Trong một đường tròn hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm đúng hay sai
Lý thuyết liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Quảng cáo
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý 1: Trong một đường tròn:
a] Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b] Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lý 2.Trong hai dây của một đường tròn:
a] Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b] Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Xét đường tròn [O]:
\[\begin{array}{l}OH \bot AB\left[ {H \in AB} \right]\\OK \bot CD\left[ {K \in CD} \right]\end{array}\]
Khi đó:
\[\begin{array}{l}AB = CD \Leftrightarrow OH = OK\\AB > CD \Leftrightarrow OH < OK\end{array}\]
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
So sánh hai đoạn thẳng
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiến thức sau:
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn,
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
Bài tiếp theo
-
Trả lời câu hỏi 1 Bài 3 trang 105 SGK Toán 9 Tập 1
Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
-
Trả lời câu hỏi 2 Bài 3 trang 105 SGK Toán 9 Tập 1
Trả lời câu hỏi 2 Bài 3 trang 105 SGK Toán 9 Tập 1. Hãy sử dụng kết quả bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài...
-
Trả lời câu hỏi 3 Bài 3 trang 105 SGK Toán 9 Tập 1
Trả lời câu hỏi 3 Bài 3 trang 105 SGK Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác...
-
Bài 12 trang 106 SGK Toán 9 tập 1
Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB.
-
Bài 13 trang 106 SGK Toán 9 tập 1
Giải bài 13 trang 106 SGK Toán 9 tập 1. Cho đường tròn [O] có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn.
- Lý thuyết góc nội tiếp
- Lý thuyết góc ở tâm. số đo cung
- Lý thuyết góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
- Lý thuyết tứ giác nội tiếp
Quảng cáo
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay
Báo lỗi - Góp ý
Lý thuyết: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Xem
- Lịch sử chỉnh sửa
- Bản đồ
- Files
Bản để in
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Mục lục
1. Định lí 1 [edit]
2. Định lí 2 [edit]
Định lí 1 [edit]
Trong một đường tròn:
a] Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b]Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Cho đường tròn \[[O] \] có hai dây \[AB\] và \[CD\] khác đường kính. Kẻ \[OH \bot AB;\ OK \bot CD.\] Chứng minh:
a] Nếu \[AB=CD\] thì \[OH=OK.\]
b] Nếu \[OH=OK\] thì \[AB=CD.\]
Chứng minh:
Ta có \[\left\{\begin{array}{ll} OH \bot AB\\ OK \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}AB=2HB\\ CD=2KD \end{array} \right.\] [Đường kính vuông góc với dây cung] \[[1]\]
Áp dụng định lí Py - ta - go cho hai tam giác vuông \[OHB\] và \[OKD,\] ta có:
\[\left\{\begin{array}{ll}OH^2+HB^2= OB^2=R^2\\OK^2+KD^2=OD^2=R^2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}OH^2=R^2-HB^2\\ OK^2=R^2-KD^2\end{array} \right.\] \[[2]\]
a] Nếu \[AB=CD\] thì \[OH=OK.\]
Theo giả thiết: \[AB=CD.\]
Từ \[[1]\] \[\Rightarrow HB=KD \Rightarrow HB^2=KD^2.\]
Từ \[[2]\] \[\Rightarrow OH^2=OK^2\Rightarrow OH=OK.\]
Vậy trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b] Nếu \[OH=OK\] thì \[AB=CD.\]
Theo giả thiết: \[OH=OK.\]
\[\Rightarrow OH^2=OK^2.\]
Từ \[[2]\] \[\Rightarrow HB^2=KD^2.\]
\[\Rightarrow HB=KD.\]
Từ \[[1]\] \[\Rightarrow AB=CD.\]
Vậy trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.\[\square\]
Ví dụ 1:
Cho đường tròn \[[O];\] đường kính \[AB,\] hai dây \[AC\] và \[BD\] song song với nhau. Gọi \[d_1;\ d_2\] lần lượt là khoảng cách từ \[O\] đến \[AC,\ BD.\] So sánh \[d_1\] và \[d_2.\]
Phân tích:
Với bài toán này, ta không có số liệu cụ thể để tính toán khoảng cách để so sánh.
Do vậy ta phải sử dụng mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Tìm mối quan hệ giữa hai dây \[AC\] và \[BD\]
Giải:
Ta có: \[C \in \left [ O;\ \dfrac{AB}{2} \right ] \Rightarrow OA=OB=OC=\dfrac{AB}{2}.\]
\[\Rightarrow \Delta ACB\] vuông tại \[C.\]
\[\Rightarrow AC \bot BC.\]
Ta lại có: \[D \in \left [ O;\ \dfrac{AB}{2} \right ] \Rightarrow OA=OB=OD=\dfrac{AB}{2}.\]
\[\Rightarrow \Delta ADB\] vuông tại \[D.\]
\[\Rightarrow BD \bot AD.\]
Mà \[AC // BD \Rightarrow AD // BC.\]
Khi đó, tứ giác \[ACBD\] là hình bình hành.
\[\Rightarrow AC=BD\] [Tính chất hình bình hành]
\[\Rightarrow d_1 = d_2.\] [Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm]\[\square\]
Ví dụ 2:
Cho hình vẽ:
Trong hai đoạn thẳng GH và MN, đoạn nào dài hơn?
GiảiVì hai điểm \[I,\ J\] cùng thuộc đường tròn nhỏ nên \[OI = OJ.\]
Mà trong đường tròn lớn có \[OI,\ OJ\] là khoảng cách từ tâm tới hai dây \[GH;\ MN\]
\[\Rightarrow GH=MN.\] [Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau]\[\square\]
Định lí 2 [edit]
Trong hai dây của một đường tròn:
a] Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b] Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Cho \[[O], \] hai dây \[AB,\ CD\] khác đường kính. Kẻ \[OH \bot AB;\ OK \bot CD.\] Khi đó:
a] Nếu \[ABOK.\]
b]Nếu \[OHCD.\]
Chứng minh:
a] Nếu\[AB>CD\] thì \[OHCD.\]
Từ \[[1]\] \[\Rightarrow HB> KD\Rightarrow HB^2>KD^2\]
Từ \[[2]\] \[\Rightarrow OH^27cm]\]
\[\Rightarrow OPAB\ [7cm>5cm]\]
\[\Rightarrow OM