Câu 1 trang 121 SGK Hình học 11
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a] Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song
b] Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song
c] Mặt phẳng \[[α]\] vuông góc với đường thẳng \[b\] mà \[b\] vuông góc với đường thẳng \[a\], thì \[a\] song song với \[[α]\]
d] Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.
e] Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.
Trả lời:
Câu a đúng
\[\left\{ \matrix{ a \bot [P] \hfill \cr
b \bot [P] \hfill \cr} \right. \Rightarrow a//b\]
Câu b đúng
\[\left\{ \matrix{ [P] \bot a \hfill \cr
[Q] \bot a \hfill \cr} \right. \Rightarrow [P]//[Q]\]
Câu c] sai: Vì \[a\] có thể thuộc mp \[[α]\]
Câu d] sai: Hai mp \[[α]\] và \[[β]\] cùng vuông góc với mp \[[P]\] thì \[[α]\] và \[[β]\] vẫn có thể cắt nhau và trong trường hợp này thì giao tuyến của \[[α]\] và \[[β]\] vuông góc với mp \[[P]\].
Câu e] sai: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì có thể không cùng thuộc một mặt phẳng, khi đó chúng cắt nhau.
Câu 2 trang 121 SGK Hình học 11
Trong các khẳng định sau đây, điều nào đúng?
a] Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.
b] Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
c] Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.
d] Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Trả lời:
Câu a] đúng: Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại [xem mục c] Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau]
Câu b] sai: Qua một điểm, ta có thể vẽ được vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu c] sai: Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Để có khẳng định đúng, ta phải nói: “Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho".
Câu d] sai: Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng ấy.
Câu 3 trang 121 SGK Hình học 11
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], cạnh \[SA\] bằng \[a\] và vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\].
a] Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b] Mặt phẳng \[[α]\] đi qua \[A\] và vuông góc với cạnh \[SC\] lần lượt cắt \[SB, SC\] và \[SD\] tại \[B’, C’\] và \[D’\]. Chứng minh \[B’D’\] song song với \[BD\] và \[AB’\] vuông góc với \[SB\].
Trả lời:
a]
\[SA ⊥[ABCD]\] nên \[AB\] là hình chiếu của \[SB\] trên \[mp[ABCD]\]
\[ABCD\] là hình vuông nên \[BC ⊥AB\]. Ta có:
\[\left. \matrix{ SA \bot [ABCD] \hfill \cr
BC \bot AB \hfill \cr} \right\}\]
\[⇒ SB⊥BC\] [theo định lí ba đường vuông góc]
\[⇒ Δ SBC\] là tam giác vuông tại \[ B\]
Chứng minh tương tự \[ΔSDA\] vuông tại \[D\]
\[SA ⊥[ABCD] ⇒ SA ⊥ AB ⇒ Δ SAB\] vuông tại \[A\]
\[SA\bot AD\]\[ ⇒ Δ SAD\] vuông tại \[A\]
b]
\[\left. \matrix{ SA \bot DB \hfill \cr
AC \bot BD \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot [SAC]\] [1]
Ta lại có:
\[\eqalign{ & \left. \matrix{ BC \bot SB \hfill \cr BC \bot AB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot [SAB];AB' \subset [SAB][2] \cr & \Rightarrow AB' \bot BC \cr & \left. \matrix{ AB' \subset [\alpha ] \hfill \cr
SC \bot [\alpha ] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB' \bot SC[3] \cr} \]
Chứng minh tương tự ta có: \[AD’⊥SC\]
Hai tam giác vuông \[SAB\] và \[SAD\] bằng nhau mà \[AB’\] và \[AD’\] là các đường cao tương ứng nên \[AD’= AB’\] [4]
Ta cũng có: \[SB’=SD’\];
\[ΔBSC = Δ DSC\] \[⇒ \widehat{ BSC} = \widehat{ CSD}\]
Do đó \[ΔB'SC' = Δ D'SC'\]
Từ đây suy ra: \[C’D’ = C’B’\] [5]
Từ [4] và [5] suy ra \[A\] và \[C’\] nằm trên đường trung trực của \[D’B’\] do đó \[D’B’⊥ AC’\] [6]
Mặt khác: \[SC⊥[α]\]; \[D’B’⊂ [α]\] \[ ⇒ SC⊥D’B’\] [7]
Từ [6] và [7] suy ra: \[D’B’⊥[SAC]\] [8]
Từ [1] và [8] ta thấy rằng \[DB\] và \[D’B’\] cùng vuông góc với mặt phẳng \[[SAC]\] nên \[D’B’//DB\]
Ta có:
\[\left. \matrix{ AB' \bot BC \hfill \cr
AB' \bot SC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB' \bot [SBC] \Rightarrow AB' \bot SB\]
Câu 4 trang 121 SGK Hình học 11
Hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh \[a\] và có góc \[\widehat{ BAD} = 60^0\]. Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và \[SO = {{3a} \over 4}\] . Gọi \[E\] là trung điểm của đoạn \[BC\] và \[F\] là trung điểm của đoạn \[BE\].
