Tài liệu gồm 28 trang, tuyển chọn 50 bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m, có đáp án và lời giải chi tiết; đây là dạng bài tập vận dụng – vận dụng cao [VD – VDC] thường gặp trong chương trình Giải tích 12 và đề thi THPT Quốc gia môn Toán.
Trích dẫn tài liệu bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m:+ Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = [2x + 1]/[x + m] nghịch biến trên khoảng [3;+vc].+ Số giá trị nguyên thuộc [-5;5] của tham số m sao cho hàm số y = [sinx – m]/[sinx + m] nghịch biến trên khoảng [0;pi/2] là?+ Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số y = f[x] = [x + 2m – 3]/[x – 3m + 2] đồng biến trên khoảng [-vc;-14]. Tính tổng T của các phần tử trong S.[ads]+ Cho hàm số y = [mx + 2m + m]/[x + m] với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng [2;+vc]. Tìm số phần tử của S.
+ Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số y = f[x] = 2mx^3 – 6x^2 + [2m – 4]x + 3 + m nghịch biến trên R là?
þ Xét bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=f\left[ x;m \right]$ đồng biến hoặc nghịch biến trên D [trong đó D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn].
| Phương pháp giải:
Xét hàm số $f\left[ x;m \right]$ ta tính ${y}'={f}'\left[ x;m \right]$. Hàm số đồng biến trên D ⇔ ${y}'\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in D \right]$. Hàm số nghịch biến trên D ⇔ ${y}'\le 0\text{ }\left[ \forall x\in D \right]$. Cô lập tham số m và đưa bất phương trình ${y}'\ge 0$ hoặc ${y}'\le 0$ về dạng $m\ge f\left[ x \right]$ hoặc $m\le f\left[ x \right]$. Sử dụng tính chất: § Bất phương trình: $m\ge f\left[ x \right]\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow m\ge \underset{D}{\mathop{Max}}\,f\left[ x \right]$. § Bất phương trình: $m\le f\left[ x \right]\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow m\le \underset{D}{\mathop{Min}}\,f\left[ x \right]$. |
Chú ý: Với hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left[ a\ne 0 \right]$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng $\left[ a;b \right]$ thì nó đồng biến trên đoạn $\left[ a;b \right]$.
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số.
Lưu ý bất đẳng thức Cosi [AM – GM]: Cho các số thực không âm ${{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ thì ta có:
${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}>n\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{n}}$.
Với hàm số lượng giác $F\left[ x \right]=a\operatorname{sinx}+b\cos x+c$ thì $\left\{ \begin{array} {} MaxF\left[ x \right]=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\ {} MinF\left[ x \right]=-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\ \end{array} \right.$.
Bài tập xét tính đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 có đáp án
| Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right]$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 2;+\infty \right]$ $\Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty \right]$
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left[ x \right]\left[ \forall x\in \left[ 0;+\infty \right] \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\max }}\,g\left[ x \right]$
Mặt khác ${g}'\left[ x \right]=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1$. Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left[ x \right]=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left[ x \right]=-\infty ;\text{ }g\left[ 1 \right]=3$.
Do vậy $\underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\max }}\,g\left[ x \right]=+\infty $. Do đó $m\ge 3$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 2: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1$. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right]$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x+3m$.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\forall x\subset \left[ 0;+\infty \right]$
$\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x=g\left[ x \right]\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty \right]\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]$
Xét $g\left[ x \right]={{x}^{2}}-2x\left[ x\in \left[ 0;+\infty \right] \right]$ ta có: ${g}'\left[ x \right]=2x-2=0\Leftrightarrow x=1$
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left[ x \right]=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left[ x \right]=+\infty ;\text{ }g\left[ 1 \right]=-1$ nên $\underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]=-1$
Do đó $m\le -1$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-mx+1$. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;0 \right]$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2x-m$.
Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;0 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]$
$\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x=g\left[ x \right]\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left[ x \right]$
Mặt khác ${g}'\left[ x \right]=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$
Lại có $g\left[ -2 \right]=0;\text{ }g\left[ 0 \right]=0;\text{ }g\left[ -1 \right]=-1$. Do vậy $\underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left[ x \right]=0$
Vậy $m\ge 0$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 4: [Đề thi tham khảo của Bộ GD{}ĐT năm 2019]: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+\left[ 4m-9 \right]x+4$ nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ là
A. $\left[ -\infty ;0 \right]$. B. $\left[ -\frac{3}{4};+\infty \right]$. C. $\left[ -\infty ;-\frac{3}{4} \right]$. D. $\left[ 0;+\infty \right]$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-1 \right] \right]$
$\Leftrightarrow 4m\le 3{{x}^{2}}+12x+9\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-1 \right] \right]\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le {{x}^{2}}+4x+3\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-1 \right] \right]\left[ * \right]$
Xét $g\left[ x \right]={{x}^{2}}+4x+3$ trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ ta có: ${g}'\left[ x \right]=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$.
