A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình bậc nhất
Cách giải và biện luận phương trình dạng được tóm tắt trong bảng sau
Khi phương trình được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương trình bậc hai
Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau
3. Định lí Vi–ét
Nếu phương trình bậc hai
Ngược lại, nếu hai số và có tổng và tích thì và là các nghiệm của phương trình
B. Bài tập
DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải
- Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối[GTTĐ] ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
-
Phương trình dạng ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau
hoặc
-
Đối với phương trình dạng [*] ta có thể biến đổi tương đương như sau
Hoặc
Ví dụ:
Giải các phương trình sau:
a] .
b]
c]
d]
Lời giải:
a] Phương trình
Vậy phương trình có nghiệm là và .
b] Cách 1: Với ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm
Với khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra
Phương trình
[thỏa mãn]
Vậy phương trình có nghiệm là .
Cách 2: Với : Phương trình tương đương với
[thỏa mãn]
Với : Phương trình tương đương với
[thỏa mãn]
Vậy phương trình có nghiệm là .
c] Với ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm
Với khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra
Phương trình
Đối chiếu với điều kiện thấy chỉ có và thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm là và .
d] Ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy phương trình có nghiệm là .
DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường
– Quy đồng mẫu số [chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không]
– Đặt ẩn phụ
Ví dụ:
Tìm số nghiệm của các phương trình sau
a]
b] .
c] .
d]
Lời giải:
a] ĐKXĐ: và .
Phương trình tương đương với
[thỏa mãn điều kiện]
Vậy phương trình có nghiệm là .
b] ĐKXĐ: và .
Phương trình tương đương với
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là .
c] ĐKXĐ: và .
Phương trình tương đương với
[thỏa mãn điều kiện]
Vậy phương trình có nghiệm là .
d] ĐKXĐ: và
Phương trình tương đương với
[thỏa mãn điều kiện]
Vậy phương trình có nghiệm là và
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
Ví dụ:
Giải các phương trình sau:
a] [1]
b]
Hướng dẫn:
a] Điều kiện của phương trình là
Bình phương hai vế của phương trình [1] ta đưa tới phương trình hệ quả:
2x - 3 = x2 - 4x + 4 ⇒x2 - 6x - 7 = 0
Phương trình cuối có hai nghiệm là và
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình nhưng khi thay vào phương trình thì giá trị bị loại [vế trái dương còn vế phải âm], còn giá trị là nghiệm [hai vế cùng bằng ].
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là
b] ĐKXĐ:
Với điều kiện đó phương trình tương đương với:
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là và