a] Chứng minh mặt phẳng \[ [SOF]\] vuông góc với mặt phẳng \[[SBC]\]
b] Tính các khoảng cách từ \[O\] và \[A\] đến mặt phẳng \[[SBC]\]
Trả lời:
a] Theo giả thiết \[\widehat{ BAD} = 60^0\] nên theo tính chất của hình thoi \[\widehat{ BCD} = 60^0\] hay tam giác \[BDC\] đều.
Xét tam giác \[BOE\] có \[BO=BE={a\over 2}\] và \[\widehat{ OBE} = 60^0\] nên tam giác \[BOE\] đều
Do đó \[OF\] là đường cao và ta được \[OF ⊥BC\].
\[\left. \matrix{ SO \bot [ABCD] \hfill \cr
{\rm{OF}} \bot {\rm{BC}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SF \bot BC\]
[Định lí 3 đường vuông góc]
\[\left. \matrix{ SF \bot BC \hfill \cr
{\rm{OF}} \bot {\rm{BC}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot [SOF]\]
Mà \[BC ⊂ [SBC]\]
Suy ra \[[SOF] ⊥ [SBC]\]
b] Vì \[[SOF] ⊥ [SBC]\] và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \[SF\] nên nếu từ điểm \[O\] ta kẻ \[OH⊥SF\] thì \[OH⊥[SBC]\] và \[OH\] chính là khoảng cách từ \[O\] đến \[[SBC]\]
Ta có:
\[\eqalign{ & SO = {{3a} \over 4}{\rm{;OF = }}{{a\sqrt 3 } \over 4} \Rightarrow SF = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& OH.SF = SO.{\rm{OF}} \Rightarrow {\rm{OH = }}{{3a} \over 8} \cr} \]
Gọi \[K\] là hình chiếu của \[A\] trên \[[SBC]\], ta có \[AK//OH\]
Trong \[ΔAKC\] thì \[OH\] là đường trung bình, do đó:
\[AK = 2OH \Rightarrow AK = {{3a} \over 4}\]
Giaibaitap.me
Page 2
Câu 5 trang 121 SGK Hình học 11
Tứ diện \[ABCD\] có hai mặt \[ABC\] và \[ADC\] nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = a, AC = b\]. Tam giác \[ADC\] vuông tại \[D\] có \[CD = a\].
a] Chứng minh các tam giác \[BAD\] và \[BDC\] đều là tam giác vuông
b] Gọi \[I\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\]. Chứng minh \[IK\] là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \[AD\] và \[BC\].
Trả lời:
a] \[[ABC] ⊥ [ADC]\] mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \[AC\].
Ta lại có \[BA ⊂ [ABC]\] và \[BA⊥ AC\] nên \[BA⊥[ADC]\]
\[BA⊥[ADC] ⇒ BA⊥AD ⇒ ΔBAD\] vuông tại \[A\]
\[\left. \matrix{BA \bot [ADC] \hfill \cr
AD \bot DC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BD \bot DC\]
[Định lí 3 đường vuông góc]
\[⇒ ΔBDC\] vuông tại \[D\]
b] Gọi \[J\] là trung điểm của \[AC\]
Ta có \[KJ//BA\]
Mà \[BA⊥[ADC] ⇒ KJ ⊥[ADC]\]
\[ ⇒ KJ ⊥ AD\] [1]
Ta cũng có \[IJ//DC ⇒ IJ ⊥ AD\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[AD⊥[KIJ]\]
\[⇒ AD ⊥ IK\]
Ta lại có: \[ΔBAI = ΔCDI ⇒ IB = IC\]
\[⇒ ΔBIC\] cân đỉnh \[I ⇒ IK ⊥ BC\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[IK\] là đoạn vuông góc chung của \[AD\] và \[BC\].
