Bài tập biến ngẫu nhiên nhiều chiều có lời giải năm 2024
|
Bài 5: Cho vectơ ngẫu nhiên $(X, Y)$ có hàm mật độ xác suất $$f(x, y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{6\pi} & \mbox{ nếu $\displaystyle\frac{x^2}{9}+\displaystyle\frac{y^2}{4}\leq 1$},\\ 0 & \mbox{ nếu $\displaystyle\frac{x^2}{9}+\displaystyle\frac{y^2}{4}> 1$}.\\ \end{cases}$$ Tìm các hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên $X$ và $Y.$ Bài 4: Thống kê số khách trên một ô tô buýt tại một tuyến giao thông , người ta thu được kết quả sau: Giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe là 400 ngàn đồng không phụ thuộc vào số khách đi trên xe thì để công ty xe buýt có thể thu được lãi bình quân mỗi chuyến xe 100 ngàn đồng thì phải quy định giá vé cho mỗi hành khách là bao nhiêu? Bài 5: Thống kê về mức độ hỏng và và chi phí sửa chữa của 2 loại động cơ A và B có cùng chức năng như sau:
Bài 6: Xác suất để một người ra đường không gặp kẹt xe trong một ngày làm việc là 0,7. Giả sử một năm người đó đi làm 200 ngày. Tính xác suất để trong một năm người đó:
Bài 7: Tỉ lệ phế phẩm do một dây chuyền sản xuất là 10%. Các sản phẩm sản xuất ra được đóng ngẫu nhiên thành từng kiện hàng, mỗi kiện có 20 sản phẩm. Khách hàng sẽ nhận kiện hàng nếu kiểm tra ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ kiện hàng thì cả 3 đều tốt.
Bài 8: Biết trọng lượng sản phẩm được đóng gói tự động trên một dây chuyền là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với phương sai là 0,0016 gram 2 . Người ta quy định sản phẩm sẽ đạt tiêu chuẩn đóng gói nếu trọng lượng của nó sai lệch so với trọng lượng trung bình không quá ε = 0,05 gram.
Bài 9: Biết chiều dài của một chi tiết do một máy sản xuất là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 9 cm. Được biết có 15,87 % chi tiết do máy đó sản xuất có độ dài dưới 66 cm.
Bài 10: Ở một vùng trồng cam, người ta thấy cứ trong 600 cây thì có 15 cây cho ít hơn 20 quả và 30 cây cho ít hơn 25 quả. Biết rằng số quả cam trên một cây cam tuân theo phân bố chuẩn.
Bài 11: Giả sử thời gian hàng ngày đi từ nhà đến trường của một sinh viên là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 40 phút. Biết rằng có 10% số ngày sinh viên đó đến trường trên 50 phút. Hỏi nếu giờ học bắt đầu lúc 7g00’ và sinh viên đó xuất phát từ nhà lúc 6g15’ thì xác suất sinh viên đó đến trường trễ là bao nhiêu ? Bài 12: Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi với xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0,2. Giả sử mỗi năm người đó đi bán hàng trong 300 ngày.
Bài 13: Một công ty chuyên bán hàng qua mạng đã đưa ra thống kê như sau: Chỉ có 2% lượt khách hàng vào trang web giới thiệu sản phẩm của công ty là đăng ký mua ngay sản phẩm; 4% lượt khách hàng có phản hồi để được tư vấn trực tiếp về sản phẩm, và trong số này thì có 20% đăng ký mua sản phẩm ngay sau đó.
