Trình bày thuật toán Gauss Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = b

Please send a small donation to help ukrainian refugees:

"Не согласен с тезисами, высказанными В. В. Путиным в ходе обращения 21 февраля 2022 года. Не поддерживаю его инициативы, не считаю что в данном случае он вправе говорить от имени народа России."

Подпишите, пожалуйста, петицию.

Giải các hệ phương trình tuyến tính bằng Phép khử Gauss, Ma trận nghịch đảo, hay định lí Cramer. Ngoài ra bạn có thể tính số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng định lý Rouche Capelli.

Nhập hệ số của hệ phương trình vào các trường đầu vào. Bỏ trống cho các ô hệ số bằng 0. Để nhập phân số dùng /: 1/3.

• 2x-2y+z=-3 x+3y-2z=1 3x-y-z=2

• Để các ô trống để nhập các ma trận không vuông.
• Bạn có thể sử dụng phân số thập phân [hữu hạn và vô hạn tuần hoàn]: 1/3, 3,14, -1,3[56] hoặc 1,2e-4; hoặc các biểu thức số học: 2/3+3*[10-4], [1+x]/y^2, 2^0,5 [=2], 2^[1/3], 2^n, sin[phi] hoặc cos[3,142rad].
• Dùng ↵ Enter, Space, ←↑↓→, ⌫ và Delete để di chuyển giữa các ô, Ctrl⌘ Cmd+C/Ctrl⌘ Cmd+V để sao chép ma trận.
• Kéo và thả các ma trận từ kết quả, hoặc thậm chí từ / đến một ma trận đang nhập.
• Để tìm hiểu thêm về ma trận sử dụng Wikipedia.

Xóa Đổi cách nhập hoặc là Chèn vào Use decimal keyboard on mobile phones Upload an image with a matrix [Note: it may not work well]

Đề nghị bài viết này hợp nhất với Phép khử Gauss. [Thảo luận] Đề nghị từ tháng 10 năm 2014.

Phương pháp khử Gauss-Jordan dùng cách khử dần các ẩn để đưa hệ phương trình đã cho về một dạng ma trận đường chéo rồi giải hệ phương trình này, không phải tính một định thức nào.

- Bước 1: Dùng phương trình đầu tiên để khử x1 x 1 {\displaystyle x1}   trong n-1 phương trình còn lại, cách làm tương tự như phương pháp khử để tính định thức... [Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ nhất cho a[11]].

Cụ thể để khử x1 ở hàng thứ k [k = 2, 3,...,n] ta phải tính lại các hệ số a[kj] ở hàng thứ k

[j = 1, 2,..., n+1] như sau: akj= akj – a1j * ak1/a11 ...

- Bước i: Dùng phương trình i để khử xi trong các phương trình thứ 1, 2, i–1, i+1, i+2,..., n.

[Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ i cho aii]

Cụ thể để khử xi ở hàng thứ k [k = 1, 2, i–1, i+1, i+2,..., n] ta phải tính lại các hệ số akj ở hàng thứ k [j = i,..., n+1] như sau: akj = akj – aij * aki / aii ...

- Bước n: Dùng phương trình thứ n để khử xn trong phương trình thứ 1, 2,..., n–1. [Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ n cho a[nn]]

Cụ thể để khử xn ở hàng thứ k [k = 1, 2,..., n–1] ta phải tính lại các hệ số akj ở hàng thứ k [j = n, n+1] như sau: akj = akj – anj * akn / ann

Tương tự phép khử Gauss tại mỗi bước, trước khi khử ta phải chọn trụ tối đại. Cụ thể tại bước i ta luôn chọn hàng có phần tử ari có giá trị tuyệt đối lớn nhất rồi đổi cho hàng thứ i'7 cho hàng thứ r.

Hệ phương trình sau khi khử có dạng:

a11 x1 = b1

a22 x2 = b2 ..........

ann xn = bn

Hoặc [Nếu tại các bước [bước i] ta chia cho hệ số aii]:

x1 = b1

x2 = b2 ..........

xn = bn

Tức là ta đã có các nghiệm mà không cần phải tính toán thêm.

Cũng như trong phương pháp khử Gauss, khi cài đặt trên máy tính ta dùng một mảng a thay cho cả ma trận A và vec tơ b.

