Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu [S]: x2+ y2+ z2- 2x + 4y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng [P]: x - 2y + 2z - 12 = 0
a] Chứng minh rằng [P] cắt [S] theo một đường tròn.
b] Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Lời giải chi tiết
a] Mặt cầu [S] tâm I[1; -2; -1] bán kính R = 5
d[I,[P]] = 3 < R
Do đó [P] cắt [S] theo một đường tròn, gọi đường tròn đó là [C].
b] Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với [P].
Phương trình của d là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\]
Tâm của [C] là điểm H = d [P].
Để tìm H ta thay phương trình của d vào phương trình của [P].
Ta có: 1 + t - 2[-2 - 2t] + 2[-1 + 2t] - 12 = 0
Suy ra t = 1, do đó H = [2; -4; 1].
Bán kính của [C] bằng \[\sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\].