Câu 4.35 trang 139 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao

LG a

\(\lim \sqrt n\left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right) \)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt n \left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right) = {{2\sqrt n } \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt n }} = {2 \over {\sqrt {1 + {2 \over n} + 1} }}\)với mọi n.

Do đó

\(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right) = 2\lim {1 \over {\sqrt {1 + {2 \over n} + 1} }} = 2.{1 \over 2} = 1.\)

LG b

\(\lim {1 \over {\sqrt {2n + 1} - \sqrt {n + 1} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\lim {1 \over {\sqrt {2n + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \lim {{\sqrt {2n + 1} + \sqrt {n + 1} } \over n} = 0;\)

LG c

\(\lim \left( {2n - 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\left( {2n - 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}} = \sqrt {{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}\left( {2n + 3} \right)} \over {{n^4} - {n^2} + 1}}} \)với mọi n.

Vì\(\lim {{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}\left( {2n + 3} \right)} \over {{n^4} - {n^2} + 1}} = 0\)nên

\(\lim \left( {2n - 1} \right)\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}} = \sqrt 0 = 0;\)

LG d

\(\lim \sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}}} \)

Lời giải chi tiết:

\({{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}} = {{1 + 2{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{5n} \over {{3^n}}} + 3}}\)với mọi n.

Do đó\(\lim {{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}} = {1 \over 3}\)

Và\(\lim \sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}}} = \sqrt {{1 \over 3}} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\)