Bài 9 tráng 138 sách bài tập toán 7 năm 2024

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\; (H ∈ BC)\). Tìm góc bằng góc \(B.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

Lời giải chi tiết

Có thể tìm góc bằng góc \(B\) bằng hai cách:

*Cách 1

Ta có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) (1)

Xét \(∆AHB\) vuông tại \(H\) nên ta có:

\(\widehat B + \widehat {A_1} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{A_2}}\)

*Cách 2

Xét \(∆ABC\) vuông tại \(A\) nên ta có:

\(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (3)

Xét \(∆AHC\) vuông tại \(H\) nên ta có:

\(\widehat {{A_2}} + \widehat C = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{A_2}}\).

12

1. ∠B = 80o, ∠C = 40o

Ta có:

∠(B1) = (1/2)∠(ABC) = (1/2).80o = 40o (vì BD là tia phân giác ∠(ABC))

∠(C1) = (1/2)∠(ACB) = (1/2).40o = 20o (vì CE là tia phân giác ∠(ACB))

Trong ΔIBC, ta có: ∠(BIC) + ∠(B1) + ∠(C1) = 180o(tổng 3 góc trong tam giác)

Vậy: ∠(BIC) = 180o - (∠(B1) + ∠(C1)) = 180o - (40o + 20o) = 120o

2. Ta có:

+ Trong ΔBIC có ∠BIC = 180o - (∠B1 + ∠C1) (1)

+ BI, CI là phân giác của ∠ABC và ∠BCA nên:

∠B1 = 1/2. ∠BAC; ∠C1 = 1/2. ∠ACB

⇒ ∠B1 + ∠C1 = 1/2. (∠BAC + ∠BCA) (2)

+ Trong ΔABC có: ∠BAC + ∠BCA = 180 - ∠A (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠BIC = 180o - 1/2.(180 - ∠A) = 90o + 1/2.∠A

∠A = 80o ⇒ ∠BIC = 90 + 1/2.80o = 130o.

∠A = mo ⇒ ∠BIC = 90o + 1/2.mo.

13

Kéo dài AC cắt By tại D

Vì By // Ax suy ra ∠(D1) = ∠A (hai góc so le trong)

Mà ∠A = 50o(gt) nên ∠∠(D1) = 50o

TrongΔBCD ta có ∠(ACB) là góc ngoài tại đỉnh C

⇒∠(ACB) = ∠B + ∠(D1) (tính chất góc ngoài của tam giác)

⇒∠(ACB) = 40o + 50o = 90o

14

Ta có: ∠(A1 ) +∠(A2 ) =180o(hai goác kề bù)

∠(B1 ) +∠(B2 ) =180o(hai goác kề bù)

∠(C1 ) +∠(C2 )=180o(hai goác kề bù)

Suy ra: ∠(A1 ) +∠(A2 ) +∠(B1) +∠(B2 ) +∠(C1 ) +∠(C2 ) =180.3=540o

⇒∠(A2 ) + ∠( B2 ) +∠(C2 ) =540o-(∠(A1 ) +∠(B1 ) +∠(C1 ) ) (1)

Trong ΔABC, ta có:

∠(A1 ) +∠(B1 ) +∠(C1 ) =180o (tổng ba góc trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(A2 ) +∠(B2 ) +∠(C2 ) =540o-180o=360o

15

Trong ∆ABE ta có ∠E1 là góc ngoài tại đỉnh E

Suy ra: ∠E1 >∠A1 (tính chất góc ngoài tam giác)(1)

Trong ∆AEC ta có ∠E2 là góc ngoài tại đỉnh E

Suy ra: ∠E2 > ∠A2 (tính chất góc ngoài tam giác)(2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có:

∠E2 +∠E2 >∠A2 +∠A1

Hay (BEC) > (BAC) =90o

Vậy (BEC) là góc tù.

Ta có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) (1)

Vì ∆AHB vuông tại H nên:

\(\widehat B + \widehat A = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{A_2}}\)

*Cách 2

Vì ∆ABC vuông tại A nên:

\(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (1)

Vì ∆AHC vuông tại H nên

\(\widehat {{A_2}} + \widehat C = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{A_2}}\).

Câu 10 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho hình dưới:

1. Có bao nhiêu tam giác vuông trong hình?

2. Tính số đo các góc nhọn ở các đỉnh C, D, E.

Giải

1. Có năm tam giác vuông trong hình:

∆ABC vuông tại B

∆CBD vuông tại B

∆EDA vuông tại D

∆DCAvuông tại C

∆DCEvuông tại C

2. ∆ABC vuông tại B, suy ra:

\(\widehat A + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)

\(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \cr & \widehat {ACB} + \widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}} = 90^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {BC{\rm{D}}} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \cr} \)

∆ACD vuông tại C, suy ra:

\(\widehat A + \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)

\(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \cr & \widehat {C{\rm{D}}A} + \widehat {C{\rm{D}}E} = \widehat {A{\rm{D}}E} = 90^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {C{\rm{D}}E} = 90^\circ - \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \cr} \)

∆DEA vuông tại D, suy ra:

\(\widehat A + \widehat E = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat E = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \)

Câu 11 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 70^\circ ,\widehat C = 30^\circ \). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC).

1. Tính \(\widehat {BAC}\)

2. Tính \(\widehat {A{\rm{D}}H}\)

3. Tính \(\widehat {HA{\rm{D}}}\)

Giải

1. Trong ∆ABC, ta có:

\(\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác)

Mà \(\widehat B = 70^\circ ;\widehat C = 30^\circ \left( {gt} \right)\)

Suy ra: \(\widehat {BAC} + 70^\circ + 30^\circ = 180^\circ \)

Vậy \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ \)

2. Ta có: \(\widehat {{A_1}} = {1 \over 2}\widehat {BAC} = {1 \over 2}.80^\circ = 40^\circ \) (Vì AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))

Trong ∆ADC ta có \(\widehat {A{\rm{D}}H}\) là góc ngoài tại đỉnh D.

Do đó: \(\widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {{A_1}} + \widehat C\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

Vậy \(\widehat {A{\rm{D}}H} = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ \)

3. ∆ADH vuông tại H nên:

\(\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}H} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ - \widehat {A{\rm{D}}H} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \)

Câu 12 trang 138 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Tính \(\widehat {BIC}\) biết rằng:

1. \({\rm{}}\widehat B = 80^\circ ,\widehat C = 40^\circ \)

2. \(\widehat A = 80^\circ \)

3. \(\widehat A = m^\circ \)

Giải

1. Ta có

\(\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat {ABC} = {1 \over 2}.80^\circ = 40^\circ \) (vì BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat {ACB} = {1 \over 2}.40^\circ = 20^\circ \) (vì CE là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\))

Trong ∆IBC, ta có: \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác)

\(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {\widehat {{B_1}} + {C_1}}} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 20^\circ } \right) = 120^\circ \)

2. Ta có:

\(\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì BD là tia phân giác \(\widehat B\))

\(\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì CE là tia phân giác \(\widehat C\))

Trong ∆ABC, ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)

Trong ∆IBC, ta có: \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \)

Vậy \(\widehat {BIC} = 180^\circ - {{180^\circ - m^\circ } \over 2} = 180^\circ - 90^\circ + {{m^\circ } \over 2} = 90^\circ + {{m^\circ } \over 2}\)