Bài 14: Tung 1 đồng xu 1000 lần. Tìm xác suất để độ lệch giữa tần số xuất hiện mặt sấp và xác suất xuất hiện của mặt sấp bé hơn 0,1. Ở các bài trước, ta đã xét các biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của chúng được biểu diễn bằng 1 số. Đó là các biến ngẫu nhiên một chiều. Ngoài các biến ngẫu nhiên một chiều, trong thực tế, ta còn gặp các biến số mà các giá trị có thể có của chúng được xác định bằng hai, ba, …, n số. Những biến số này được gọi một cách tương ứng là các biến ngẫu nhiên hai chiều, ba chiều, …, n chiều. 1. Khái niệm: Ta sẽ ký hiệu biến ngẫu nhiên hai chiều là , trong đó, X và Y được gọi là các thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều, mà thực chất mỗi thành phần lại là một biến ngẫu nhiên một chiều. Như vậy, biến ngẫu nhiên hai chiều thực chất là hệ hai biến ngẫu nhiên X và Y được xét một cách đồng thời. Tương tự như vậy, biến ngẫu nhiên n chiều có thể được xem như hệ của n biến ngẫu nhiên một chiều. Ví dụ: Một máy sản xuất một loại sản phẩm . Nếu kích thước của sản phẩm đó được đo bằng chiều dài X và chiều rộng Y thì ta có biến ngẫu nhiên hai chiều. Còn nếu tính thêm cả chiều cao Z thì ta có biến ngẫu nhiên ba chiều. Trong thực tế, người ta cũng phân biệt các biến ngẫu nhiên nhiều chiều thành hai loại: rời rạc và liên tục. Các biến ngẫu nhiên nhiều chiều gọi là rời rạc nếu các thành phần của nó là rời rạc, và gọi là liên tục nếu các thành phần của nó là liên tục (có biến nào mà một nửa là rời rạc và một nửa là liên tục không?). Đối với các biến ngẫu nhiên hai chiều, người ta cũng dùng bảng phân phối xác suất, hàm phân bố xác suất và hàm mật độ xác suất để mô tả quy luật phân phối xác suất của chúng. 2. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều: Bảng phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc liệt kê các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng. Nó có dạng sau đây: (X,Y) x1 x2 … xi … xn y1 P(x1,y1) P(x2,y1) … P(xi,y1) … P(xn,y1) y2 P(x1,y2) P(x2,y2) … P(xi,y2) … P(xn,y2) … … … … … … … ỵj P(x1,yj) P(x2,yj) … P(xi,yj) … P(xn,yj) … … … … … … … ym P(x1,ym) P(x2,ym) … P(xi,ym) … P(xn,ym) Trong đó: là các giá trị có thể có của thành phần X, là các giá trị có thể có của thành phần Y, là xác suất đồng thời để biến ngẫu nhiên hai chiều nhận giá trị . Ta chú ý rằng: để tạo nên một quy luật phân phối xác suất, thì các xác suất đồng thời phải thỏa mãn điều kiện: với Biết bảng phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều bao giờ cũng có thể tìm được bảng phân phối xác suất biên của mỗi thành phần. Bảng phân phối xác suất biên của thành phần X có dạng: X x1 x2 … xi … xn P P(x1) P(x2) … P(xi) … P(xn) Trong đó: (với ) được gọi là xác suất biên của thành phần X. Rõ ràng là: . Bảng phân phối xác suất biên của thành phần Y có dạng: Y y1 y2 … yj … ym P P(y1) P(y2) … P(yj) … P(ym) Trong đó: (với ) được gọi là xác suất biên của thành phần Y. Rõ ràng là: . 3. Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều: Xét biến ngẫu nhiên hai chiều có thể là rời rạc hoặc liên tục. Giả sử x và y là một cặp số thực bất kỳ. Xét biến cố , là biến cố để X nhận giá trị nhỏ hơn x và Y nhận giá trị nhỏ hơn y. Hiển nhiên là khi x và y thay đổi thì xác suất của biến cố trên cũng thay đổi, tức là nó là một hàm số của x và y. Hàm phân bố xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều , ký hiệu là là xác suất để thành phần X nhận giá trị nhỏ hơn x và thành phần Y nhận giá trị nhỏ hơn y với x và y là các số thực tùy ý: Các tính chất của hàm phân bố xác suất đồng thời: Tính chất 1. Giá trị của hàm phân bố xác suất đồng thời luôn nằm trong đoạn . Tính chất 2. Hàm phân bố xác suất đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số: nếu nếu Tính chất 3. Ta có biểu thức giới hạn sau: Tính chất 4. Khi hàm phân bố xác suất đồng thời của hệ hai biến ngẫu nhiên trở thành hàm phân bố xác suất biên của riêng thành phần X: Và khi hàm phân bố xác suất đồng thời của hệ hai biến ngẫu nhiên trở thành hàm phân bố xác suất biên của riêng thành phần Y: Từ các tính chất trên ta có thể suy ra một vài công thức sau: – Xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một dải bằng: và trong dải bằng: – Xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong hình chữ nhật bằng: 4. