Cho hàm số bậc nhất y=(m-5)x 3 a tìm giá trị của m để hàm số đồng biến b Vẽ đồ thị hàm số khi m 3

Trong chương trình toán Đại số, Hàm số là một phần không thể thiếu. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về chuyên đề hàm số bậc 2. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết vừa đưa ra các dạng bài tập áp dụng một cách rõ ràng dễ hiểu. Đây cũng là một kiến thức khá nền tảng giúp các bạn chinh phục các đề thi học kì, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia. Cùng nhau tìm hiểu nhé:

I. Hàm số bậc 2 - Lý thuyết cơ bản.

Cho hàm số bậc 2:

- Tập xác định D=R
- Tính biến thiên:

a>0: hàm số nghịch biến trong khoảng

và đồng biến trong khoảng

Bảng biến thiên khi a>0:

a<0: hàm số đồng biến trong khoảng

và nghịch biến trong khoảng
Bảng biến thiên khi a<0:

Đồ thị:- Là một đường parabol (P) có đỉnh là:

biết rằng:

- Trục đối xứng x=-b/2a.- Parabol có bề lõm quay lên trên nếu a>0 và ngược lại, bề lõm quay xuống dưới khi a<0

II. Ứng dụng hàm số bậc 2 giải toán.

Dạng bài tập liên quan khảo sát hàm số bậc 2.

Ví dụ 1: Hãy khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số cho phía dưới:

Hướng dẫn:

1. y=3x2-4x+1

- Tập xác định: D=R

- Tính biến thiên:

• Vì 3>0 nên hàm số đồng biến trên (⅔;+∞) và nghịch biến trên (-∞;⅔).
• Vẽ bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị:

• Tọa độ đỉnh: (⅔ ;-⅓ )
• Trục đối xứng: x=⅔ 
• Điểm giao đồ thị với trục hoành: Giải phương trình y=0⇔3x2-4x+1=0, được x=1 hoặc x=⅓  . Vậy giao điểm là (1;0) và (⅓ ;0)
• Điểm giao đồ thị với trục tung: cho x=0, suy ra y=1. Vậy giao điểm là (0;1)

• Nhận xét: đồ thị của hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên.

2. y=-x2+4x-4

Tập xác định: D=R

Tính biến thiên:

• Vì -1<0 nên hàm số đồng biến trên (-∞;2), hàm số nghịch biến trên (2;+∞).
• Vẽ bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị:

• Tọa độ đỉnh: (2;0)
• Trục đối xứng x=2.
• Điểm giao đồ thị với trục hoành: giải phương trình hoành độ giao điểm y=0 ⇔-x2+4x-4=0, được x=2. Suy ra điểm giao (2;0)
• Điểm giao đồ thị với trục tung: x=0, suy ra y=-4. Vậy điểm giao là (0;-4).

• Nhận xét: đồ thị của hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

Ví dụ 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c để đồ thị © hàm số y=ax2+bx+c thỏa mãn: © đi qua điểm (-1;4) và có đỉnh là (-2;1)?

Hướng dẫn:

Nhận xét chung: để giải bài tập dạng này, ta cần nhớ: 

• Một điểm (x0;y0) thuộc đồ thị hàm số y=f(x) khi và chỉ khi y0=f(x0)
• Đỉnh của một hàm số bậc 2: y=ax2+bx+c có dạng:

với :

Từ nhận xét trên ta có: 

• (-1;4) ∈ © , suy ra 4=a-b+c
• (-2;1) ∈ ©, suy ra: -1=4a-2b+c
• (-2;1) là đỉnh của © nên: -b/2a=-2 ⇒4a-b=0 

Kết hợp ba điều trên, có hệ sau:

Vậy hàm số cần tìm là: y=5x2+20x+19

Dạng bài tập tương giao đồ thị hàm số bậc 2 và hàm bậc 1

Phương pháp để giải bài tập tương giao của 2 đồ thị bất kì, giả sử là (C) và (C’):

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’)
• Giải trình tìm x. Giá trị hoành độ giao điểm chính là các giá trị x vừa tìm được.
• Số nghiệm x chính là số giao điểm giữa (C) và (C’).

Ví dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+2x-3 và trục hoành.

Hướng dẫn:

Phương trình hàm số thứ nhất:y= x2+2x-3.

Phương trình trục hoành là y=0.

Phương trình hoành độ giao điểm: x2+2x-3=0 ⇔ x=1 ∨ x=-3.

Vậy đồ thị của hàm số trên cắt trục hoành tại 2 giao điểm (1;0) và (1;-3).

Ví dụ 2: Cho hàm số y= x2+mx+5 có đồ thị (C) . Hãy xác định tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=1?

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: x2+mx+5=1 ⇔ x2+mx+4=0 (1)

Để (C) tiếp xúc với đường thẳng y=1 thì phương trình (1) phải có nghiệm kép.

suy ra: ∆=0 ⇔ m2-16=0 ⇔ m=4 hoặc m=-4.

