

Lời giải

ChọnC

BPT⇔ 2

(

)

1 3

3
m ≥ f x+ + x

Đặt

( )

(

)

1 3

3
g x = f x+ + x

Yêu cầu bài toán ⇔m2≥ming x

( )

,∀ ∈ − −x

[

5; 1

]

Ta có: g x'

( )

= f x'

(

)

+x2

Vì − ≤ ≤ −5 x 1 nên− ≤ + ≤1 x 4 3

Từ đó và quan sát bảng xét dấu thấy: f x + ≥'

(

4 0

)

Suy ra g x'

( )

= f x'

(

)

+x2≥ ∀ ∈ − −0, x

[

5; 1

]

x −5 −1

( )

g x

( )

g − g −

( )

[ 5; 1]

( )

ming x g 5 25

− −

⇒ = − =

Vậy m2≥25⇔ ≥m 5 hoặcm ≤ −5.

Câu 13. Cho hố số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc
đoạn

[

−10;10

]

để bất phương trình

( )

(

4 2

)

1 3 2 20

3 3

f m ≥ f −x + x −x + có nghiệm.

A. 9 B. 10. C. 11. D. 12.

Lời giải
Chọn D

Xét hàm số

( )

(

4 2

)

1 3 2 20

3 3

h x = f −x + x −x + .
* Tập xác định: D = −

[

2;2

]

( )

(

)

(

)

2 2

. ' 4 ' 4

' 2 2

4 4

x f x f x

h x x x x x

x x

 

−  − 

= − + − = −  + − 

−  − 

(127)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Nx:

[

]

[

]

2 0, 2;2

4 0, 2;2

x x

 − ≥ ∀ ∈ −



− ≥ ∀ ∈ −

 và y f x=

( )

đồng biến trên

(

− + ∞1;

)

nên

(

)

' 4

2 0

f x

x
x

−

+ − >−

* Suy ra bảng biến thiên của hàm số y h x=

( )

trên D = −

[

2;2

]

* Yêu cầu bài toán f m

( )

[min ( ) 32;2]h x

−

≥ =

* Từ đồ thị y f x=

( )

suy ra

( )

[ ]

2;2

3
min ( ) 3

0
m

f m h x

−

= −

≥ = ⇔ 

≥

 kết hợp m∈ −

[

10;10

]

và m
nguyên nên có 12 giá trị của m.

Câu 14. Cho hố số y x= 3−3x2 có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc đoạn

[

−10;10

]

để bất phương trình

(

x+ +1 2−x

)

3−6 2+ −x x2 − ≤9 m có

nghiệm.

A. 12 B. 13. C. 14. D. 15.

Lời giải

Chọn D

* ĐKXĐ: − ≤ ≤ 1 x 2

* Đặt t= x+ +1 2−x . Với − ≤ ≤ thì 1 x 2 3≤ ≤t 6
* Ta có t2 = +3 2 2+ −x x2 ⇒2 2+ −x x2 = −t2 3

* Bất phương trình đã cho trở thành m t≥ −3 3t2 = f t

( )

, t  3; 6

∈  .

* Bảng biến thiên của hàm số f t

( )

trên đoạn  3; 6 là

(128)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

* u cầu bài tốn

3; 6

min ( ) 4

m f t

 

 

≥ = −

* m ≥ − kết hợp 4 m∈ −

[

10;10

]

và m nguyên nên có 15 giá trị của m.

Câu 15. Cho hố số y f x=

( )

có đồ thị như hình vẽ. Số các nghiệm nguyên của bất phương trình

(

)(

)

( )

2 2

3 2

4 2

3 3

x x x

f x f x f x

− +

≤

+ + +

   

   

là.

A. 1 B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải
Chọn B

* Ta có f x

( )

3+3f x

( )

2+ f x

( )

+ =3

(

f x

( )

)

(

f x

( )

2+1

)

và
f x

( )

+ = ⇔3 0 a x

(

−2

) (

2 x+2

)

2 =0, (với a>0,a∈  )

* Do đó bất phương trình đã cho

(

)(

)

(

) (

)

2 2

0 0 0 2

2 2

x x x x x

x x

− +

⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ <

−

− +

* Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nên có x ∈

{ }

0;1 .

