- LG a
- LG b
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [H] của hàm số
\[y = {{2x + 1} \over {x + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
+] Chiều biến thiên:
\[y' = \frac{{2 - 1}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = \frac{1}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} > 0,\] \[\forall x \in D\]
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2\] nên TCN: \[y = 2\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} y = + \infty \] nên TCĐ: \[x = - 1\].
BBT:
+] Đồ thị:
Cắt trục hoành tại \[\left[ { - \frac{1}{2};0} \right]\], cắt trục tung tại \[\left[ {0;1} \right]\].
LG b
Chứng minh rằng [H] nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng.
Lời giải chi tiết:
Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \[\overrightarrow {OI} \] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y + 2\end{array} \right.\]
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ IXY là:
\[\begin{array}{l}Y + 2 = \frac{{2\left[ {X - 1} \right] + 1}}{{X - 1 + 2}}\\ \Leftrightarrow Y + 2 = \frac{{2X - 1}}{X}\\ \Leftrightarrow Y + 2 = 2 - \frac{1}{X}\\ \Leftrightarrow Y = - \frac{1}{X}\end{array}\]
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.