Các em đã nắm rõ dạng bài về góc và độ dài cung trong Toán Digital SAT chưa? Nếu chưa, hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây để ôn lại các chú ý về thuật ngữ, công thức cũng như thực hành một số bài tập liên quan nhé!

Thuật ngữ

Thuật ngữ

Giải thích

Angle [Góc]

Phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hai tia chung gốc

Vertex [Đỉnh]

Gốc chung của hai tia

Radian

Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian, gọi tắt là cung 1 radian. Góc ở tâm chắn cung 1 radian gọi là góc có số đo 1 radian, gọi tắt là góc 1 radian.

Đơn vị này được dùng trong các ngành cần thể hiện góc nhỏ, chẳng hạn thiên văn học, đo thị lực, nhãn khoa, quang học, hàng hải,... Nếu cần đơn vị cho các góc nhỏ hơn nữa thì dùng thêm tiền tố SI, chẳng hạn milli giây góc [milliarcsecond, viết tắt: mas].

Ký hiệu và viết tắt[sửa | sửa mã nguồn]

Ký hiệu chuẩn cho phút góc là dấu phẩy trên đơn [′], nhưng trong các văn bản chỉ dùng ký tự ASCII thì người ta dùng dấu nháy đơn [']. Phút góc cũng thường được viết tắt là arcmin hoặc amin, đôi khi còn là [dấu phẩy trên đi kèm dấu mũ].

Ký hiệu chuẩn cho giây góc là dấu phẩy trên kép [′′], nhưng trong các văn bản chỉ dùng ký tự ASCII thì người ta dùng dấu nháy kép, hay còn gọi là dấu ngoặc kép ["]. Giây góc cũng thường được viết tắt là arcsec hoặc asec.

Hệ thập lục phân trong đo góc Đơn vị Giá trị Ký hiệu Viết tắt [tiếng Anh] Quy đổi ra radian [xấp xỉ] Độ1⁄360 vòng tròn ° deg 17,4532925 mrad Phút góc1⁄60 độ ′ [dấu phẩy trên đơn] arcmin, amin, am, , MOA 290,8882087 µrad Giây góc1⁄60 phút góc ″ [dấu phẩy trên kép] arcsec, asec, as 4,8481368 µrad Milli giây góc1⁄1,000 giây góc mas 4,8481368 nrad Micro giây góc 10−6 giây góc μas 4,8481368 prad

Lưu ý rằng còn có dạng thập phân phút góc, ví dụ 36° 27′,182.

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Phút góc và các tiểu đơn vị của nó được dùng trong bản đồ học và hàng hải. Độ dài tương ứng 1 phút góc đo tại bất kỳ kinh tuyến nào cũng xấp xỉ bằng một hải lý [1,852 m]. Một giây góc ứng với khoảng 30 m. Khoảng cách này thay đổi dọc theo kinh tuyến vì Trái Đất có dạng hơi dẹt. Vĩ độ và kinh độ trong tọa độ địa lý thường cũng ở dạng độ, phút, giây. Bất cứ vị trí nào trên elipxôit tham khảo của Trái Đất cũng có thể được định vị chính xác bằng phương pháp này. Tuy nhiên, vì bản chất không được gọn ghẽ của cơ số 60 trong phút góc và giây góc nên thường thì người ta chỉ thể hiện tọa độ dưới dạng phân số hoặc dưới dạng số thập phân của độ, tất nhiên là phải chấp nhận sai số nhất định.

Thiên văn học cũng dùng phút góc và giây góc khi đo xích vĩ. Giây góc cũng được dùng để thể hiện thị sai do thị sai sao có giá trị rất nhỏ và đường kính góc cũng rất nhỏ [chẳng hạn đối với sao Kim thì đường kính góc chỉ là 9.7″–66.0″]. Thị sai, chuyển động riêng và đường kính góc của một ngôi sao cũng được thể hiện dưới dạng milli giây góc. Tên đầy đủ của đơn vị parsec thực ra là "parallax second", nghĩa là "giây góc thị sai".