Câu 16. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình f x

( )

− + ≥x 1 0.

A. S = −

[

1;1

] [

∪ 2;+ ∞

)

. B. S = −∞ − ∪

(

; 1

] [ ]

1;2 .

C. S =

[ ] [

0;1 ∪ 2;+ ∞

)

. D. S = −∞

(

] [ ]

∪ 1;2 .

(129)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Ta có bất phương trình f x x

( )

− + ≥ ⇔1 0 f x

( )

≥ −x 1 nên nếu vẽ đường thẳng ∆:y x= −1

trên cùng hệ trục với đồ thị hàm số y f x=

( )

thì tập nghiệm S của bất phương trình đã cho là
tập hợp hoành độ các điểm sao cho đồ thị hàm số y f x=

( )

nằm phía trên đường thẳng ∆.

Dựa vào đồ thị ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = −

[

1;1

] [

∪ 2;+ ∞

)

Câu 17. Cho hàm số y f x=

( )

có đồ thị như hình bên.

Có bao nhiêu số ngun m để bất phương trình

(

mx m+ 2 5−x2 +2m+1

)

f x

( )

≥0 nghiệm
đúng với mọi x∈ −

[

2;2

]

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải

Đặt g x

( )

=mx m+ 2 5−x2 +2m+1.

Từ đồ thị của y f x=

( )

ta thấy f x đổi dấu khi qua

( )

x =1 nên suy ra g x cũng phải đổi

( )

dấu khi qua x =1. Mặt khác g x liên tục nên

( )

g x = có nghiệm

( )

0 x =1.

Kiểm tra: Với m = −1. Ta có

( ) ( )

(

5 2 1

)

( )

g x f x = − +x −x − f x

(

)

( )

1 1

2 5
x

x f x

 + 

= −  + 

+ −

 

Nhận xét: 1 2 1 3 5 2 2 0,

[

2;2

]

2 5 2 5

x x x x

x x

+ + = + + − > ∀ −

+ − + − .

Khi đó quan sát đồ thị f x , ta thấy:

( )

+ TH1: với x ∈

[ ]

1;2 thì f x ≤ nên

( )

(

1−x f x

) ( )

. ≥0.
+ TH2: với x ∈ −

[

2;1

]

thì f x ≥ nên

( )

(

1−x f x

) ( )

≥0.

Do đó trong cả hai trường hợp ta ln cóg x f x ≥ ,

( ) ( )

. 0 ∀ ∈ −x

[

2;2

]

(130)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2f x x

( )

+ 2 >4x m+ nghiệm

đúng với mọi x∈ −

(

1;3

)

A. m < − 3 B. m < − . 10 C. m < − . 2 D. m < . 5

Lời giải
Chọn B

BPT đã cho nghiệm đúng với với x∈ −

(

1;3

)

⇔

( )

2 42

x x m

f x >− + + đúng ∀ ∈ −x

(

1;3

)

(

)

2 4

3, 1;32

x x m x

− + +

⇔ < − ∀ ∈ − ⇔ − +x2 4x m+ + < ∀ ∈ −6 0, x

(

1;3

)

(

)

2 4 6, 1;3

m x x x

⇔ < − − ∀ ∈ −

Xét hàm số h x

( )

=x2−4x−6 với x∈ −

(

1;3

)

( )

2 4

h x′ = x− ⇒ h x′

( )

= ⇔ =0 x 2. Ta có bảng biến thiên sau:

Từ BBT suy ra

( 1;3)

( )

min 10

m< − h x ⇔ < −m .

(131)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Có bao nhiêu giá trị ngun âm của m để bất phương trình

( )

2 6
m
f x

x x

≤

− + có nghiệm trên

[ ]

0;3 ?

A. 9 B. 10. C. 5. D. 4 .

Lời giải
Chọn A

( )

2 6
m
f x

x x

≤

− + có nghiệm trên

[ ]

0;3 ⇔ ≥m

(

x2−2x+6 .