2x1 + 3x2 + x3 = 11

-x1 + 2x2 - x3 = 0

3x1 + 2x3 = 9

Bước 1: Hệ phương trình trên tương đương với

3x1 + 2x3 = 9

x1 – 2x2 = 0

2x1 + 3x2 + x3 = 11

Bước 1:

3x1 + 0 + 2x3 = 9

2x2 – x3/3 = 3

3x2 – x3//3 = 5

h1 = h1; h2 = h2 + h1/3; 3 = h3 – 2h1/3;

Bước 2:

3x1 + 0 + 2x3 = 9

3x2 – x3/3 = 5

2x2 – x3/3 = 3

h1 = h1; h2 = h3; h3 = h2

3x1 + 0 + 2x3 = 9

3x2 – x3/3 = 5

–x3/9 = –1/3

h1 = h1; h2 = h2; h3 = h3 – 2h2/3

Bước 3:

Vậy

3x1 + 0 + 0 = 3

3x2 – 0 = 6

–x3/9 = –1/3

x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3

h1 = h1 – 2h3/[–1/9]; h2 = h2 – [1/3]h3/[–1/9]; h3 = h3/[–1/9];

Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Phép_khử_Gauss-Jordan&oldid=67948782”

Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính

Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1: Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình dạng

Trong đó

là các ẩn và là các hằng số, được gọi là hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn.

Ma trận

được gọi là ma trận các hệ số của hệ [1].

Ma trận

là ma trận các hệ số mở rộng của hệ [1].

2. Nhận xét: Một hệ phương trình hoàn toàn xác định nếu ta biết được ma trận hệ số mở rộng của nó.

Cột

được gọi là cột tự do của hệ [1].

Hệ [1] có thể được viết lại dưới dạng

với A là ma trận các hệ số của hệ [1].

Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.

Ta nói

là một nghiệm của hệ [1] nếu khi thay thì tất cả các phương trình trong hệ [1] đều thỏa mãn.

Nếu

và thì hệ phương trình có thể viết được dưới dạng: AX = B.

3. Ví dụ:

Hệ phương trình

là một hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn trên .

Hệ phương trình này còn có thể được viết dưới dạng

hoặc

Trong đó

là một nghiệm của hệ phương trình trên.

4. Một vài hệ phương trình đặc biệt:

4.1 Hệ Cramer:

Hệ phương trình tuyến tính [1] được gọi là hệ Cramer nếu m = n [tức là số phương trình bằng số ẩn] và ma trận các hệ số A không suy biến [hay

.

Ví dụ:

Hệ phương trình

là hệ Cramer.

4.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Nếu cột tự do của hệ bằng 0 [tức là

] thì hệ phương trình tuyến tính [1] được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Hệ này được gọi là hệ liên kết với hệ phương trình [1].

4.3 Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất 1 nghiệm là

và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ.

5. Định lý: Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có một trong ba trường hợp nghiệm xảy ra là:

• 
  Có một nghiệm duy nhất;
  
• 
  Vô nghiệm;
  
• 
  Có vô số nghiệm.
  

6. Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm.

7. Định nghĩa: Hai hệ phương trình có cùng số ẩn được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.

8. Định lý: Nếu hai hệ phương trình có hai ma trận hệ số mở rộng tương ứng tương đương dòng với nhau thì chúng tương đương nhau. Hoặc có thể phát biểu lại như sau:

Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên K có dạng ma trận hóa lần lượt là và . Khi đó nếu thì hai hệ phương trình tương đương nhau.

9. Nhận xét:

Ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng một cách tùy ý đối với ma trận hóa của một hệ phương trình tuyến tính để đưa nó về dạng một hệ phương trình tuyến tính đơn giản hơn.

10. Ví dụ: Để giải hệ phương trình ta tiến hành ma trận hóa và sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hóa về dạng đơn giản.

Vậy hệ đã cho tương đương với

■

7. Định lý: Giả sử là một nghiệm cho trước của hệ phương trình [1]. Khi đó là một nghiệm của hệ [1] khi và chỉ khi , với v là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ [1].

Nói cách khác nếu là các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết thì ta có thể viết nghiệm của hệ phương trình tuyến tính [1] là trong đó

8. Định nghĩa: Một nghiệm cố định của hệ phương trình tuyến tính [1] được gọi là nghiệm riêng, còn nghiệm được gọi là nghiệm tổng quát của hệ.