Ngành công nghiệp sản xuất súng cầm tay cũng như các tài liệu về loại vũ khí này cũng hay dùng đơn vị giây góc, cụ thể là khi liên quan đến độ chính xác của súng trường. Giây góc đặc biệt phổ biến trong giới xạ thủ đã quen với hệ đo lường đế quốc [hệ đo lường Anh] vì 1 giây góc tương ứng xấp xỉ 1 inch ở khoảng cách 100 yard - khoảng cách mang tính truyền thống tại các trường bắn.

Các anh có ai giúp em cách tính cos[x], sin[x] theo cos[3x]. Tức là cho biết cos[3x] tính sin[x] và Cos[x] theo cos[3x]?

Theo chiều ngược chiều kim đồng hồ: Nếu sin[x] > 0, cos[x] > 0 thì ở góc phần tư thứ 1 Nếu sin[x] > 0, cos[x] < 0 thì ở góc phần tư thứ 2 Nếu sin[x] < 0, cos[x] < 0 thì ở góc phần tư thứ 3 Nếu sin[x] < 0, cos[x] > 0 thì ở góc phần tư thứ 4

Về cos, sin tốt nhất ra mua sách toán lớp 10, ở đó có đủ các công thức về sin, cos, cũng không quá khó hiểu đâu, nếu em đang học cấp 2 và chịu khó một chút sẽ hiểu thôi.

Than Dieu

22-05-2006, 18:08

Nhưng mà bài toán chỉ cho biết mỗi giá trị Cos[3x] làm sao mà biết được nó nằm ở góc nào.

Bài toán em cần là: Cho giá trị của cos[3x] tính Cos[x] và sin[x] các anh ah. Thế mới khó anh ah.

Các anh cố giúp em với, em đang cần gấp lắm đó.

haphuong

22-05-2006, 22:53

-Nếu trong Pascal đã có sẵn hàm arctanx thì có thể tính arcsinx từ các hệ thức sau:

2arctan[[1+sqrt[1-x^2]]/x] + arcsinx = pi nếu 0 có 2 căn bậc 2: [1,pi/2] và [1,3*pi/2] [i và -i]]

Bây giờ mình giải bài toán: cho cos[n*beta] => tính cos[beta] và sin[beta] bằng số phức:

Đặt c2=[1,beta] [tọa độ cực]: độ dài là 1 [để mình không bận tâm về độ dài vectơ], góc so với trục thực là beta

c=căn_n[c2]=[1,alpha] thỏa: beta=n*alpha

\=> alpha là góc mình muốn tìm alpha = beta/n + k*2*pi/n [k:0->n-1]

Như vậy: dùng hàm arccos để có beta [nói chung là có 2 giá trị] => alpha[k] = beta/n + k*2*pi/n => cos[alpha[k]] và sin[alpha[k]] là các cặp giá trị mình đang muốn tìm [nói chung là có 6 cặp]

Ví dụ: cos[3x] = 0 \=> 3x = pi/2 [modulo 2*pi] hoặc 3x = -pi/2 [modulo 2*pi] \=> các giá trị của x: pi/6 + k*2*pi/3 [k: 0,1,2] [30 độ, 150 độ, 270 độ] -pi/6 + k*2*pi/3 [k: 0,1,2] [330 độ, 90 độ, 210 độ]

Tui chỉ nghĩ đến cách giải bằng số phức khi thấy các công thức kết quả của thandieu đưa ra mà thôi

[có gì sai sót mong được góp ý, xin cám ơn]

-thân

bài toán tìm nghiệm của đa thức giải tổng quát được cho bậc 4, nhưng bậc 5 thì ko, nhưng giải số thì được cho cả bậc n [dễ nhất là đưa về bài toán trị riêng giải tổng quát tìm được đủ n nghiệm].