)

f x

( )

có nghiệm x∈

[ ]

0;3
Xét hàm số g x

( )

(

x2 −2x+6 .

)

f x

( )

với x∈

[ ]

0;3 .

Ta có g x

( )

= x2−2x+6 . f x

( )

≤9.1 9,= ∀ ∈x

[ ]

0;3 (dấu bằng xảy ra khi x =3).

[ ]0;3

( )

ming x 9

⇒ = − .

Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm trên

[ ]

0;3 ⇔m≥ −9.

Vì m nguyên âm nên − ≤ ≤ −9 m 1 ⇒ có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 12: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x= '

( )

, xét các bài tốn liên quan đến BẤT

PHƯƠNG TRÌNH có dạng f x

( )

≥g x f u x

( )

;

(

( )

)

≥g x

( ) (

> < ≤, , ...

)

có thể có tham số.
Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên =

( )

. Hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây. = ′

( )

Bất phương trình 3f x

( )

≤x3−3x m đúng với mọi 2+ x∈ −

(

1;3

)

khi và chỉ khi

A. m>3 3f

( )

. B. m≥3 3f

( )

. C. m>3f

( )

− +1 4. D. m≥3f

( )

− +1 4.

Chọn D

Ta có: 3f x

( )

≤x3−3x m2+ ⇔3 ( )f x x− +3 3x2≤m với mọi x∈ −

(

1;3

)

Xét g x( ) 3 ( )= f x x− 3+3x2 với x∈ −

(

1;3

)

Khi đó: g x′( ) 3 ( ) 3= f x′ − x2+6x=3f x x′( )− 2+2x

 .

Nghiệm của phương trình ( ) 0g x′ = là hoành độ giao điểm của đồ thị y f x= ′( ) và parabol

2 2

(132)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Phương trình ( ) 0g x′ = có ba nghiệm x= −1;x=3;x= trên đoạn 1

[

−1;3

]

( )

3 2

( )

1 1

lim lim 3 3 3 1 4

x→−+g x =x→−+ f x x− + x = f − + ;

( )

3 2

( )

3 3

lim lim 3 3 3 3

x→−g x =x→− f x −x + x = f .

Ta có bảng biến thiên sau:
x −1 1 3 ( )

g x ′ 0 - 0

( )

g x 3f − +

( )

1 43 3f

( )

Bất phương trình 3f x

( )

≤x3−3x m đúng với mọi 2+ x∈ −

(

1;3

)

khi và chỉ khi

( )

(

1;3

)

m g x≥ ∀ ∈ −x ⇔ ≥m 3 ( 1) 4f − + .

Câu 2. Cho hàm số y f x=

( )

có đạo hàm trên  thoả mãn f

( )

2 = f

( )

− =2 0 và đồ thị hàm số

( )

y f x= ′ có hình dạng như hình vẽ bên dưới.

(133)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

A. 1

m < . B. 1

m ≤ . C. 1

m ≥ . D. 1

2
m > .

Lời giải

Từ đồ thị hàm số y f x= ′

( )

và giả thiết ta có BBT của hàm số y f x=

( )

như sau:

Ta có f x

( )

+2m− ≤ ⇔ −1 0 1 2m f x≥

( ) ( )

* .

Bất phương trình [*] đúng với mọi số thực x ⇔ −1 2m≥max f x

( )

 .

Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên

( )

 và có đồ
thị của hàm sốy f x= ′

( )

như hình vẽ bên dưới

Để hàm số y f x=

(

2 3−6x+3

)

đồng biến với mọi x m m>

(

∈  thì

)

m sin b

≥ , trong đó

, ,

a b c∈ . c>2b. Tổng bằng S=2a b c+3 − bằng

A. −9. B. 7. C. 5. D. −2.

Lời giải

Đặt g x

( )

= f x

(

2 3−6x+3

)

. Ta có g x′

( )

(

x2−1

) (

f′ 2x3−6x+3

)

Hàm số y g x=

( )

đồng biến khi

( )

(

)