Câu 6 trang 122 SGK Hình học 11
Cho hình lập phương \[ABCD.A’B’C’D’\] cạnh \[a\].
a] Chứng minh \[BC’\] vuông góc với mặt phẳng \[[A’B’C’D]\]
b] Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của \[AB’\] và \[BC’\]
Trả lời:
a] Ta có tứ giác \[BCC'B’\] là hình vuông nên
\[BC’ ⊥ B’C\] [1]
Mặt khác \[A’B’ ⊥ [BCC’B’]\]
\[⇒ A’B’ ⊥ BC’\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[BC’⊥ [A’B’C’D']\]
b] Do \[AD’//BC’\] nên mặt phẳng \[[AB’D’]\] là mặt phẳng chứa \[AB’\] và song song với \[BC’\].
Ta tìm hình chiếu của \[BC’\] trên \[mp [AB’D’]\]
Gọi \[E, F\] là tâm của các mặt bên \[ADD'A’\] và \[BCC'B’\]
Từ \[F\] kẻ \[FI ⊥ B’E\]. Ta có \[BC’ //AD'\] mà \[BC’ ⊥ [A’B’CD]\]
\[⇒ AD’ ⊥ [A’B’CD]\] và \[IF ⊂[A’B’CD]\]
\[AD’ ⊥ IF\] [3]
\[EB’⊥IF\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra : \[IF ⊥ [AB’D’]\]
Vậy \[I\] là hình chiếu của \[F\] trên \[mp [AB’D’]\]. Qua \[I\] ta dựng đường thẳng song song với \[BC’\] thì đường thẳng này chính là hình chiếu của \[BC’\] trên mp \[[AB’D’]\]
Đường thẳng qua \[I\] song song với \[BC’\] cắt \[AB’\] tại \[K\]. Qua \[K\] kẻ đường thẳng song song với \[IF\], đường này cắt \[BC’\] tại \[H\]. \[KH\] chính là đường vuông góc chung của \[AB’\] và \[BC’\]. Thật vậy:
\[{\rm{IF}} \bot [AB'D']\]
\[\Rightarrow IF ⊥ AB'\] và \[KH // IF\] suy ra \[KH ⊥ AB'\]
\[\left. \matrix{BC' \bot [A'B'CD] \hfill \cr {\rm{IF}} \subset {\rm{[A'B'CD]}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{{\rm{IF}} \bot {\rm{BC'}} \hfill \cr
{\rm{KH//IF}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow KH \bot BC'\]
Tam giác \[EFB’\] vuông góc tại \[F\], \[FI\] là đường cao thuộc cạnh huyền nên
\[{1 \over {I{F^2}}} = {1 \over {FB{'^2}}} + {1 \over {F{E^2}}}\] với
\[\left\{ \matrix{FB' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr
{\rm{EF = a}} \hfill \cr} \right.\]
Ta tính ra: \[{\rm{IF}} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow KH = {\rm{IF = }}{{a\sqrt 3 } \over 3}\]
Câu 7 trang 122 SGK Hình học 11
Bài 7. Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thoi \[ABCD\] cạnh \[a\], góc \[\widehat {BAD} = 60^0\] và \[SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
a] Tính khoảng cách từ \[S\] đến mặt phẳng \[[ABCD]\] và độ dài cạnh \[SC\]
b] Chứng minh mặt phẳng \[[SAC]\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\]
c] Chứng minh \[SB\] vuông góc với \[BC\]
d] Gọi \[\varphi\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[SBD]\] và \[[ABCD]\]. Tính \[\tan\varphi\]
Trả lời:
a] Kẻ \[SH⊥[ABCD]\]
Do \[SA = SB = SD\] suy ra \[HA = HB = HC\]
\[⇒ H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ ABD\].
