| Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có \[AB = {x_1},CD = {x_2};AC = {y_1},BD = {y_2},BC = {z_1},AD = {z_2}\]. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AD. |
Lời giải
Ta có:
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DA} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \left[ {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} } \right] = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} \]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {C{B^2} + C{D^2} - B{D^2}} \right] - \frac{1}{2}\left[ {C{B^2} + C{A^2} - A{B^2}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {A{B^2} + C{D^2} - B{D^2} - C{A^2}} \right].\]
Khi đó
\[\cos \left[ {BC;DA} \right] = \frac{{\left| {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DA} } \right|}}{{BC.DA}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 - y_2^2}}{{2{z_1}{z_2}}}.\]
Đặc biệt: Nếu \[AB = CD = x;AC = BD = y\] và \[BC = AD = z\] ta đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\alpha = \left[ {\widehat {BC;AD}} \right]\\\beta = \left[ {\widehat {AB;CD}} \right]\\\gamma = \left[ {\widehat {AC;BD}} \right]\end{array} \right.\] thì ta có:
\[\cos \alpha = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{z^2}}};\cos \beta = \frac{{\left| {{y^2} - {z^2}} \right|}}{{{x^2}}};\cos \gamma = \frac{{{z^2} - {z^2}}}{{{y^2}}}.\]
Lời giải
■ Cách 1: Do \[SA \bot \left[ {ABCD} \right].\]
Ta có:
\[SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a\]. Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE. Khi đó \[DN//BE//MI.\]
Tacó:
\[AM = a;AI = \frac{{AE}}{2} = \frac{a}{2}.\]
Mặt khác:
\[S{M^2} = S{A^2} + A{M^2} = 2{a^2};S{I^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}.\]
\[MI = A{I^2} + A{M^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\]. Do vậy \[\cos \widehat {SMI} = \frac{{S{M^2} + M{I^2} - S{I^2}}}{{2.SM.MI}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} = cos[\widehat {SM;DN}].\]
■ Cách 2: Ta có:
\[\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {DN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {SM} .\left[ {\overrightarrow {SN} - \overrightarrow {SD} } \right] = \overrightarrow {SM} .\overrightarrow {SN} {\rm{ }} - {\rm{ }}\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {SD} \]
\[{\rm{ = }}\frac{1}{2}\left[ {S{M^2} + S{N^2} - M{N^2}} \right] - \frac{1}{2}\left[ {S{M^2} + S{D^2} - M{D^2}} \right]\]
Mặt khác:
\[S{N^2} = S{A^2} + A{N^2} = S{A^2} + A{B^2} + B{N^2} = 6{a^2},MN = \frac{{AC}}{2} = {\rm{ }}a\sqrt 2 ,S{D^2} = 5{a^2},M{D^2} = 5{a^2}.\]
Do đó
\[\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {DN} = 2{a^2} \Rightarrow \cos \left[ {SM;DN} \right] = \frac{{\left| {2{a^2}} \right|}}{{SM.DN}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 2 .a\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}.\]
Lời giải
a] Do \[BC//AD \Rightarrow [\widehat {SD;BC}] = [\widehat {SD;AD}] = \widehat {SDA}\]
\[\Delta SAD\] vuông tại A \[ \Rightarrow \cos \widehat {SDA} = \frac{{AD}}{{SD}} = \frac{{AD}}{{\sqrt {A{D^2} + S{A^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
b] Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình trong tam giác SAB.
Khi đó \[MK//SB\], mặt khác \[MC//AI.\]
Suy ra \[[\widehat {SB;AI}] = [\widehat {MK;CM}].\]
Ta có:
\[MK = \frac{{SB}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]; \[MC = \sqrt {M{B^2} + B{C^2}} = \frac{{3a}}{2}\]; \[KC = \sqrt {K{A^2} + A{C^2}} = 2a.\]
Khi đó
\[cos\widehat {KMC} = \frac{{K{M^2}{\rm{ + }}M{C^2} - K{C^2}}}{{2.KM.MC}} = - \frac{1}{{3\sqrt 5 }} \Rightarrow cos\left[ {\widehat {SB;AI}} \right] = \frac{1}{{3\sqrt 5 }}.\]
Cách khác: Ta có:
\[\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {SB} .\left[ {\overrightarrow {SI} - \overrightarrow {SA} } \right] = \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SI} - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA} \]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {S{B^2} + S{I^2} - I{B^2}} \right] - \frac{1}{2}\left[ {S{B^2} + S{A^2} - A{B^2}} \right]\]
Do \[S{B^2} = 5{a^2};S{I^2} = S{A^2} + A{D^2} + D{I^2} = \frac{{25{a^2}}}{4};AI = \sqrt {A{D^2} + D{I^2}} = \frac{{3a}}{2} = IB.\]
Suy ra
\[\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AI} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow \cos \left[ {SB;AI} \right] = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AI} } \right|}}{{SB.AI}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 5 .\frac{{3a}}{2}}} = \frac{1}{{3\sqrt 5 }}.\]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp [O thường nằm trên một trong hai đường thẳng].