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều: Đối với biến ngẫu nhiên liên tục , ngoài hàm phân bố xác suất ra còn có thể dùng hàm mật độ xác suất để biểu diễn quy luật phân phối xác suất của nó. Ta sẽ giả thiết rằng với biến ngẫu nhiên liên tục $latex \displaystyle (X,Y), hàm phân bố xác suất luôn liên tục và có đạo hàm riêng hỗn hợp bậc 2 ở mọi đường cong (có thể trừ một số đường cong nhất định). Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục , ký hiệu là , là đạo hàm riêng hỗn hợp bậc hai của hàm phân bố xác suất đồng thời: Về mặt hình học, hàm có thể xem như một mặt, được gọi là mặt phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục có các tính chất sau đây: Tính chất 1. Hàm mật độ xác suất đồng thời luôn không âm: . Tính chất này được suy ra trực tiếp từ chỗ nó là đạo hàm của hàm không giảm theo các thành phần của nó. Tính chất 2. Xác suất để biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục nhận giá trị trong một miền D được xác định bằng công thức: Tính chất 3. Hàm phân bố xác suất đồng thời được xác định thông qua hàm mật độ xác suất đồng thời bằng biểu thức sau: Tính chất này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của hàm mật độ xác suất đồng thời. Tính chất 4. Tích phân suy rộng hai lớp của hàm mật độ xác suất đồng thời bằng 1: Tích phân suy rộng từ đến cho thấy các miền lấy tích phân là toàn bộ mặt phẳng . Mà biến cố để biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên toàn mặt phẳng là biến cố chắc chắn, nên xác suất của nó bằng 1. Khi đã biết hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ hai biến ngẫu nhiên, bao giờ ta cũng có thể xác định được hàm mật độ xác suất biên của từng thành phần của nó. Thực vậy, gọi hàm mật độ xác suất biên của thành phần là , thì theo định nghĩa hàm mật độ xác suất ta có: Như vậy: Tương tự ta có hàm mật độ xác suất biên của thành phần là: Như vậy, hàm mật độ xác suất biên của một thành phần nào đó bằng tích phân suy rộng của hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ, trong đó biến lấy tích phân là thành phần còn lại của hệ. 5. Quy luật phân phối xác suất có điều kiện của các thành phần của hệ hai biến ngẫu nhiên: Ở các phần trên, ta đã thấy quá trình phân tích hệ hai biến ngẫu nhiên thành các thành phần của nó luôn luôn có thể thực hiện được, tức là biết quy luật phân phối xác suất đồng thời của hệ hai biến ngẫu nhiên, ta luôn tìm được quy luật phân phối xác suất biên của từng thành phần của nó. Vấn đề tổng hợp hai biến ngẫu nhiên một chiều thành hệ hai biến ngẫu nhiên được tiến hành phức tạp hơn. Để làm điều đó, ta sử dụng khái niệm phân phối xác suất có điều kiện. Bảng phân phối xác suất Xét biến ngẫu nhiên rời rạc trong đó các giá trị có thể có của thành phần là , còn các giá trị có thể có của thành phần \displaystyle Y$ là . Gọi () là xác suất có điều kiện để thành phần \displaystyle X$ nhận giá trị bằng với điều kiện thành phần \displaystyle Y$ nhận giá trị bằng . Bảng phân phối xác suất có điều kiện của thành phần với điều kiện có dạng: X/yj x1 x2 … xi … xn P P(x1/yj) P(x2/yj) … P(xi/yj) … P(xn/yj) Trong đó, các xác suất có điều kiện được tính bằng công thức: () Các xác suất có điều kiện cũng thỏa mãn các yêu cầu của một phân phối xác suất, đó là: () Tương tự, bảng phân phối xác suất có điều kiện của thành phần với điều kiện có dạng: Y/xi y1 y2 … yj … ym P P(y1/xi) P(y2/xi) … P(yj/xi) … P(ym/xi) Trong đó: () Và: () Hàm mật độ xác suất Giả sử là biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục. Hàm mật độ xác suất có điều kiện của thành phần với , ký hiệu , là biểu thức: Tương tự, hàm mật độ xác suất có điều kiện của thành phần với , ký hiệu , là biểu thức: Ta chú ý rằng: cũng như mọi hàm mật độ xác suất khác, các hàm mật độ xác suất có điều kiện cũng phải thỏa mãn các điều kiện: Trên cơ sở các phân phối xác suất có điều kiện, ta có các công thức tổng hợp hệ hai biến ngẫu nhiên theo phân phối xác suất của các thành phần như sau: – Nếu là biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc thì: () – Nếu là biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục thì: Như vậy, phân phối xác suất của hệ hai biến