Do \[AB = AD = a\] và \[\widehat{ BAD} = 60^0\] nên tam giác \[ABD\] là tam giác đều cạnh \[a\],
Ta có:
\[\eqalign{& AO = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& AH = {2 \over 3}AO \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \]
Trong tam giác vuông \[SAH\], ta có: \[SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\]
Tính ra: \[SH = {{a\sqrt {15} } \over 6}\]
Ta cũng có: \[HC = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\]
Trong tam giác vuông \[SHC\]:
\[S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\]
Do đó ta tính được:
\[SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\]
b]
\[\left. \matrix{SH \bot [ABCD] \hfill \cr
SH \subset [SAC] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow [SAC] \bot [ABCD]\]
c] Ta có:
\[\eqalign{& S{C^2} = {{7{a^2}} \over 4}[1] \cr & B{C^2} = {a^2}[2] \cr
& S{B^2} = {{3{a^2}} \over 4}[3] \cr} \]
Từ [1], [2] và [3] ta có: \[S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\]
Theo định lí Pytago đảo, tam giác \[SBC\] vuông tại \[B\].
d] Ta có:
\[\eqalign{& \left. \matrix{DB \bot AC \hfill \cr SH \bot [ABCD] \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot [SAC] \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \]
Suy ra: \[\widehat{ SOH}\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[SBD]\] và \[[ABCD]\]
Ta có:
\[\eqalign{& \widehat{ SOH} = \varphi \cr
& \tan \varphi = {{SH} \over {OH}} \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt 5 \cr} \]
Giaibaitap.me
Page 3
Câu 1 trang 122 SGK Hình học 11
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
[A] Từ \[\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \] ta suy ra \[\overrightarrow {BA} = - 3\overrightarrow {CA} \]
[B] Từ \[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \] ta suy ra \[\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {AC} \]
[C] Vì \[\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \] nên bốn điểm \[A, B, C\] và \[D\] cùng thuộc một mặt phẳng
[D] Nếu \[\overrightarrow {AB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \] thì \[B\] là trung điểm của đoạn \[AC\]
Trả lời:
a] Vì
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} \hfill \cr
\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {CA} \hfill \cr} \right.\]
nên từ:
\[\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \] ta suy ra \[\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {CA} \]
Vậy a] là sai
b] Ta có:
\[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = - 4\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {CB} = - 4\overrightarrow {AC} \]
Vậy b] sai
c] \[\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \]: Đẳng thức nàu chứng tỏ ba vecto \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \] đồng phẳng, tức là 4 điểm \[A, B, C, D\] cùng nằm trong một mặt phẳng.
Vậy c] đúng
d] \[\overrightarrow {AB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BA} = {1 \over 2}BC\]
Điều này chứng tỏ hai vecto \[\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} \] cùng phương, do đó điểm B nằm ngoài đoạn thẳng \[AC\], \[B\] không là trung điểm của \[AC\]
Vậy d] sai
Kết quả: trong bốn mệnh đề trên, chỉ có c] đúng.
Câu 2 trang 122 SGK Hình học 11
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Vì \[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow 0 \] nên \[N\] là trung điểm của đoạn \[MP\]
B. Vì \[I\] là trung điểm của đoạn \[AB\] nên từ một điểm \[O\] bất kì ta có: \[\overrightarrow {OI} = {1 \over 2}[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {ON} ]\]
C. Từ hệ thức \[\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} - 8\overrightarrow {AD} \] ta suy ra ba vecto \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \] đồng phẳng
D. Vì \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = 0\] nên bốn điểm \[A, B, C, D\] cùng thuộc một mặt phẳng.
Trả lời:
[A] Mệnh đề A đúng vì \[N\] là trung điểm của đoạn \[MP\] là:
\[\overrightarrow {NM} = - \overrightarrow {NP} \Rightarrow \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = 0\]
[B] Mệnh đề B đúng
\[\eqalign{ & \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AI} \cr
& \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BI} \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + [\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} ] \cr} \]
\[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] thì:
\[\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \]
[C] Mệnh đề C đúng [xem định lí 1 – bài 1- chương 3]
[D] Mệnh đề D là sai
Vậy chọn D
Câu 3 trang 123 SGK Hình học 11
Trong các mệnh đề sau, kết quả nào đúng?
Cho hình lập phương \[ABCD.EFGH\] có cạnh bằng \[a\] và \[O\] là trung điểm của \[AG\], ta có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} \] bằng :
A. \[a^2\] B. \[ a^2\sqrt 2\]
C. \[a^2\sqrt3\] D. \[{{{a^2}\sqrt 2 } \over 2}\]
Trả lời:
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {EF} .\overrightarrow {EG} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {EG} |.cos{45^0} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = a.a\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = {a^2} \cr} \]
Vậy A đúng.
Giaibaitap.me