Cách của tui là dựa vô

1. cos[nx] = 1/2*[exp[inx]+exp[-inx]] = t
2. Tìm X = exp[inx] từ PT trên bằng X+1/X = 2t
3. Tìm exp[ix] = X^[1/n]
4. Tính cosx và sinx từ exp[ix].

Trong đó ở bước 3 có phép lấy căn bậc n của 1 số phức... vậy vô tình phải dùng đến phép tính ngược lượng giác và phải dùng giải tích chuỗi để tính số giá trị này [do đó dính đến toán cao cấp].

Cách của bạn haphuong hay nhưng chỉ giải tổng quát trong trường hợp n =3,4... cao hơn cũng ko giải sơ cấp được ;]

[Tui thấy số phức có quá chừng ưu điểm tại sao lại ko dạy ở cấp 3 nhỉ? Đơn cử là tất cả bài toán điện lớp 12 đều có thể dùng số phức mà ko qua cái giản đồ vector gì đó...]

Thân gửi poly: cách của bạn rất độc đáo ! Có lẽ chương trình toán cấp 3 đã đủ nặng rồi nên số phức không được dạy.

Tui nghĩ thiệt sự nói giải bằng số phức nghe ghê gớm, chớ thiệt sự thì:

cos[nx] = A \=> nx = arccos[A] + k2pi hoặc 3x = -arccos[A] + k2pi \=> x = arccos[A]/n + k2pi/n hoặc x = -arccos[A]/n + k2pi/n

[chính là công thức khi giải bằng số phức]

-thân

haphuong

07-06-2006, 14:25

Thân gởi các bạn bete và poly Tui đã đọc cách giải của bạn bete và nhận thấy cách giải của bạn và của tui là giống nhau ở bước đầu tiên. Cả bạn và tui đều dùng hàm arccosin:

* Cách giải mà tui nêu ra trong bài post

11 cũng áp dụng được cho bài toán tổng quát: "Cho cosnx = m, tìm cosx và sinx".

Chẳng hạn, nếu 0 < m < 1 thì sau khi tính k = sqrt[1-m^2]/m và t = arctan[k] [dễ thấy t = arccosm], ta giải phương trình: cos[nx] = cost

cos[nx] = A \=> nx = arccos[A] + k2pi hoặc 3x = -arccos[A] + k2pi \=> x = arccos[A]/n + k2pi/n hoặc x = -arccos[A]/n + k2pi/n Số t = arccosm chính là số arccos[A] cuả bạn đó mà! :] Ngoài ra, khi giải cho trường hợp 3x hay tổng quát là nx, tuí cũng đều dùng hàm arccos đó.

Có các trường hợp sau:

1. cos3x = m [0 < m < 1] Đặt k = sqrt[1-m^2]/m và t = arctan[k]. Khi đó, các giá trị của cosx là: cos[t/3], cos[t/3 + 2*pi/3], cos[t/3 + 4*pi/3] và các giá trị của sinx là: sin[t/3], sin[t/3 +2*pi/3], sin[t/3 + 4*pi/3], –sin[t/3], –sin[t/3 + 2*pi/3], –sin[t/3 + 4*pi/3]. Giá trị t = arctan[k] đó chính là arccosm. Sau đó tui giải phương trình cos3x = cost, v.v... Thêm nữa, những phần tui đã trình bày là để tính trên máy, không tính bằng tay được [ngay cả trường hợp n = 3], vì phài dùng đến hàm arctan[x] và hàm arccos[x]. Nhưng 2 cách giải do bạn và tui nêu ra khác nhau ở bước tiếp theo: sau khi tính arccosm, tui giải phương trình lượng giác, còn bạn dùng số phức để tính tiếp, nghĩa là 2 người đi tiếp theo 2 cách khác nhau để đến cùng một kết quả.

Tui có cảm giác là với bài toán mở rộng thì bạn phải giải phương trình bậc n, không biết có đúng hay không ? Trong trường hợp 3x hay nx, tui không giải bất kỳ một phương trình bậc 3 hoặc bậc n nào cả vì tui đã đưa bài toán về việc giải một phương trình lượng giàc cơ bản cosu = cosv.

