Cách xác định dấu của tam thức bậc hai

1. Tam thức bậc hai
ĐỊNH NGHĨA
Tam thức bậc hai ( đối với x) là biểu thức dạng ${a^2}x + bx + c$, trong đó $a, b, c$ là những số cho trước với $a \ne 0$
Nghiệm của phương trình ${a^2}x + bx + c = 0$ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c$
Các biểu thức $\Delta = {b^2} - 4ac$ và $\Delta ' = b{'^2} - ac$ với $b = 2b'$ theo thứ tự cũng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c$
2. Dấu của tam thức bậc hai
Ta sẽ quan sát đồ thị của hàm số bậc hai để suy ra định lý về dấu của tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c$
Dấu của f(x) phụ thuộc vào dấu của biểu thức $\Delta $ và hệ số a.
ĐỊNH LÝ (về dấu của tam thức bậc hai)
Cho tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c\,\,\,(a \ne 0)$
Nếu $\Delta < 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \in R$.
Nếu $\Delta = 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \ne - \frac{b}{{2a}}$.
Nếu $\Delta > 0$ thì f(x) có hai nghiệm ${x_1}\& {x_2}\,({x_1} < {x_2})$.Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng $({x_1};{x_2})$, và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn $\left[ {{x_1};{x_2}} \right]$
CHÚ Ý
Cũng như khi giải phương trình bậc hai, khi xét dấu tam thức bậc hai, ta có thể dùng biểu thức thu gọn $\Delta '$thay cho $\Delta $ và cũng được các kết quả tương tự.
Ví dụ 1: $f(x) = 2{x^2} - x + 1 > 0$với mọi $x \in R$ vì tam thức f(x) có$ \Delta = - 7 < 0$ và a = 2 > 0
NHẬN XÉT
Từ định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất trong đó dấu của tam thức không thay đổi ( luôn âm hoặc luôn dương), đó là khi $\Delta < 0$. Lúc đó, dấu của tam thức trùng với dấu của hệ số a. Do đó, ta có
$\begin{gathered}
\forall x \in \mathbb{R},{\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a > 0 \\
\Delta < 0 \\
\end{gathered} \right. \\
\forall x \in \mathbb{R},{\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a < 0 \\
\Delta < 0 \\
\end{gathered} \right. \\
\end{gathered} $

Dấu của tam thức bậc hai