Bài viết này sẽ hướng dẫn tất tần tật cách tính toán diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu. Hãy cùng theo dõi ngay bên dưới cùng anhchien.vn Việt Nam.
Bạn đang xem: Công thức thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương
Định nghĩa mặt cầu, khối cầu
Định nghĩa mặt cầu
Cho điểm I cố định và một số thực dương r
Tập hợp tất cả các điểm M nằm trong không gian cách I một khoảng bằng r được gọi là mặt cầu tâm I bán kính r.
Kí hiệu mặt cầu: S [I; r] = {M|IM=r}
Khối cầu hay hình cầu là gì ?
Khối cầu [Hình cầu] tâm I bán kính r là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S [I; r] và các điểm nằm trong mặt cầu đó
Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu bán kính r, tâm I
Công thức tính diện tích mặt cầu S [I; r]
S = 4 π r2
Trong đó:
S là diện tích mặt cầu tâm I bán kính r
r là bán kính hình cầu
Công thức tính thể tích hình cầu S [I; R]
V = 4/3 π r3
Trong đó
V là thể tích mặt cầu tâm I bán kính r
R là bán kính mặt cầu tâm I
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp. Để tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, chúng ta cần xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Ngoài ra có thể áp dụng phương pháp tính nhanh với một số dạng toán cụ thể.
Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bước 1: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên.
Xem thêm: Quán Bánh Canh Cá Lóc Gò Vấp, Quán Bánh Canh Cá Lóc Ngon Quận Gò Vấp
Bước 3: Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên [hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên] là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Trong một vài trường hợp đặc biệt, có thể có công thức tính nhanh diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB góc 90 độ
Các đỉnh này không nằm trên cạnh đó] dưới góc 90 độ, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp đó: R=AB/2 , diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S= 2 π AB2
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, đáy là hình tam giác ABC có góc B bằng 90 độ, cạnh SA vuông góc với đáy tại điểm A. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = 2a
=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SC/2 = a
=> Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC: S= 4 π a2
=> Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: V = 4/3 π r3
Trường hợp 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC, SA = a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SA2 /2.SO
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: S= 4 π R2 = 3/2 π a2
Trường hợp 3: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đáy SABCD,
Hình chóp tứ diện đều có ABCD là hình vuông. O là tâm hình vuông ABCD đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD: r = OD
Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
R= OD = [a √ 2]/2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ diện đều SABCD
S = 4 π R2 = 2 π a2
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương và mặt cầu nội tiếp hình lập phương
Hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: r = [a √ 3]/2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: S = 3 π a2
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: V =√ 3 /2 π a3
Diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: r = a/2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: S = π a2
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: V = ⅙ π a3
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A"B"C"D’ có độ dài các cạnh lần lượt là a,b,h
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật: R= [√ [a2 +b2 +h2] ]/2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật : S = π [a2 +b2 +h2]
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A"B"C’ có độ dài cạnh đáy = chiều cao =a
Gọi O và O’ lần lượt là trọng tâm của 2 đáy tam giác ABC và A’BC’
=> Trung điểm I của đoạn OO’ là trọng tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều ABC A"B"C’
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều:
R = IC = √[IO’2 +O’C;2] = [ a√21 ]/6
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều
S = 4 π R2 = 7/3πa2
Tổng kết công thức tính diện tích mặt cầu như sau
Dạng bài tính diện tích mặt cầu | Công thức |
Diện tích mặt cầu S[I;r] | S = 4 π r2 |
Thể tích mặt cầu S [I;r] | V = 4/3 π r3 |
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có các đỉnh nhìn cạnh AB 1 góc 90 độ có SA = 2a | S= 4 π a2 |
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC có SA = a | S = 3/2 π a2 |
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều S ABCD có SA =a | S = 2 π a2 |
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a | S = 3 π a2 |
Diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a | S = π a2 |
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật | S = π [a2 +b2 +h2] |
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều | S = 7/3πa2 |
Bài tập vận dụng công thức tính diện tích mặt cầu
Cho hình chóp tam giác S ABC nội tiếp đường tròn, các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và có kích thước lần lượt là: a,b,c. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
Cách giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của cạnh AB
=> Tam giác SAB là tam giác vuông tại S
=> SM = MA=MB = ½ AB [SM là đường trung tuyến]
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB
Kẻ đường thẳng α qua M và vuông góc với mặt phẳng [SAB]
Trong mặt phẳng tạo bởi α và SC, đường trung trực của SC cắt α tại điểm I
=> IS = IC [1]
Mà IS = IA = IB [2]
Suy ra IA=IB=IC=IS
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính IS=IA=IB=IC
Ta có:
SM = ½ AB = ½ √ [SA2 +SB2 ] = ½ √ [a2 +b2 ]
IM = SC/2 = c/2
Bán kính R = IS = 1/2AB = 1/2√ [a2 +b2 +h2 ]
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là
S = 4 π R2 = [a2 +b2 +c2]π
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là
V = 4/3 π R3 = ⅙ π [a2 +b2 +c2]3/2
Để tính diện tích mặt cầu S tâm I bán kính R ký hiệu [I;R], và thể tích khối cầu [hình cầu] V tâm I bán kính R ký hiệu [I;R] chúng ta chỉ việc áp dụng công thức sau khi tính được bán kính mặt cầu,
Tuy nhiên, việc xác định tâm của mặt cầu và bán kính của mặt cầu là không dễ và cần vận dụng qua nhiều bài học để tư duy tốt hơn trong các phương pháp tính. Ngoài ra, cần có kiến thức tổng hợp về hình học để có thể thành công với đa dạng bài tập.