Ví dụ:

Xét hệ phương trình sau:

[1]

Nhận xét hệ 1 có 1 nghiệm là

Xét hệ phương trình thuần nhất liên kết với hệ [1].

Hệ thuần nhất này có các nghiệm là

.

Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình ban đầu là

Bài 2: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

_______________________________________________________

1. Phương pháp Cramer:

Nội dung của phương pháp này cũng chính là định lý sau:

1.1 Định lý: Cho hệ Cramer

trong đó

là ma trận các hệ số. Khi đó,

• 
  Nếu
  thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức sau:
  

, trong đó chính là ma trận thu được ma trận A bằng cách thay cột i bởi cột hệ số tự do

• 
  Nếu detA = 0 và tồn tại
  sao cho
  thì hệ phương trình vô nghiệm
  
• 
  Nếu detA = 0 và
  thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất [nghĩa là vô nghiệm hoặc vô số nghiệm]. Nếu xảy ra trường hợp này thì ta sẽ dùng phương pháp Gauss [được nêu trong phần tiếp theo] để giải hệ phương trình này.
  

1.2 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n phương trình n ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0.

Nhận xét: Phương pháp này dùng để giải hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn.

1.3 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: với a, b, c là các số khác 0.

Giải:

Ta có

nên đây là hệ Cramer. Hơn nữa

Do đó, hệ có nghiệm duy nhất

; ; ■

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình sau:



Giải:

Ta có |A|=0 và

nên hệ phương trình vô nghiệm. ■

Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình sau:

Ta có

Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất tức là hệ có vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm.

Đối với trường hợp này thì phải dùng phương pháp Gauss để giải lại hệ phương trình trên.

2. Phương pháp Gauss:

2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát

A và lần lượt là các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng. Khi đó:

i] Nếu thì hệ [1] vô nghiệm;

ii] Nếu thì hệ [1] có nghiệm. Hơn nữa:

• 
  Nếu r = n thì hệ [1] có nghiệm duy nhất.
  
• 
  Nếu r < n thì hệ [1] có vô số nghiệm phụ thuộc n – r tham số.
  

2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính [gọi là thuật toán Gauss]:

Lập ma trận các hệ số mở rộng

. Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang. Giả sử ma trận bậc thang cuối cùng có dạng:

Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Do đó:

1. 
   Nếu tồn tại ít nhất
   với
   khác 0 thì hệ vô nghiệm.
   
2. 
   Nếu
   thì hệ có nghiệm. Khi đó các cột
   [là các cột được đánh dấu * ] được giữ lại bên trái và các
   là các ẩn, còn các cột còn lại thì được chuyển sang bên phải, các ẩn
   tương ứng với các cột này sẽ trở thành tham số. Vậy ta sẽ có n – r tham số và hệ đã cho tương ứng với hệ
   

Trong đó

là các hàm tuyến tính của với . Hệ phương trình [3] là hệ phương trình dạng tam giác ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế dần từ dưới lên, tức là tính lần lượt .

Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện 1 dòng mà bên trái bằng 0 còn bên phải là số khác 0 thì ta có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm và không cần làm gì tiếp.

Nhận xét: Nếu ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán Gauss có dạng A’|B’ thì A’ được gọi là ma trận rút gọn theo dòng từng bậc hay đơn giản là ma trận rút gọn, ký hiệu .

Khi đó hạng của ma trận A bằng hạng của

.

2.3 Các ví dụ:

a] Giải hệ phương trình sau:

Giải:

Vì

nên ta không thể dùng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình này.

Ta sẽ áp dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên.

Ta viết hệ dưới dạng ma trận hóa như sau:

Vậy hệ phương trình [*] có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số

.

■

Chú ý:

- Khi hệ phương trình có vô số nghiệm thì dù giải bằng phương pháp nào ta cũng có thể có nhều cách chọn biến tự do.

- Khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta có nhiều cách chọn hệ nghiệm cơ bản.

b] Giải hệ phương trình

Giải:

Ta tiến hành giải bằng thuật toán Gauss như sau:

Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ:

Do đó nghiệm của hệ là

.

Sinh viên có thể tham khảo them thuật toán Gauss Jordan trong các tài liệu viết về đại số tuyến tính.