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos[d1, d2] =
Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1→, u2→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→
A. 45° B. 90° C. 120° D.60°
Quảng cáo
Hướng dẫn giải:
Vì DH→ = AE→ [ ADHE là hình vuông] nên [AB→, DH→] = [AB→, AE→] = ∠BAE = 90° [ABFE là hình vuông].
Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?
A. 90° B. 60° C. 45° D. 120°
Hướng dẫn giải
Vì EG→ = AC→ [ tứ giác AEGC là hình chữ nhật] nên:
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:
A. 45° B. 90° C. 60° D. 120°
Hướng dẫn giải
Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương
Khi đó, tam giác AB’C đều [AB' = B'C = CA = a√2] do đó ∠B'CA= 60° .
Lại có, DA’ song song CB’ nên
[AC, DA'] = [AC, CB'] = ∠ACB'= 60°.
Chọn C
Quảng cáo
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?
Hướng dẫn giải
Ta có : AC // A’C’ [ do AA’CC’ là hình bình hành] mà ∠DA'C' nhọn [do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn] nên :
[AC, A'D] = [A'C', A'D] = ∠DA'C'
Chọn B
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?
A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°
B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°
C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°
D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.
Hướng dẫn giải
Ta có [AA', B'D'] = [BB', B'D'] = ∠BB'C = 90°.
Khẳng định B sai. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc [IE; JF] bằng
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD
Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD
Từ [1] và [2] suy ra:
Do đó IJEF là hình thoi
Suy ra [IE; JF] = 90°.
Chọn D
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = [a√3]/2 [I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD]. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC.
Ta có:
Gọi O là giao điểm của MN và IJ.
Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .
Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và
A. 120° B. 90° C. 60° D.45°
Hướng dẫn giải
Chọn B
+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều
Tương tự tam giác ABD đều.
⇒ BC = BD [= AB]
+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :
BC = AC.
AD = BD
CD chung
⇒ Δ BCD = Δ ACD[ c.c.c] ⇒ BJ = AJ
⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
⇒ IJ ⊥ AB.
⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 60° B. 30° C. 90° D. 45°
+ Gọi M là trung điểm của CD
+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều [vì ABCD là tứ diện đều] có AM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.
Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.
Chọn C
Câu 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?
A. 0° B. 30° C. 90° D. 60°
Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên:
Suy ra AO→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AO và CD bằng 90°.
Chọn C
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Xét:
Vậy SC và AB vuông góc với nhau.
Chọn D
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc [IJ; CD]bằng:
A . 90° B. 45° C. 30° D. 60°
Chọn D
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
+ Ta có: OJ là đường trung bình của tam giác BCD nên
OJ // CD
⇒ [IJ; CD] = [IJ, JO]
+ Xét tam giác IOJ có
⇒ tam giác IOJ đều.
Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ
bằng góc ∠IJO = 60°
Chọn D.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD [c-c-c] .
Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.
Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = [1/2]AC .
Do đó tam giác SAC vuông tại S [tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy]. Vậy SA ⊥ SC
Chọn D.
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos[ AB; DM] bằng
Chọn A
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ [BCD]
Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ [AB, DM] = [ME, MD]
Ta có:
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = [√3/2]a
Xét tam giác MED, ta có:
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc [MN; SC] bằng
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Chọn D
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD [1]
Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD [2]
Từ [1] và [2] ⇒ SO ⊥ [ABCD]
Từ giả thiết ta có: MN // SA [do MN là đường trung bình của tam giác SAD].
⇒ [MN; SC] = [SA; SC].
Xét tam giác SAC, ta có:
⇒ [SA, SC] = [MN, SC] = 90°
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ→ và CD→ ?
A. 45° B. 90° C. 60° D. 120°
Chọn B
Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI = DI
[2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB]
⇒ Tam giác CID là tam giác cân ở I.
Mà IJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên IJ ⊥ CD
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.