(

)

23231 0

2 6 3 0

1 0

2 6 3 0

f x x

g x

f x x

 − ≥

 ′ − + ≥


′ ≥ ⇒ 

 − <
 ′

− + <23231 02 6 3 5

1 02 6 3 5

x x
x
x x − ≥− + ≥

⇒  − <



 − + <. 23231 02 6 3 5

1 02 6 3 5

x x
x
x x
 − ≥− + ≥

⇒  − <



 − + <23231 02 6 2 0

1 02 6 2 0

x x
x
x x
 − ≥− − ≥

⇒  − >



 − − <

(

, 1,53

) (

1; 0,35

) (

1;1,88

)

⇒ ∈ −∞ − ∪ − − ∪ .

Ta thấy x ≈1,88 là nghiệm lớn nhất. Để hàm số y f x=

(

2 3−6x+3

)

đồng biến với mọi

(

)

x m m> ∈  thì m x≥ ≈1,88. Ta sẽ tìm cách giải cụ thể giá trị x ≈1,88 là nghiệm của

(134)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Đặt x=2cost 8cos3 6cos 1 0 cos3 1

t t t

⇒ − − = ⇒ = 2

9 3

t π k π

⇒ = ± + , với t∈

[

0;2π

]

ta được

t=π hoặc 17

t = π . Do đó2cos17 sin 2sin 25

9 18

b
a

π = π = − π (không thỏa mãn đk)

hoặc2cos sin 2sin 7

9 18

b
a

π π π

= = a=2,b=7;c=18⇒ =S 7 (thỏa mãn).

11 2 0

m m

⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇒Chọn B.

Câu 4. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và hàm số y f x= ′

( )

có đồ thị như hình vẽ

Bất phương trình

( )

( ) ( )

2 5 2 27

f x m f x m

m
f x

− −

+ − +

≥ nghiệm đúng với x∈ −

(

2;3

)

mọi khi

A. f

( )

3 ≤ ≤m f

( )

3 1+ . B. f

( )

− + ≤ ≤2 1 m f

( )

3 .

C. f

( )

− − ≤ ≤2 2 m f

( )

3 . D. f

( )

3 ≤ ≤m f

( )

− −2 2.
Lời giải

Ta có với x∈ −

(

2;3

)

thì f x′

( )

<0 Ta có f

( )

3 < f x

( )

< f

( )

−2 , ∀ ∈ −x

(

2;3

)

( )

3 2

( )

f − m f x m f< − < − −m Đặt t f x m=

( )

− ⇒ f

( )

3 − < ( )− −2 m

Ta có

( )

( ) ( )

2 5 2 27

f x m f x m

m
f x

− −

+ − +

≥ 2f x m( ) 5f x m( ) 2 27

(

( )

)

f x m

− −

+ − − − ≤

2 5 27 2 0t+ −t t− ≤ .Vế trái chỉ có 2 nghiệm t =0;t=2

Xét dấu

Ta có

( )

3 0

0 2

2 2

f m

− ≥

≤ ≤ ⇒ 

− − ≤

 ⇒ f

( )

− − ≤ ≤2 2 m f

( )

3 ⇒Chọn C.

(135)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Bất phương trình f x

( )

>x2−2x m+ đúng với mọi x ∈

( )

1;2 khi và chỉ khi

A. m f≤

( )

2 . B. m f<

( )

1 1− . C. m f≥

( )

2 1− . D. m f≥

( )

1 1+ .

Lời giải:
Chọn A

Ta có: f x

( )

>x2−2x m+ , ∀ ∈x

( )

1;2 ⇒g x

( )

= f x x

( )

− 2+2x m> , 1;2∀ ∈x

( )

Ta có: g x′

( )

= f x′

( )

−2x+ <2 0, ∀ ∈x

( )

1;2 do

( )

1;2

( )

02 2 0

x
f x
∀ ∈ ⇒ 

− >′ <

Vậy ta có: ( )

( )

1;2

min 2 2

x∈ g x =g = f ≥m.

Câu 6. Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Bất phương trình

( )

f x

(

1;1

)

khi và chỉ khi

A. m f≥

( )

0 1− . B. m f>

( )

− −1 e. C. m f>

( )

0 1− . D. m f≥

( )

− −1 e.
Lời giải

Chọn A

Đặt

( )

g x =

Do x2∈

[

0;1

)

∀ ∈ −x

(

1;1

)

nên

( )

2 0

ex e 1
g x = ≥ =

Ta có ( )

( )

1;1

max 0

x∈ − f x = f , x∈ −min( 1;1)g x

( )

0 1=

Bất phơng trình

( )

f x

(

1;1

)

( )

f x m

⇔ − < ,

(

1;1

)

x∀ ∈ −

( )

1;1

max ex 0 1

m ∈ − f x  f

⇔ ≥  − = − .

Câu 7. Cho hàm sốy f x=

( )

. Hàm số y f x= ′

( )

có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình f x

( )

>2cosx+3m đúng với mọi 0;

 
∈ 

x khi và chỉ khi

A. 1

( )

0 23

≤  − 

m f . B. 1

( )

0 23

<  − 

(136)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

C. 1 1

3 2

π   

≤   − 

 

 

m f . D. 1 1

3 2

π   

<   − 

 

 

m f .

Lời giải
Chọn A

Ta có f x

( )

>2cosx+3m 0;

 

∀ ∈x  ⇔ f x

( )

−2cosx >3m ∀ ∈x 0;π2.

Xét hàm g x

( )

= f x

( )

−2cosx trên 0;

   .

Ta có g x′

( )

= f x′

( )

+2 sin .ln 2cosx x

Vì f x′

( )

≥1 0;2

 

∀ ∈x  ; sinx>0∀ ∈x 0;π2⇒2cosxsin .ln 2 0x > ∀ ∈x 0;π2 nên ta suy ra

( )

2 sin .ln 2 0cos

′ = ′ + x >

g x f x x 0;

 
∀ ∈x  .

Vậy ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình f x

( )

>2cosx+3m đúng với mọi 0;

 
∈ 

x khi và

chỉ khi g

( )

0 3≥ m ⇔3m f≤

( )

0 2− 1

( )

0 23

m f

⇔ ≤  −  .

Câu 8. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên  . Hàm số y f x= ′

( )

có đồ thị như hình vẽ

Bất phương trình f

(

2sinx

)

−2sin2x m< đúng với mọi x ∈

(

0;π

)

khi và chỉ khi

( )

1 1.2

m f> − B.

( )

1 1.2

m f≥ − C.

( )

0 1.2

m f≥ − D.

( )

0 1.2

m f> −

Lời giải

Chọn A

Ta có: f

(

2sinx

)

−2sin2x m< 1

( )

(137)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Với t ∈

(

0;2

]

thì

( )

1 trở thành: f t

( )

−t22 (0;2

]

(0;2]

( )

max ,

m g t

∈

⇔ > với

( )

2
t
g t = f t − .

Ta có g t′

( )

= f t t′

( )

− . Từ đồ thị ta có:

( )

0 1

2
t

g t f t t t

t=

′ = ⇔ ′ = ⇔ =

 =

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có khi

(0;2]

( )

max 1 1

2
t

m g m f

∈

> ⇔ > − thì bất phương trình

(

2sin

)

2sin2

f x − x m< đúng với mọi x ∈

(

0;π

)

.
Cô Hương Bùi

Câu 9. Cho hàm số y f x=

( )

. Hàm số y f x= ′

( )

có bảng biến thiên như sau

1

0 x

∞

3 +

∞

+

∞

3 f'(x)

Bất phương trình f x

( )

3
x ∈ 

 khi và chỉ khi
A. 1 ln 3

3
m f  >  +

  . B. m f<

( )

1 . C.

1 ln 33

m f  ≥  +

  . D. m f≥

( )

1 .

Lời giải
Chọn C

(138)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

( )

f x < x m+ , 1;13

x  

∀ ∈ 

 ⇔ >m f x

( )

−lnx

, ;1

3
x  ∀ ∈  .