Vậy ta có hai hàm số thỏa điều kiện y= x2+4x+5 hoặc y=x2-4x+5

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 2 y=x2+3x-m có đồ thị (C) . Hãy xác định các giá trị của m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm?

Hướng dẫn:

Nhận xét: Ta sử dụng hệ thức Viet cho trường hợp này. Xét phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức:

Ta lập phương trình hoành độ giao điểm: x2+3x-m=-x ⇔x2+4x-m=0 (1)

Để (C) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt âm.

• Điều kiện có hai nghiệm phân biệt: ∆>0 ⇔ 16+4m>0 ⇔m> -4.
• Điều kiện hai nghiệm là âm: 

Vậy yêu cầu bài toán thỏa khi 0>m>-4.

III. Một số bài tập tự luyện về hàm số bậc 2.

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

1. y=x2+2x-3
2. y=2x2+5x-7
3. y=-x2+2x-1

Bài 2: Cho hàm số y=2x2+3x-m có đồ thị (Cm). Cho đường thẳng d: y=3.

1. Khi m=2, hãy tìm giao điểm của (Cm) và d.
2. Xác định các giá trị của m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng d.
3. Xác định các giá trị của m để (Cm) cắt d tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

Gợi ý:

Bài 1: Làm theo các bước như ở các ví dụ trên.

Bài 2: 

1. Giải phương trình hoành độ giao điểm, được giao điểm là (1;3) và (-5/2;3)
2. Điều kiện tiếp xúc là phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép hay ∆=0.
3. Hoành độ trái dấu khi x1x2<0 ⇔ -m-3<0 ⇔ m>-3

Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về hàm số bậc 2. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ tự ôn tập củng cố lại kiến thức bản thân, vừa rèn luyện tư duy tìm tòi, phát triển lời giải cho từng bài toán. Học tập là một quá trình không ngừng tích lũy và cố gắng. Để dung nạp thêm nhiều điều bổ ích, mời các bạn tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru. Chúc các bạn học tập tốt!

Hàm số bậc nhất là một chương cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS. Chủ đề này luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi tuyển sinh vào lớp 10. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru gửi đến bạn đọc bài viết tổng hợp những phương pháp và ví dụ minh họa điển hình kèm lời giải chi tiết. Cùng nhau khám phá nhé:

I. Trọng tâm kiến thức về hàm số bậc nhất.

1. Hàm số bậc nhất là gì?

Hàm số có dạng y=ax+b (

) được gọi là hàm số bậc nhất.

2. Tính biến thiên ở hàm số bậc nhất.

- Xét hàm số y=ax=b (a≠0):

- Tập xác định: D=R

- Khi a>0, hàm số đồng biến. Ngược lại, khi a<0, hàm số nghịch biến.

- Ta có bảng biến thiên hàm số:

3. Đồ thị hàm số.

Hàm số y=ax+b (

) có đồ thị là một đường thẳng:

- Hệ số góc là a.- Cắt trục hoành tại A(-b/a;0).- Cắt trục tung tại B(0;b)

Đặc biệt, trong trường hợp a=0, hàm số suy biến thành y=b, là một hàm hằng, đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành. 

Lưu ý: khi cho đường thẳng d có hệ số góc a, đi qua điểm (x0;y0), sẽ có phương trình:

II. Các dạng toán hàm số bậc nhất tổng hợp.

Dạng 1: Tìm hàm số bậc nhất, xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất.

Phương pháp:

Đối với bài toán xác định hàm số bậc nhất, ta sẽ làm theo các bước:

- Hàm số cần tìm có dạng: y=ax+b ().- Sử dụng giả thuyết mà đề cho, thiết lập các phương trình thể hiện mối quan hệ giữa a và b.- Giải hệ vừa thiết lập, ta sẽ có được hàm số cần tìm.

Đối với bài toán tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất: gọi đường thẳng d: y=ax+b (a≠0), đường thẳng d’: y=a’x+b’ (a’≠0), lúc này:

+ d trùng d’ khi và chỉ khi:
+ d song song d’ khi:
+ d cắt d’ khi a≠a’, lúc này tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:

đặc biệt khi

thì d vuông góc với d’.

Ví dụ 1: Xét hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, hãy xác định hàm số biết rằng:

     a. d đi qua điểm (1;3) và (2;-1).     b. d đi qua điểm (3;-2), đồng thời song song với d’: 3x-2y+1=0.     c. d đi qua điểm (1;2), đồng thời cắt tia Ox và tia Oy lần lượt tại M, N thỏa diện tích tam giác OMN là nhỏ nhất.     d. d đi qua (2;-1) và vuông góc với d’: y=4x+3.