Ta tìm được $\underset{\left[ -\infty ;-1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]=g\left[ -2 \right]=-1\Rightarrow \left[ * \right]\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le -1\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{4}$. Chọn C.
| Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left[ m-2 \right]{{x}^{2}}+\left[ 2m+3 \right]x$ nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$? |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2\left[ m-2 \right]x+2m+3$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]$ [Do hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta mở rộng ra đoạn $\left[ 0;3 \right]$].
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3\le -2m\left[ x+1 \right]\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]\Leftrightarrow 2m\le \frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}=g\left[ x \right]\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]$
$\Leftrightarrow 2m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]$
Ta có: ${g}'\left[ x \right]=\frac{-{{x}^{2}}-7x+7}{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}}=0\xrightarrow{x\in \left[ 0;3 \right]}x=-1+2\sqrt{2}$
Mặt khác $g\left[ 2\sqrt{2}-1 \right]=6-4\sqrt{2},\text{ }g\left[ 0 \right]=-3,\text{ }g\left[ 3 \right]=0$.
Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]=-3\Rightarrow 2m\le -3\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{2}$.
| Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 20 để hàm số $y={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+\left[ m+2 \right]x+{{m}^{2}}$ đồng biến trên khoảng $\left[ -1;+\infty \right]$.
A. 13. B. 14. C. 15. D. 16. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+12x+m+2$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -1;+\infty \right]\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left[ \forall x\in \left[ -1;+\infty \right] \right]$ [Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có thể lấy $x\in \left[ -1;+\infty \right]$].
$\Leftrightarrow g\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+12x+2\ge -m\left[ \forall x\in \left[ -1;+\infty \right] \right]\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;+\infty \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]\ge -m\left[ * \right]$
Ta có: ${g}'\left[ x \right]=6x+12>0\left[ \forall x\in \left[ -1;+\infty \right] \right],\text{ }g\left[ -1 \right]=-7$.
Suy ra $\left[ * \right]\Leftrightarrow -7\ge -m\Leftrightarrow m\ge 7$.
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]\Rightarrow f\left[ x \right]$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$.
Vậy $f\left[ x \right]0\left[ \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right]$
$\Rightarrow g\left[ x \right]$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$
Ta có: $g\left[ x \right]=\frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\le \text{m }\left[ \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right]\Leftrightarrow m\ge g\left[ 2 \right]=\frac{11}{9}$. Chọn C.
| Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=2{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+2x$ đồng biến trên khoảng $\left[ -2;0 \right]$.
A. $m\ge -2\sqrt{3}$. B. $m\le 2\sqrt{3}$. C. $m\ge -\frac{13}{2}$. D. $m\ge \frac{13}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Cách 1: Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-2mx+2$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -2;0 \right]\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]$.
$\Leftrightarrow mx\le 3{{x}^{2}}+1\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]\Leftrightarrow m\ge 3x+\frac{1}{x}\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]$
Xét $f\left[ x \right]=3x+\frac{1}{x}\text{ }\left[ x\in \left[ -2;0 \right] \right]$ ta có ${f}'\left[ x \right]=3-\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ }\left[ loai \right] \\ {} x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{array} \right.$
Lại có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left[ x \right]=-\infty ;\underset{x\to {{\left[ -2 \right]}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left[ x \right]=\frac{-13}{2},f\left[ -\frac{1}{\sqrt{3}} \right]=-2\sqrt{3}$
Vậy $m\ge -2\sqrt{3}$. Chọn A.
Cách 2: $f\left[ x \right]=3x+\frac{1}{x}=-\left[ 3\left[ -x \right]+\frac{1}{\left[ -x \right]} \right]\le -2\sqrt{3}\Rightarrow \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]=-2\sqrt{3}$ khi $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
| Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{5{{x}^{5}}}$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right]$?
A. 5. B. 3. C. 0. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right]\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;+\infty \right] \right]$
$\Leftrightarrow g\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge -m\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;+\infty \right] \right]\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\min }}\,g\left[ x \right]\ge -m\left[ * \right]$
Lại có: $g\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{6}}}}=4$ [Bất đẳng thức AM – GM]
Do đó $\left[ * \right]\Leftrightarrow -m\le 4\Leftrightarrow m\ge -4$.
Theo bài ta có $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$. Chọn D.
| Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{4}}-2\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}+m-2$ đồng biến trên khoảng $\left[ 1;3 \right]$.
A. $m\le 1$. B. $m2$. |
Lời giải
Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3\ge 0\Leftrightarrow {{\left[ x+2m \right]}^{2}}+3\ge 0$ [Luôn đúng].