Hy vọng sau bài viết hôm nay, các bạn đã có được kiến thức hữu ích để tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu. Chúc các bạn thành công!
Mặt cầu là tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là tâm cầu O, bán kính R, kí hiệu: S[O; R] hay {M/OM = R}, vậy công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp là gì, mời các bạn cùng đón đọc bài hướng dẫn chi tiết của chúng tôi.
Công thức diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều có cạnh bằng a, hình chóp, hình lăng trụ, hình lập phương
Mục Lục bài viết:
I. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
II. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản.
1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp Hình lăng trụ.
2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
III. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
IV. Bài tập.
S = 4.π.R2
Với: S là kí hiệu diện tích mặt cầu
R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
- Trục đáy: Là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
- Trung trực của đoạn thẳng: Là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
- Mặt trung trực của đoạn thẳng: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
II. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản
- Tâm và bán kính mặt cầu là hai đại lượng quan trọng để tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp, chính vì vậy xác định tâm và bán kính là thao tác quan trọng để các em có thể tìm được diện tích. Cùng theo dõi cách tìm tâm và cách tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình.
1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Hình lăng trụ đứng A1A2A3A4.A'1A'2A'3A'4 có hai đáy nội tiếp đường tròn O và O'.- Tâm mặt cầu: I và I' [đều là trung điểm của OO']
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = IA1 = IA2 = ....
- Biết tâm, bán kính, áp dụng công thức để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có các cạnh bằng a,...
2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
a] Hình chóp đều
Hình minh họa
* Xác định tâm mặt cầu:
Hình chóp đều S.ABC có:- O là tâm của đáy => SO là trục đáy- Trên mặt phẳng [SAO], vẽ d là đường trung trực của SA cắt SA tại giao điểm M, cắt SO tại giao điểm I
=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là I.
* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
Xét hai tam giác đồng dạng với nhau là SMI và SOA, ta có:
=> R = SI = SA2 : 2.SO = IB = IB = IC [R: Bán kính]
* Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
=> Sau khi tính được bán kính mặt cầu, ta áp dụng công thức: S = 4.π.R2
b] Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Hình minh họa
* Tìm tâm mặt cầu:
Hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt đáy [ABC] trong đó mặt đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, vẽ d vuông góc với [ABC] tại O.
- Trong mặt phẳng được tạo bởi đường thẳng d với SA, vẽ đường trung trực d' của SA, giao với SA tại M, giao với d tại I.
* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:Từ các dữ kiện đã biết, ta có hình chữ nhật MIOB- Xét tam giác vuông MAI tại M:
R = AI = √[MI2 + MA2] = √[AO2 + [SA/2]2]
Lưu ý: Nếu hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy [ABC] và tam giác ABC vuông tại B thì tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chóp chính là trung điểm của đường SC.
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, hình hộp chữ nhật
* Xác định tâm của mặt cầu:- Tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC' [tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật/ hình lập phương].
* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
- Bán kính mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật / hình lập phương.* Áp dụng công thức tính S để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng 1, cạnh bằng 2a,...
III. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Để tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp, các bạn cần tính được bán kính ngoại tiếp. Các bạn cùng xem công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện để áp dụng vào trong bài cho đúng.
IV. Bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp
Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SAB là tam giác đều, đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, [SAB] vuông [ABC]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài giải:
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA = a√3, SA ⊥ [ABCD]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện, hình lập phương, hình chóp, hình lăng trụ tương đối đơn giản, dễ nhớ, dễ thuộc, tuy nhiên trong từng dạng bài tập các em cần áp dụng một cách linh hoạt để tìm ra đáp án chính xác nhất cho đề bài. Bên cạnh đó các em cũng cần hiểu và ghi nhớ cách tính diện tích hình tròn để dễ dàng áp dụng những loại hình tương tự trong hình học không gian nhé.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm các dạng bài về mặt cầu ngoại tiếp như bài toán công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là một bài toán mà các em rất hay gặp đó nhé.
Cách tính và công thức diện tích mặt cầu ngoại tiếp là kiến thức nằm trong chương trình Toán học lớp 12, gặp nhiều bài tập cũng như bài thi liên quan tới dạng tính mặt cầu ngoại tiếp này. Các em muốn bổ sung kiến thức này thì có thể tham khảo bài viết dưới đây.
Giải toán lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4 trang 18 SGK Hình Học - Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Cách tính diện tích hình thoi khi biết 4 cạnh Cách Tính Đường Kính Thân Cây Công thức tính diện tích hình thoi trong không gian Giải bài tập trang 26, 27, 28 SGK Hình Học 12 Bài tập tính thể tích hình hộp chữ nhật lớp 5