Bài tập tự luận chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
|
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta chứng minh: – a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). – a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P). Bài tập chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết  a) Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D ta có: $\left\{ \begin{array} {} AI\bot BC \\ {} DI\bot BC \\ \end{array} \right.$ (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao) Do đó $BC\bot (ADI)$. b) Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên $AH\bot DI$ Mặt khác $BC\bot (ADI)\Rightarrow BC\bot AH$ Do đó $AH\bot (BCD)$
Lời giải chi tiết a) Do $SA\bot (ABCD)\Rightarrow SA\bot BC$ Mặt khác ABCD là hình vuông nên $BC\bot AB$ Khi đó $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AB \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB)$ Tương tự chứng minh trên ta có: $CD\bot (SAD)$ b) Do $BC\bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AM$ Mặt khác $AM\bot SB\Rightarrow AM\bot (SBC)$ Tương tự ta có: $AN\bot (SCD)$ c) Do $\left\{ \begin{array} {} AM\bot (SBC) \\ {} AN\bot (SCD) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} AM\bot SC \\ {} AN\bot SC \\ \end{array} \right.\Rightarrow SC\bot (AMN)$ Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên CM = DN. Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN//BD. d) Do ABCD là hình vuông nên $AC\bot BD$, mặt khác $SA\bot BD\Rightarrow BD\bot (SAC)$ Do $MN//BD\Rightarrow MN\bot (SAC)\Rightarrow MN\bot AK$
Lời giải chi tiết a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) thì $AH\bot (BCD)$ Ta có $\left\{ \begin{array} {} AD\bot AB \\ {} AD\bot AC \\ \end{array} \right.\Rightarrow AD\bot (ABC)\Rightarrow AD\bot BC$ Mặt khác $AH\bot BC\Rightarrow BC\bot (ADH)\Rightarrow BC\bot DH$ Tương tự chứng minh trên ta có: $BH\bot CD$ Do đó H là trực tâm của tam giác BCD. b) Gọi $E=DH\cap BC$, do $BC\bot (ADH)\Rightarrow BC\bot AE$ Xét ∆ ABC vuông tại A có đường cao AE ta có: $\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$ Lại có: $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}$(đpcm). c) Đặt AB = x; AC = y; AD = z. Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\ {} BD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}} \\ {} CD=\sqrt{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \\ \end{array} \right.$ Khi đó $\text{cosB=}\frac{B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2.BC.BD}=\frac{{{x}^{2}}}{BC.BD}>0\Rightarrow \widehat{CBD}<{{90}^{\circ }}$ Tương tự chứng minh trên ta cũng có $\left\{ \begin{array} {} \widehat{BDC}<{{90}^{\circ }} \\ {} \widehat{BCD}<{{90}^{\circ }} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ tam giác BCD có 3 góc nhọn.
Lời giải chi tiết a) Giả sử $AH\bot BC$ tại M. Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AM \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot (SAM)\Rightarrow BC\bot SM$ Mặt khác $SK\bot BC\Rightarrow $ S, K, M thẳng hàng do đó AH, SK, BC đồng quy tại điểm M. b) Do H là trực tâm của tam giác ABC nên $BH\bot AC$ Mặt khác $BH\bot SA\Rightarrow BH\bot (SAC)\Rightarrow BH\bot SC$ Lại có: $BK\bot SC\Rightarrow SC\bot (BHK)$ c) Do $SC\bot (BHK)\Rightarrow SC\bot HK$, mặt khác $BC\bot (SAM)\Rightarrow BC\bot HK$ Do đó $HK\bot (SBC)$
Lời giải chi tiết a) Do SA = SC $\Rightarrow $ ∆ SAC cân tại S có trung tuyến SO đồng thời là đường cao suy ra $SO\bot AC$ Tương tự ta có: $SO\bot BD\Rightarrow SO\bot (ABCD)$ b) Do ABCD là hình thoi nên $AC\bot BD$ Mặt khác $SO\bot (ABCD)\Rightarrow AC\bot SO$ Do vậy $AC\bot (SBD)$ IK là đường trung bình trong tam giác BAC nên $IK//AC$ mà $AC\bot (SBD)\Rightarrow IK\bot (SBD)$
Lời giải chi tiết a) Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ = BC = a ∆SCD là tam giác vuông cân đỉnh S $\Rightarrow SJ=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}$ Do đó $S{{J}^{2}}+S{{I}^{2}}=I{{J}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow \vartriangle SIJ$ vuông tại S. b) Do ∆SCD cân tại S nên $SJ\bot CD$ Do $AB//CD\Rightarrow SJ\bot AB$ Mặt khác $SJ\bot SI\Rightarrow SJ\bot (SAB)$ Chứng minh tương tự ta có: $SI\bot (SCD).$ c) Do $SI\bot (SCD)\Rightarrow SI\bot CD$ Mặt khác $CD\bot IJ\Rightarrow CD\bot (SIJ)\Rightarrow CD\bot SH$ Do $SH\bot IJ\Rightarrow SH\bot (ABCD)$
Lời giải chi tiết Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và MC = 2MI $\Rightarrow $ M là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow M=AH\cap CI$ Ta có : $\frac{NA}{NS}=\frac{MA}{MH}=2\Rightarrow MN//SH$ Mặt khác $SH\bot (ABC)\Rightarrow MN\bot (ABC)$ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – Bài 3 Tuyển tập các bài toán đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nâng cao, có hướng dẫn giải chi tiết cho các bạn tự học Để làm được tốt các bài tập trong phần này. Các bạn học sinh hãy nghe giảng các bài từ dễ đến khó như sau: Bài giảng 1: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng dễ nhất Bài giảng 2: Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc mặt phẳng. Đặc biệt là SA vuông góc với đáy thì SA vuông góc với tất cả các đường thuộc đáy Bài giảng 3: Vận dụng kiến thức để chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông Bài giảng 4: Vận dụng kiến thức để chứng minh yếu tố vuông góc. Các bài toán hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC, SD Các bạn ủng hộ và đăng kí kênh youtube: Học toán cùng Nhân thành để được cập nhật những thông tin mới nhất, các bài giảng mới nhất môn Toán cả toán phổ thông và toán đại học Bài tập vận dụng kiến thức Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết AD= 2AB =2BC , SA vuông góc với đáy (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H, K là trung điểm của AB, AD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC =a√3 , mặt bên SBC vuông tại B, SCD vuông tại D có SD = a√5
Hướng dẫn giải: Bài 5: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a , ∠ASB = ∠ASC = 600, ∠BSC = 900 M là trung điểm của BC. Chứng minh AB ⊥ AC và SM ⊥ ( ABC ) . Hướng dẫn giải Bài 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc , H là hình chiếu vuông góc O trên mặt phẳng (ABC)
Bài giảng video. Nếu thật sự có ý nghĩa. Hãy chia sẽ nó cho người thân thiết của bạn. |