ngẫu nhiên bằng tích giữa phân phối xác suất biên của một thành phần với phân phối xác suất có điều kiện của thành phần còn lại. Nếu hai thành phần và độc lập với nhau thì phân phối xác suất có điều kiện cũng bằng phân phối xác suất không điều kiện, lúc đó ta có: nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu là biến ngẫu nhiên liên tục. Chú ý rằng hai hệ thức trên là điều kiện cần và đủ để và độc lập. 6. Các tham số đặc trưng của hệ hai biến ngẫu nhiên: Đối với hệ hai biến ngẫu nhiên, các tham số đặc trưng cơ bản của nó trước hết là các kỳ vọng toán và phương sai của các thành phần. Kỳ vọng toán – Biến ngẫu nhiên rời rạc: – Biến ngẫu nhiên liên tục: Phương sai – Biến ngẫu nhiên rời rạc: – Biến ngẫu nhiên liên tục: Ngoài các tham số trên, người ta còn thường xác định các tham số quan trọng khác là hiệp phương sai và hệ số tương quan. Hiệp phương sai Hiệp phương sai, ký hiệu , của các biến ngẫu nhiên X và Y là kỳ vọng toán của tích các sai lệch của các biến ngẫu nhiên đó với các kỳ vọng toán của chúng: – Biến ngẫu nhiên rời rạc: – Biến ngẫu nhiên liên tục: Từ định nghĩa trên, ta thấy hiệp phương sai có đơn vị đo lường bằng tích đơn vị đo lường của các biến ngẫu nhiên X và Y. Do đó, hiệp phương sai sẽ có các giá trị khác nhau tùy thuộc vào đơn vị đo lường của các biến đó. Để khắc phục hạn chế này, người ta đưa ra một tham số khác là hệ số tương quan. Hệ số tương quan Hệ số tương quan, ký hiệu , là tỷ số giữa hiệp phương sai và tích các độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên đó: Hệ số tương quan không có đơn vị đo và có các tính chất cơ bản sau đây: (1) (2) (3) Nếu thì X và Y là đồng biến, còn thì X và Y là nghịch biến. (4) Nếu X và Y độc lập thì . Điều ngược lại chưa chắc đã đúng. (5) Nếu thì X và Y phụ thuộc hàm số với nhau. Hiệp phương sai và hệ số tương quan được dùng để đặc trưng cho mức độ chặt chẽ của mối liên hệ phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên X và Y. Trong thực tế, trường hợp được quan tâm hơn cả là sự phụ thuộc tương quan. Hai biến ngẫu nhiên gọi là tương quan với nhau nếu hiệp phương sai (hoặc hệ số tương quan) khác không và hai biến nói trên gọi là không tương quan nếu hiệp phương sai (hoặc hệ số tương quan) bằng không. Ta chú ý rằng, nếu hai biến ngẫu nhiên tương quan với nhau thì cũng phụ thuộc nhau, song điều ngược lại chưa chắc đã đúng, tức là nếu các biến ngẫu nhiên phụ thuộc thì chúng có thể tương quan cũng có thể không tương quan với nhau (?). Với khái niệm hiệp phương sai, ta có thể xét thêm tính chất của phương sai tổng hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc thì phương sai của tổng hoặc hiệu các biến ngẫu nhiên đó được xác định bằng biểu thức sau: Trong trường hợp tổ hợp tuyến tính của các biến đó, ta có công thức: Nếu X và Y là hai biến độc lập thì phương sai của tích được xác định bằng biểu thức: 7. Kỳ vọng toán có điều kiện – Hàm hồi quy: Giá trị của hệ số tương quan chỉ cho ta biết mức độ chặt chẽ của sự phụ thuộc tương quan tuyến tính giữa X và Y. Để biểu diễn sự phụ thuộc tương quan này người ta sử dụng các hàm hồi quy. Trước hết, ta xét khái niệm kỳ vọng toán có điều kiện. Kỳ vọng toán có điều kiện của biến ngẫu nhiên rời rạc Y với (x là một giá trị xác định của X) là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của Y với các xác suất có điều kiện tương ứng: Đối với các biến ngẫu nhiên liên tục, kỳ vọng toán có điều kiện được xác định bằng công thức: Trong đó, là hàm mật độ xác suất có điều kiện của Y với . Tương tự, ta có định nghĩa kỳ vọng toán có điều kiện của X khi đối với biến ngẫu nhiên rời rạc là: Và đối với biến ngẫu nhiên liên tục: Hàm hồi quy của Y đối với X là kỳ vọng toán có điều kiện của Y đối với X: Các hàm hồi quy cho biết giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên này phụ thuộc vào biến kia như thế nào. 8. Phân phối chuẩn hai chiều: Đối với biến ngẫu nhiên hai chiều thì trường hợp phổ biến trong thực tế là phân phối theo quy luật chuẩn. Biến ngẫu nhiên gọi là phân phối theo quy luật chuẩn hai chiều nếu hàm mật độ xác suất đồng thời của nó có dạng: Ta thấy rằng: Quy luật chuẩn hai chiều có 5 tham số đặc trưng là . Có thể chứng minh được rằng và tương ứng là các độ lệch chuẩn, là hệ số tương quan giữa X và Y. Đặc điểm của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn hai chiều là: nếu các thành phần của nó không tương quan thì chúng cũng độc lập với nhau. Thật vậy, giả sử X và Y không tương quan với nhau, hay , và biểu thức của hàm mật độ xác suất có dạng: Như vậy, nếu các thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều phân phối chuẩn mà không tương quan với nhau thì hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ hai biến ngẫu nhiên ấy bằng tích các hàm mật độ xác suất biên, từ đó suy ra tính độc lập của các thành phần đó. Điều ngược lại cũng đúng như vậy. Như vậy, trong quy luật chuẩn hai chiều, khái niệm độc lập và không tương quan là tương đương nhau. 9. Quy luật phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên: Trong thực tế người ta thường gặp trường hợp một biến ngẫu nhiên là hàm số của một hoặc nhiều biến ngẫu nhiên khác. Lúc đó, khi biết quy luật phân phối xác suất của các đối số, ta có thể tìm được quy luật phân phối xác suất của hàm số tương ứng. 9.1. Quy luật phân phối xác suất của hàm một biến ngẫu nhiên: Nếu mỗi giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X tương ứng với một giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên Y thì Y được gọi là hàm của biến ngẫu nhiên X: . Giả sử biến ngẫu nhiên là rời rạc thì ứng với các giá trị khác nhau của X ta có các giá trị khác nhau của Y (các giá trị Y sẽ khác nhau?) và xác suất tương ứng với các giá trị đó bằng nhau. VD: Biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau: Tìm quy luật phân phối xác suất của . Giải: Ta tìm các giá trị có thể có của Y: Vậy bảng phân phối xác suất của Y có dạng: Nếu trong số các giá trị có thể có của Y có các giá trị giống nhau thì phải cộng các xác suất tương ứng lại. VD: Biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau: Tìm quy luật phân phối xác suất của . Giải: Xác suất tương ứng với giá trị bằng tổng xác suất của các biến cố xung khắc và tức là bằng . Xác suất để bằng 0.1. Do đó Y có bảng phân phối xác suất như sau: Giả sử biến ngẫu nhiên X là liên tục với hàm mật độ xác suất đã biết và giả sử . Có thể chứng minh được rằng nếu là khả vi, đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm, có hàm ngược là thì hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y được xác định bằng biểu thức: Lưu ý: Nếu biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn, thì một hàm tuyến tính bất kỳ của nó cũng phân phối theo quy luật chuẩn. 9.2. Quy luật phân phối xác suất của hàm hai biến ngẫu nhiên Nếu ứng với mỗi cặp giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X và Y có một giá trị có thể có của Z thì Z được gọi là hàm của hai biến ngẫu nhiên X và Y: . Để tìm quy luật phân phối xác suất của X ta xét một trường hợp cụ thể là khi đã biết các quy luật phân phối xác suất của X và Y. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc và độc lập với nhau. Để xây dựng quy luật phân phối xác suất của Z, ta phải tìm tất cả các giá trị có thể có của Z và các xác suất tương ứng. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục. Có thể chứng minh được rằng khi X và Y độc lập thì hàm mật độ xác suất của tổng (với điều kiện là khi mật độ xác suất của ít nhất một trong hai đối số là xác định trong khoảng bằng một biểu thức) có thể tìm được theo công thức: Trong đó: và tương ứng là các hàm mật độ xác suất biên của X và Y. 9.3. Các tham số đặc trưng của hàm các biến ngẫu nhiên Ở trên ta đã xét các phương pháp để tìm quy luật phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên. Khi ta đã biết được quy luật phân phối xác suất dưới dạng bảng phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất thì việc tìm các tham số đặc trưng không còn trở ngại gì. Song như đã thấy, việc tìm quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên nhiều khi khá phức tạp. Mặt khác, trong thực tế, có nhiều trường hợp ta chỉ quan tâm đến các tham số đặc trưng của hàm các biến ngẫu nhiên chứ không quan tâm đến bản thân quy luật phân phối xác suất của nó. Trong mục này, ta xét cách xác định các tham số đặc trưng của hàm các biến ngẫu nhiên mà không cần xác định trước quy luật phân phối xác suất của nó. |