Đặt g x

( )

= f x

( )

−lnx g x

( )

f x

( )

′ ′

⇒ = − .

Xét trên đoạn 1 ;1

3  

  ta có: f x′

( )

≤0 và − < ⇒1 0x g x′

( )

<0.

⇒Hàm số g x nghịch biến trên đoạn

( )

1 ;1

3  

 

( )

g  g x
⇒  >

 

, ;1

3
x  
∀ ∈ .

Vậy m f x>

( )

−lnx , 1;13

x  

∀ ∈ ⇒ ≥m g   13 = f    13 +ln 3.

Câu 10. Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên  và hàm số y f x= ′( ) có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 1 ( 3 8) 9 2 16

3 f x 2x x m− − − ≥ + − đúng

với mọi x ∈ −

[

2;0

]

A. 1 ( 2) 14

m≤ f − − . B. 1 ( 4) 40

3 3

m≤ f − − .

C. 1 ( 2) 4

m≥ f − − . D. 1 ( 4) 40

3 3

m≥ f − − .

Lời giải
Chọn D

Bất phương trình đã cho tương đương với:

1 ( 3 8) 9 16

3 f − − +x 2x + x m≤ đúng với mọi x ∈ −

[

2;0

]

Xét hàm số ( ) 1 ( 3 8) 9 2 16

3 2

g x = f − − +x x + x với x ∈ −

[

2;0

]

. Ta có:

( ) ( 3 8) 9 16
g x′ = −f′ − − +x x+

( ) 0 ( 3 8) 9 16 0 ( 3 8) 9 16
g x′ = ⇔ −f′ − − +x x+ = ⇔ f′ − − =x x+ (1)
Đặt t= − −3 8x thì phương trình (1) trở thành: f t′( )= − −3 8t (2)

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của ĐTHS y f t= ′( ) và đường thẳng

(139)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Từ đồ thị ta được: (2) 42 3 83 8 42 342

t x x

−= − − − = − =

  

⇔ ⇔ ⇔

= − − − = −

   = −

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra:

Bất phương trình 1 ( 3 8) 9 2 16

3 f − − +x 2x + x m≤ đúng với mọi x ∈ −

[

2;0

]

khi và chỉ khi: [ 2;0]

1 40

max ( ) ( 4)

3 3

g x m m f

− ≤ ⇔ ≥ − − .

Câu 11. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và có đồ thị của hàm số y f x= ′

( )

như hình vẽ.

Tìm m để bất phương trình 4f

(

5 sinx

)

≥5sin 2 10x+ x m+ thỏa mãn ;2 2

x  π π

∀ ∈ − 

(140)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

A. 4 1 4 10arcsin

( )

m≤ f − +  

 . B.

( )

14 1 4 10arcsin

5
m≤ f − + − − 

 .

C. 4 2 4 10arcsin

( )

m≤ f − +  

 . D.

( )

24 2 4 10arcsin

5
m≤ f + −  

 .

Lời giải

Chọn B

Ta có 4f

(

5 sinx

)

≥5sin 2 10x+ x m+ ⇔ ≤m 4f

(

5 sinx

)

−5sin 2 10x− x

Xét hàm số g x

( )

=4f

(

5 sinx

)

−5sin 2 10x− x trên ;2 2π π

− 

 

  ta có

( )

4 5 cos .

(

5 sin

)

10cos 2 10 4 5 cos .

(

5 sin

)

20cos2

g x′ = x f′ x − x− = x f′ x − x

(

)

4 5 cosx f ′ 5 sinx 5 cosx

=  − 

Do ;

2 2
x∈ − π π 

  nên

cosx= 1 sin− x>0

Khi đó g x′

( )

= ⇔0 f′

(

5 sinx

)

= 5 cosx⇔ f′

(

5 sinx

)

= 5 5sin− 2 x.

Đặt t= 5 sinx ta được f t′

( )

= 5−t2

Xét hàm số y= 5−x2 có đồ thị là nửa đường trịn tâm O bán kính 5 nằm phía trên trục

hồnh.

