- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số: \[y = 4{x^3} + mx\] [\[m\] là tham số] [1]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số ứng với \[m = 1\].
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét chiều biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:
Với \[m = 1\] ta có hàm số \[y = 4{x^3} + x\].
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
Ta có: \[y' = 12{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\] nên hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] và không có cực trị.
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đi qua các điểm \[\left[ {0;0} \right],\left[ {1;5} \right],\left[ { - 1; - 5} \right]\].
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của [C] song song với đường thẳng \[y = 13x + 1\].
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng song song thi chúng có cùng hệ số góc.
- Tính \[y'\] và giải phương trình \[y' = k\].
- Tìm tọa độ tiếp điểm, từ dó suy ra phương trình tiếp tuyến.
Giải chi tiết:
Do tiếp tuyến song song đường thẳng \[y = 13x + 1\] nên \[k = 13\].
Ta có: \[12{x^2} + 1 = 13 \Leftrightarrow 12{x^2} = 12\] \[ \Leftrightarrow x = \pm 1\].
Với \[x = 1\] thì \[y = 5\], ta có tiếp tuyến \[y = 13\left[ {x - 1} \right] + 5\] hay \[y = 13x - 8\].
Với \[x = - 1\] thì \[y = - 5\], ta có tiếp tuyến \[y = 13\left[ {x + 1} \right] - 5\] hay \[y = 13x + 8\].
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là \[y = 13x \pm 8\].
LG c
Xét sự biến thiên của hàm số [1] tùy thuộc giá trị của \[m\].
Phương pháp giải:
Biện luận nghiệm của phương trình \[y' = 0\], từ đó suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Giải chi tiết:
Vì \[y' = 12{x^2} + m\] nên :
+] Với \[m \ge 0\] ta có \[y' \ge 0\] với mọi \[x\].
Do đó hàm số [1] luôn luôn đồng biến khi \[m \ge 0\].
+] Với \[m < 0\] thì \[y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} \]
Từ đó suy ra:
+] \[y' > 0\] với \[x < - \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} \] và \[x > \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} \] nên hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} } \right],\left[ {\sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} ; + \infty } \right]\].
+] \[y' < 0\] với \[ - \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} < x < \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} \] nên hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ { - \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} ;\sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} } \right]\].