Ta có ${f}'\left[ x \right]={{\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3} \right]}^{\prime }}=\frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;2 \right]$, khi đó
${y}'\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;2 \right] \right]\Leftrightarrow \frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;2 \right] \right]$
Suy ra $x+2m\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;2 \right] \right]\Leftrightarrow m\le -\frac{x}{2}\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;2 \right] \right]\Leftrightarrow m\le \frac{-2}{2}=-1$. Chọn A.
| Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left[ 2m-1 \right]x+1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?
A. $m=0,\text{ }m=2$. B. $m=1$. C. $m=0$. D. $m=2$. |
Lời giải
Ta có ${y}'={{\left[ {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left[ 2m-1 \right]x+1 \right]}^{\prime }}=3{{x}^{2}}-6mx+3\left[ 2m-1 \right]$.
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 PT ${y}'=0$ là hai nghiệm ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2$.
Hàm số có hai cực trị, khi đó $\text{Δ'}\left[ {{y}'} \right]>0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-9\left[ 2m-1 \right]>0\Leftrightarrow {{\left[ m-1 \right]}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$.
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}\text{+ }{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right]}^{2}}=4$
$\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left[ 2m-1 \right]=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} m=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
| Ví dụ 20: Tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left[ 3-2m \right]x+m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ là:
A. $T=2$. B. $T=-2$. C. $T=-4$. D. $T=4$. |
Lời giải
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2mx+3-2m$.
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ khi phương trình ${{x}^{2}}-2mx+3-2m=0\left[ * \right]$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}$
Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt khi $\text{Δ'}={{m}^{2}}+2m-3>0$
Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3-2m \\ \end{array} \right.$
Ta có: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right]}^{2}}=20\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m-12=20\left[ t/m \right]$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=-2$. Chọn B.
| Ví dụ 21: Xác định giá trị của b để hàm số $f\left[ x \right]=\sin x-bx+c$ nghịch biến trên toàn trục số.
A. $b\le 1$. B. $b1$. D. $b\ge 1$. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=\cos x-b$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \cos x-b\le 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge \cos x\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge 1$.
Chọn D.
| Ví dụ 22: : Xác định giá trị của m để hàm số $f\left[ x \right]=\sin 2x+mx+c$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m\ge 2$. B. $-2\le m\le 2$. C. $m>2$. D. $m\ge -2$. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=2\cos 2x+m$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left[ \forall x\in \mathbb{R} \right]\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-2+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 2$. Chọn A.
| Ví dụ 23: Xác định giá trị của m để hàm số $y=m\sin x+\cos x+\left[ m+1 \right]x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m\ge 0$. B. $-1\le m\le 1$. C. $m>1$. D. $m\ge -1$. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=m\cos x-\sin x+m+1$.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left[ \forall x\in \mathbb{R} \right]$.
$\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-\sqrt{{{m}^{2}}+1}+m+1\ge 0\Leftrightarrow m+1\ge \sqrt{{{m}^{2}}+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ge -1 \\ {} {{m}^{2}}+2m+1\ge {{m}^{2}}+1 \\ \end{array} \right.$
| Ví dụ 24: Xác định giá trị của tham số m để hàm số $y=\left[ m-3 \right]x-\left[ 2m+1 \right]\cos x$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
A. $-4\le m\le \frac{2}{3}$. B. $-4\le m\le 3$. C. $-1\le m\le \frac{2}{3}$. D. $-1\le m\le 3$. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=m-3+\left[ 2m+1 \right]\sin x$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left[ \forall x\in \mathbb{R} \right]$
$\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,{y}'=m-3+\left| 2m+1 \right|\le 0\Leftrightarrow 3-m\ge \left| 2m+1 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 3 \\ {} {{\left[ 3-m \right]}^{2}}\ge {{\left[ 2m+1 \right]}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 3 \\ {} 3{{m}^{2}}+10m-8\le 0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow -4\le m\le \frac{2}{3}$. Chọn A.
| Ví dụ 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-\left[ 3m+6 \right]{{x}^{2}}+\left[ 3{{m}^{2}}+12m \right]x+{{m}^{2}}-m$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$.
A. $0\le m\le 1$. B. $\left[ \begin{array} {} m\ge 1 \\ {} m\le 0 \\ \end{array} \right.$. C. $-1\le m\le 1$. D. $\left[ \begin{array} {} m\ge 1 \\ {} m\le -1 \\ \end{array} \right.$.. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left[ m+2 \right]x+3\left[ {{m}^{2}}+4m \right]=3\left[ x-m \right]\left[ x-m-4 \right];\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=m \\ {} x=m+4 \\ \end{array} \right.$.
