Dấu hiệu nhận biết của các tứ giác đặc biệt:
Hình thang :
- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
- Hình thang vuông là Hình thang có một góc vuông.
- Hình thang có hai góc kề một cạnh đấy bằng nhau là Hình thang cân.
- Hình thang hai đường chéo bằng nhau là Hình thang cân.
hình bình hành :
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
hình chữ nhật :
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
hình thoi :
- Tứ giác có có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình thoi.
hình vuông :
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Bài tống tổng hợp 1 :
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CA đặt điểm M sao cho CM = CA. Trên tia đối của tia CB đặt điểm E sao cho CE = CB.
- Chứng minh tứ giác ABME là hình bình hành
- Chứng minh D MEC cân
- Điểm N là đối xứng của điểm A qua Chứng minh tứ giác BCMN là hình thang cân
- Hai đường thẳng NC và AE cắt nhau tại F. Chứng minh D MNF vuông
Giải.
a]xét ΔACB và ΔMCE,ta có:
AC = CM[gt]
EC = CB[gt]
[2 góc đối đỉnh]
=> ΔABC = ΔMCE[c.g.c]
nên EM=AB[2 cạnh tương ứng] [1]
^CEM=^CBA[2 góc tương ứng]
nên : EM//AB [ 2 góc này ở vị trí so le trong] [2]
xét tứ giác ABME , ta có :
EM//AB [cmt]
EM=AB [cmt]
=> tứ giác ABME là hình bình hành
cách 2 :
tứ giác ABME, ta có :
BE cắt AM tại C
CA = CM [gt]
CE = CB [gt]
suy ra : tứ giác ABME là hình bình hành.
b]xét Δ MEC,ta có:
AB=ME [cmt]
AB=AC [Δ ABC cân tại A]
AC=MC [gt]
suy ra : MC=ME
nên : Δ MEC cân tại M.
c]Ta có EM=AB mà AB=BN[N là đối xứng của điểm A qua B]
suy ra EM=BN[1]
EM//AB[cmt] mà A thuộc BN[gt]
nên EM//BN[2]
từ [1] và [2], suy ra :tứ giác EBNM là hình bình hành
nên : EB // MN
hay : CB // MN [C thuộc EB]
=> tứ giác CBNM là hình thang
Cách 2 :
xét ΔAMN, ta có :
EA = EM [gt]
BA = BN [gt]
=> EB là đường trung bình. => EB // MN.
Vậy : tứ giác CBNM là hình thang.
ta lại có:
^MNB=^CBA[2 góc đồng vị]
^CMN=^ACB [đồng vị]
mà ^CBA=^ACB [tam giác ABC cân tại A]
suy ra:^MNB=^CMN
nên : hình thang CBNM là hình thang cân
ta có :
xét ΔMBC và ΔNCB, ta có :
MC = NB ; MB = NC [CBNM là hình thang cân ]
BC cạnh chung.
=> ΔMBC = ΔNCB [c – c – c]
=> ^B1 = ^C1
Mà : ^B1 = ^E1 [so le trong]
^C1 = ^C2 [đối đỉnh]
=> ^E1 = ^C2 => ΔEFC cân tại F => FE = FC
Xét đoạn EC, ta có :
FE = FC [cmt]
ME = MC [cmt]
=> FM là đường trung trực đoạn EC
=>FM _|_ EC
Mặt khác : EC // MN
=> FM _|_ MN tại M
Vậy : D MNF vuông tại M.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Việc nhớ chính xác một công thức Toán lớp 8 trong hàng trăm công thức không phải là việc dễ dàng, với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nhớ Công thức, VietJack biên soạn bản tóm tắt Công thức Toán lớp 8 Học kì 1 Đại số & Hình học đầy đủ, chi tiết nhất. Hi vọng loạt bài này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán lớp 8 hơn.
Tải xuống
1. Nhân đơn thức với đa thức:
A[B + C] = AB + AC
2. Nhân đa thức với đa thức:
[A + B][C + D] = AC + AD + BC + BD
3. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
+] Bình phương của một tổng:
[A + B]2 = A2 + 2AB + B2
+] Bình phương của một hiệu:
[A - B]2 = A2 - 2AB + B2
+] Hiệu hai bình phương:
A2 – B2 = [A + B][A – B]
+] Lập phương của một tổng:
[A + B]3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
+] Lập phương của một hiệu:
[A - B]3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
+] Tổng hai lập phương:
A3 + B3 = [A + B][A2 – AB + B2]
+] Hiệu hai lập phương:
A3 – B3 = [A – B][A2 + AB + B2]
4. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm các hạng tử
- Tách hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp
5. Chia đơn thức cho đơn thức.
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B [trường hợp A chia hết cho B] ta làm như sau:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
6. Chia đa thức cho đơn thức.
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B [trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B], ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại với nhau.
1. Tứ giác
- Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
- Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tam giác. [Ngược lại là tứ giác lõm]
ABCD, EFGH là các tứ giác lồi
MNQP là tứ giác lõm
- Định lí: Tổng các góc trong của một tứ giác bằng 360o
- Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác. Tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng 360o
2. Hình thang
ABCD là hình thang:
- AB // CD
-
- Nếu
- Nếu
- ABCD là hình thang,
3. Hình thang cân
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
- Hai góc đối của hình thang cân bằng 180o
- Tính chất: ABCD là hình thang cân thì AD = BC; AC = BD
- Dấu hiệu nhận biết
+ Tứ giác ABCD có
+ Tứ giác ABCD có
+ Tứ giác ABCD có
4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang
+] Đường trung bình của tam giác: là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
- Tam giác ABC:
- MN là đường trung bình của tam giác ABC
-
+] Đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
- Hình thang ABCD:
- MN là đường trung bình của hình thang ABCD thì
5. Đối xứng trục
- Hai điểm A, B gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
- Quy ước: Nếu điểm M nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với M qua đường thẳng d cũng là điểm M.
- Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó
- Nếu hai đoạn thẳng [góc, tam giác] đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.
- Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H. Ta nói hình H có trục đối xứng
- Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.
6. Hình bình hành
- Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
- Hình bình hành là một hình thang đặc biệt [hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song]
ABCD là hình bình hành nên:
+] Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
7. Đối xứng tâm
- Hai điểm A, B gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó. [Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O cũng là điểm O]
- Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với mỗi điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.
- Nếu hai đoạn thẳng [góc, tam giác] đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.
- Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H. Ta nói hình H có tâm đối xứng.
- Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
8. Hình chữ nhật
- Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
- Từ định nghĩa hình chữ nhật, ta suy ra: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân.
+] Tính chất:
- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình hành, của hình thang cân.
- Từ tính chất của hình thang cân và hình bình hành: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+] Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Định lí:
-
-
9. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
- Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.
- Nhận xét: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.
- Các đường thẳng song song cách đều là các đường thẳng song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng bằng nhau.
+] Định lí:
- Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
- Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng dó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
10. Hình thoi
- Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hình thoi cũng là một hình bình hành.
- Tính chất: Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành
ABCD là hình thoi
+] Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
11. Hình vuông
+ Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
+ Từ định nghĩa hình vuông, ta suy ra:
- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.
- Như vậy: Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
+ Tính chất:
- Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
- Đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau
+ Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
BẢNG TỔNG KẾT
Tải xuống
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 8 đầy đủ và chi tiết khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 6 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k10: fb.com/groups/hoctap2k10/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.