Dựa vào đồ thị suy ra f t′

( )

= 5− ⇔ ∈ −t2 t

{

1;1;2

}

1231arcsin55 sin 1

15 sin 1 arcsin

55 sin 2

2arcsin

x x

x x x

x
x x
 = − =
   = − 

   

⇔ = ⇔ =  =  = 

  

 =  =  

Ta có bảng biến thiên của g x

( )

trên ;2 2π π

− 

 

(141)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Ta có

( )

1 4

( )

1 4 10arcsin 15

g x = f − + − − 

  và

( )

24 2 4 10arcsin

g x = f − +  

 .
Gọi

( )

H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x= ′

( )

trục hoành và hai đường thẳng

1, 2

x= − x= . Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích hình

( )

H lớn hơn 4.

Vì

( )

2 1

f f f x dx S H

−

′

− − =

∫

= nên f

( )

2 > f

( )

− +1 4

Do đó

( )

3 4 2 4 10 arcsin

( )

2 4

( )

1 12 10arcsin 2

( )

5 5

g x = f − +  > f − + +  >g x

   

Vậy để m g x≤

( )

với ;2 2

x  π π 

∀ ∈ − 

  thì

( )

14 1 4 10arcsin

5
m g x≤ = f − + − − 

 .

Câu 12. Cho hàm số y f x=

( )

. Hàm số y f x= ′

( )

có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình f e

( )

x (ln 2;ln 4

)

khi và chỉ khi

A. m f≥

( )

2 4− . B. m f≥

( )

2 16− . C. m f>

( )

2 4− . D. m f>

( )

2 16− .

Lời giải

Chon A

Ta có f e

( )

x (ln 2;ln 4

)

khi và chỉ khi

( )

x 2x,

(

ln 2;ln 4 .

)

m f e> −e ∀ ∈x (*)
Đặt t e= x ⇒ ∈t

( )

2;4

Bất phương trình (*) trở thành : m f t t>

( )

− 2,∀ ∈t

( )

2;4

Xét hàm số g t

( )

= f t t

( )

− 2 trên

( )

2;4

(142)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

Suy ra : g t

( )

( )2 = f

( )

2 4−

Do đó để thỏa mãn u cầu bài tốn ta có m f≥

( )

2 4−

Câu 13. Cho hàm số y f x liên tục trên =

( )

. Hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây. = ′

( )

Bất phương trình 3f x

( )

≤x3−3x m đúng với mọi 2+ x∈ −

(

1;3

)

khi và chỉ khi

A. m>3 3f

( )

. B. m≥3 3f

( )

. C. m>3f

( )

− +1 4. D. m≥3f

( )

− +1 4.

Chọn D

Ta có: 3f x

( )

≤x3−3x m2+ ⇔3 ( )f x x− +3 3x2≤m với mọi x∈ −

(

1;3

)

Xét g x( ) 3 ( )= f x x− 3+3x2 với x∈ −

(

1;3

)

Khi đó: g x′( ) 3 ( ) 3= f x′ − x2+6x=3f x x′( )− 2+2x

 .

Nghiệm của phương trình ( ) 0g x′ = là hoành độ giao điểm của đồ thị y f x= ′( ) và parabol

2 2

y x= − x.

Phương trình ( ) 0g x′ = có ba nghiệm x= −1;x=3;x= trên đoạn 1

[

−1;3

]

( )

3 2

( )

1 1

lim lim 3 3 3 1 4

(143)

N

H

ĨM

T

ỐN

V

D

– V

DC

N

H

ĨM

T

ỐN

VD

– V

DC

( )

3 2

( )

3 3

lim lim 3 3 3 3

x→−g x =x→− f x −x + x = f .

Ta có bảng biến thiên sau:
x −1 1 3 ( )

g x′ 0 - 0 - 0

( )

g x 3f − +

( )

1 43 3f

( )

Bất phương trình 3f x

( )

≤x3−3x m đúng với mọi 2+ x∈ −

(

1;3

)

khi và chỉ khi

( )

(

1;3

)

Học Tốt Phương trình