- LG a
- LG b
Cho đường tròn [C] tâm I[1 ; -2], bán kính R và điểm K[1 ; 3].
LG a
Cho R = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua K;
Lời giải chi tiết:
R = 1. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua điểm K[1 ; 3] và có hệ số góc m. \[\Delta \]có phương trình \[y = m[x - 1] + 3\]
\[ \Leftrightarrow mx - y + [3 - m] = 0.\]
Ta có \[\Delta \] tiếp xúc vơi [C]\[ \Leftrightarrow d[I,\Delta ] = R\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2 + 3 - m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 25\]
\[ \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 6 \] .
Vậy qua điểm K có hai tiếp tuyến với [C]. Đó là :
\[{\Delta _1}:y = 2\sqrt 6 \left[ {x - 1} \right] + 3\] và \[{\Delta _2}:y = - 2\sqrt 6 \left[ {x - 1} \right] + 3.\]
LG b
Xác định R để từ K vẽ được đến [C] hai tiếp tuyến tiếp xúc với [C] lần lượt tại hai điểm \[{M_1},{M_2}\] sao cho diện tích tứ giác \[K{M_1}I{M_2}\] bằng \[2\sqrt 6 \] .
Lời giải chi tiết:
Ta có \[KI = \sqrt {{{\left[ {1 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {3 + 2} \right]}^2}} = 5\]
\[K{M_2} = \sqrt {K{I^2} - {R^2}} = \sqrt {25 - {R^2}} .\]
Ta có : \[{S_{K{M_1}I{M_2}}} = 2\sqrt 6 \]
\[ \Leftrightarrow 2{S_{I{M_2}K}} = 2\sqrt 6 \]
\[ \Leftrightarrow I{M_2}.K{M_2} = 2\sqrt 6 \]
\[ \Leftrightarrow R\sqrt {25 - {R^2}} = 2\sqrt 6 \]
\[ \Leftrightarrow {R^2}\left[ {25 - {R^2}} \right] = 24\]
\[ \Leftrightarrow {R^4} - 25{R^2} + 24 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{R^2} = 1\\{R^2} = 24\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}R = 1\\R = 2\sqrt 6 \end{array} \right.\]
Vậy bán kính đường tròn bằng 1 hoặc \[2\sqrt 6 .\]