* Bạn trình bày dùm cách giải bài toán tổng quát "Cho cos[nx] = m, tìm cosx và sinx" bằng cách dùng số phức cho mọi người cùng xem. Bạn viết thiệt chi tiết nghe, nếu có ví dụ cụ thể bằng số thì càng tốt. Tui cũng muốn được đọc cách giải bài toán đó theo một cách khác với cách tui đã làm. Tui nhờ bạn viết lời giải theo cách dùng số phức vì tui không nghĩ ra được. Thiệt ra thì tui đã thử giải bằng số phức như sau: * cos[nx] = A => sin[nx]= B [hoặc -B] * [cosx + isinx]^n = cos[nx] + isin[nx] = A + Bi \=> cosx + isinx = căn bậc n của [A + Bi] Đến đó tui muốn viết A + Bi = cosu + isinu đặng tính tiếp, nhưng u = arccos[A], mà tui muốn giải không dùng tới hàm arccos nữa, nên bị bí ở khúc đó. Đó chính là lý do tui muốn đọc cách giải của bạn :] Khi vô đây mà được đọc bài của các bạn khác về một vấn đề nào đó mà mình quan tâm, tui rất thích [và chắc các bạn bete và poly cũng vậy] . Các bạn thuận lợi hơn tui vì là dân máy tính nên có nhiều vấn đề để trao đổi, tìm hiểu, còn tui chỉ có thể trao đổi và tìm hiểu các vấn đề về Toán. Cho nên khi có một vấn đề liên quan đến môn Toán, tui rất muốn đọc ý kiến của tất cả các bạn trên diễn đàn này.

Thân mến

Thân gửi haphuong:

Có lẽ cách giải của bạn poly là cách bạn muốn ?

Thiệt sự thì tui nghĩ hàm arccos chắc cũng không "xấu xí" gì. Nếu tui không lầm thì sin và cos cũng phải tính thông qua chuỗi. Nếu không muốn xài chuỗi thì chắc phải đi qua "cos[nx]=f[cos[x], sin[x]]; sin[nx]=g[cos[x], sin[x]]"; mà như vậy có lẽ lại phải giải hệ bậc n => cũng phải giải gần đúng thôi ?

Tui xin có chút thắc mắc: với 1 giá trị của cos[3x] thì có thể có tới 6 giá trị của cos[x] phải không bạn haphuong:

x=[arccos[A]+k2pi]/3 [k:0,1,2] x=[-arccos[A]+k2pi]/3 [k:0,1,2]

-thân

haphuong

08-06-2006, 11:43

Thân gởi bạn bete

Tui xin có chút thắc mắc: với 1 giá trị của cos[3x] thì có thể có tới 6 giá trị của cos[x] phải không bạn haphuong:

x=[arccos[A]+k2pi]/3 [k:0,1,2] x=[-arccos[A]+k2pi]/3 [k:0,1,2]

Bạn nói đúng: phương trình cos[3x] = A có 2 họ nghiệm là: x = [arccos[A]+k2pi]/3, k thuộc Z x = [-arccos[A]+k2pi]/3, k thuộc Z Khi biểu diễn các ngọn cung đó trên đường tròn lượng giác, ta được 6 điểm ứng với các giá trị: arccos[A]/3, [arccos[A]+2*pi]/3, [arccos[A]+4*pi]/3 [ứng với k = 0, 1, 2 của họ nghiệm thứ nhứt] và -arccos[A]/3, [-arccos[A]+2*pi]/3, [-arccos[A]+4*pi]/3 [ứng với k = 0, 1, 2 của họ nghiệm thứ hai] Nhưng vì 6 điểm đó chia thành 3 cặp đối xứng với nhau qua trục hoành nên cosine của chúng thực ra chỉ có 3 giá trị phân biệt mà thôi