Hướng dẫn:

Hàm số có dạng y=ax+b (

)

a. Chú ý: một đường thẳng có dạng y=ax+b (

), khi đi qua điểm (x0;y0) thì ta sẽ thu được đẳng thức sau: y0=ax0+b

Vì hàm số đi qua hai điểm (1;3) và (2;-1), ta có hệ phương trình:

Vậy đáp số là

.

b. Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song, ta biến đổi d’ về dạng:

Do d song song d’, suy ra: 

lại có d đi qua (3;-2), suy ra:

, suy ra:

Ta có thu được hàm số cần tìm.

c. Tọa độ các điểm cắt lần lượt là:

Do điểm giao nằm trên tia Ox và tia Oy, vì vậy a<0 và b>0

Lúc này, diện tích tam giác được tính theo công thức:

Theo đề, đồ thị đi qua điểm (1;2), suy ra: 2=a+b ⇒ b=2-a

Thế vào công thức diện tích:

Vậy diện tích tam giác MNO đạt nhỏ nhất khi:

Đáp số cần tìm:

Chú ý: ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương để giải bài toán trên, cụ thể: cho hai số thực dương a,b, khi đó ta có bất đẳng thức:

điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi: a=b

d. Đồ thị đi qua điểm (2;-1) nên:

Lại có d vuông góc d’:

Vậy ta thu được:

Ví dụ 2: Xét hai đường thẳng d:y=x+2m và d’:y=3x+2.

1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vừa cho.
2. Xác định giá trị của tham số m để 3 đường thẳng d, d’ và d’’ đồng quy, biết rằng:

Hướng dẫn:

a. Vì 1≠3 (hai hệ số góc khác nhau) nên d và d’ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm là nghiệm của:

Vậy tọa độ giao điểm là  M(m-1;3m-1)

b. Do 3 đường thẳng đồng quy, vậy M ∈d’’. Suy ra:

Xét:

 m=1, khi đó 3 đường thằng là d:y=x+2; d’: y=3x=2 và d’’: y=-x+2 phân biệt cắt nhau tại (0;2) m=-3 khi đó d’ trùng với d’’, không thỏa mãn tính phân biệt.

Vậy m=1 là đáp số cần tìm.

Dạng 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Phương pháp: Dựa vào tính chất biến thiên đã nêu ở mục I để giải.

Ví dụ 1: Cho hàm số sau, xét sự biến thiên:

Hướng dẫn:

a. Tập xác định D=R

a=3>0, vậy nên hàm số đồng biến trên R.

Bảng biến thiên được vẽ như sau:

Vẽ đồ thị: để vẽ đồ thị, ta xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua, cụ thể là hai điểm (-2;0) và (-1;3)

b. Ta biến đổi hàm số về dạng:

Tập xác định D=R.

Hệ số góc a<0, hàm số nghịch biến trên R.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Dạng 3: Hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp:

Xét đồ thị hàm số có dạng

, để vẽ đồ thị này, ta có thể thực hiện theo các cách sau:

Cách 1: Vẽ đồ thị (C1) của hàm số y=ax+b với các tọa độ x thỏa mãn ax+b≥0. Tiếp tục vẽ đồ thị (C2) của hàm số y= -ax-b ở các tọa độ x thỏa mãn ax+b<0. Đồ thị © cần tìm là hợp của đồ thị (C1) và (C2).

Cách 2: Vẽ đồ thị (C’) của hàm số y=ax+b, lấy đối xứng phần đồ thị (C’) nằm dưới trục hoành qua trục hoành, rồi xóa toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Phần đồ thị còn lại là đồ thị © cần tìm.

Mở rộng:

Cho trước đồ thị (C) : y=f(x). Khi đó:

• Để vẽ đồ thị (C’) của y=f(|x|), ta thực hiện:
• Giữ đồ thị (C) bên phải trục tung.
• Lấy đối xứng phần đồ thị ở bên trái trục tung qua trục tung, sau đó, xóa phần bên trái đi.

• Để vẽ đồ thị (C2) của hàm số y=|f(x)|, ta thực hiện:
• Giữ phần đồ thị bên trên trục hoành.
• Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục hoành qua trục hoành, sau đó xóa phần bên dưới trục hoành đi.

Ví dụ: Vẽ đồ thị:

Hướng dẫn:

a. Khi x≥0, hàm số có dạng y=2x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (0;0) và (1;2) (chú ý chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0)

- Khi x<0, hàm số có dạng y=-x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (-1;1) và (-2;2) (chú ý lấy phần nằm bên trái đường thẳng x=0)

b. Ta vẽ đường thẳng y=-3x+3 và đường thẳng y=3x-3. Sau đó xóa phần đồ thị nằm dưới trục hoành, ta sẽ thu được đồ thị cần tìm.

Trên đây là tổng hợp các phương pháp cơ bản nhất để giải các dạng toán Hàm số bậc nhất. Hy vọng qua bài viết này, các bạn sẽ tự củng cố cũng như rèn luyện thêm cho mình tư duy, định hướng khi giải toán. Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm những bài viết khác trên trang của Kiến Guru để học thêm nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tập tốt.