Do đó phương trình ${y}'=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bảng biến thiên
Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 1;3 \right]$ thì $\left\{ \begin{array} {} m\le 1 \\ {} m+4\ge 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 1 \\ {} m\ge -1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 1$. Chọn C.
| Ví dụ 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-6m{{x}^{2}}+\left[ 12{{m}^{2}}-3 \right]x+m+3$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$.
A. $-1\le m\le 1$. B. $\left[ \begin{array} {} m\ge 1 \\ {} m\le -1 \\ \end{array} \right.$. C. $\left[ \begin{array} {} m\ge \frac{1}{2} \\ {} m\le 0 \\ \end{array} \right.$. D. $0\le m\le \frac{1}{2}$. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-12mx+12{{m}^{2}}-3=3\left[ x-2m+1 \right]\left[ x-2m-1 \right];\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2m+1 \\ {} x=2m-1 \\ \end{array} \right.$.
Do đó phương trình
Bảng biến thiên
Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$ thì $\left\{ \begin{array} {} 2m-1\le 0 \\ {} 2m+1\ge 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le \frac{1}{2} \\ {} m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le \frac{1}{2}$. Chọn D.
| Ví dụ 27: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}-\left[ 9{{m}^{2}}-6m \right]x+2m+1$ nghịch biến trên khoảng $\left[ 2;4 \right]$ là:
A. 17. B. 36. C. 19. D. 41. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left[ m-1 \right]x-3m\left[ 3m-2 \right]=3\left[ x+m \right]\left[ x-\left[ 3m-2 \right] \right]3 \right]\Leftrightarrow x-m\ge 0\text{ }\left[ \forall x>3 \right]\Leftrightarrow x\ge m\text{ }\left[ \forall x>3 \right]\Leftrightarrow 3\ge m$.
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 14 giá trị của m. Chọn B.
| Ví dụ 30: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left[ {{m}^{2}}-1 \right]x+1$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right]$. Số phần tử của tập hợp S là
A. 22. B. 19. C. 21. D. 20. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left[ {{m}^{2}}-1 \right]$. Ta có: ${y}'\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left[ {{m}^{2}}-1 \right]\ge 0$
$\Leftrightarrow \left[ x-m-1 \right]\left[ x-m+1 \right]\ge 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge m+1 \\ {} x\le m-1 \\ \end{array} \right.$.
Do vậy hàm số đồng biến trên $\left[ -\infty ;m-1 \right]$ và $\left[ m+1;+\infty \right]$
Để hàm số đã cho đồng biến trên x$\left[ 0;+\infty \right]\Leftrightarrow m+1\le 0\Leftrightarrow m\le -1$
.Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 20 giá trị nguyên của m. Chọn D.
| Ví dụ 31: Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+4\left[ 3m-2 \right]{{x}^{2}}+2m+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$
A. 22. B. 23. C. 21. D. 20. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=-4{{x}^{3}}+8\left[ 3m-2 \right]x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$.
$\Leftrightarrow -4{{x}^{3}}+8\left[ 3m-2 \right]x\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-2 \right] \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left[ 3m-2 \right]\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-2 \right] \right]$
[Do $-4x\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-2 \right] \right]$]
$\Leftrightarrow 2\left[ 3m-2 \right]\le {{x}^{2}}\text{ }\left[ \forall x\in \left[ -\infty ;-2 \right] \right]\Leftrightarrow 2\left[ 3m-2 \right]\le \underset{\left[ -\infty ;-2 \right]}{\mathop{\min }}\,{{x}^{2}}=4\Leftrightarrow 3m-2\le 2\Leftrightarrow m\le \frac{4}{3}$.
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 22 giá trị của m. Chọn A.
| Ví dụ 32: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left[ 2m+3 \right]{{x}^{2}}+m-1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$.
A. 8. B. 7. C. 6. D. 5. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4\left[ 2m+3 \right]x$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$.
$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4\left[ 2m+3 \right]x\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left[ 2m+3 \right]\le 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 2m+3\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right]\Leftrightarrow 2m+3\ge 9\Leftrightarrow m\ge 3$
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 8 giá trị của m. Chọn A.
| Ví dụ 33: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-8\left[ {{m}^{2}}-5 \right]{{x}^{2}}+3m-1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 3;+\infty \right]$.
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.. |
Lời giải
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-8\left[ {{m}^{2}}-5 \right]x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 3;+\infty \right]$.
$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-8\left[ {{m}^{2}}-5 \right]x\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 3;+\infty \right] \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left[ {{m}^{2}}-5 \right]\ge 0\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 3;+\infty \right] \right]$.
$\Leftrightarrow 2\left[ {{m}^{2}}-5 \right]\le {{x}^{2}}\text{ }\left[ \forall x\in \left[ 3;+\infty \right] \right]\Leftrightarrow 2\left[ {{m}^{2}}-5 \right]\le 9\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{19}{2}$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}$. Chọn D.