Thực chất của thuật toán Gauss Jordan thì ta sẽ thực hiện các phép biến đổi trên dòng đối với ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận có các tính chất sau:

- Các dòng khác 0 thì nằm trên các dòng 0;

- Hệ số khác 0 đầu tiên ở các dòng khác 0 đều bằng 1.

- Các phần tử còn lại của cột chứa số 1 chuẩn [gọi là cột chuẩn] đều bằng 0.

Ví dụ: Ta có thể dùng thuật toán Gauss Jordan để giải lại hệ phương trình trên:

Vậy nghiệm của hệ là

.■

Ví dụ: Giải hệ phương trình với ma trận hệ số mở rộng là



Giải

Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận

về dạng bậc thang.

Các phần tử trên đường chéo 1; 1; -1; 1 được gọi là phần tử đánh dấu. Ta sẽ khử các phần tử còn lại của các phần tử ở các cột chứa phần tử đánh dấu ngược từ dòng 4 lên dòng 1 để được ma trận bên vế trái là ma trận đơn vị.

Khi đó nghiệm của hệ phương trình là

3. Giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính tổng quát:

Các ví dụ:

a] Giải hệ phương trình sau:

Giải:

Ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình trên là

Nếu

thì hệ phương trình vô nghiệm.

Nếu m = 5 thì hệ phương trình trở thành

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc tham số

với

. Từ đó suy ra, ■

b] Giải hệ phương trình



Giải:

Ta viết hệ trên dưới dạng ma trận hóa như sau:

Vì

nên:

Nếu m = 1 thì ma trận hệ số mở rộng trên có dạng

Khi đó hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số

. Tức là

Đặt

thì

Khi m =-3 thì hệ trở thành

. Hệ phương trình vô nghiệm.

Khi

thì hệ pt có nghiệm duy nhất



Kết luận:

- Nếu m = 1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

- Nếu m = -3 thì hệ vô nghiệm.

- Nếu

thì hệ có một nghiệm duy nhất .■

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp:

Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:

Cộng theo vế 4 phương trình ta được:

[*]

Lấy [*] trừ cho phương trình thứ [1] của hệ được:

Lấy [*] trừ cho phương trình thứ [2] của hệ được:

Lấy [*] trừ cho phương trình thứ [3] của hệ được:

Thực hiện tương tự lấy [*] trừ cho phương trình thứ [4] của hệ được:

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình sau:

Giải

Cách 1: SV tự giải bằng phương pháp Gauss [hoặc Gauss Jordan].

Cách 2: Cộng tất cả các phương trình ta được:

[*]

Nhận xét:

Khi m = - 3 thì phương trình [*] vô nghiệm, hệ vô nghiệm

Khi m = 1 hệ có vô số nghiệm.

với

Khi

thì chia biểu thức [*] cho m + 3 ta có

Lấy kết quả trên trừ đi phương trình thứ 1 của hệ ta được:

Thực hiện tương tự ta được

Tóm tắt chương

Ở chương này, thông qua việc vận dụng các kiến thức về định thức và ma trận ta nghiên cứu thêm các phương pháp để giải một hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

Sau khi học xong chương này, sinh viên cần trả lời được các câu hỏi sau:

1. Hệ phương trình tuyến tính có những yếu tố gì cần biết để giải? Nghiệm của hệ được xác định ra sao? Khi nào thì hai hệ phương trình tương đương? Đặc điểm của hệ Cramer là gì? Thế nào là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất?

2. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính giống với nội dung nào đã học ở chương trước? Trình bày phương pháp Gauss? Sinh viên có thể nghiên cứu thêm phương pháp Gauss Jordan? Sự giống nhau và khác nhau của phương pháp Gauss và phương pháp Gauss Jordan?

3. Điều kiện cần thiết để có thể giải được hệ phương trình bằng phương pháp Cramer? Trình bày phương pháp Cramer?

BÀI TẬP

1] Giải các hệ phương trình sau bằng cách áp dụng thuật toán Cramer và phương pháp Gauss:

a]

b]

c]

d]

e]

f]

g]

h]

k]

l] với a, b, c, d là các số thực khác 0.

m]

với a, b, c, d, p, q, r, s là các số thực khác 0.

n]

2. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với các hệ đã cho ở bài tập 1 [tức là thay cột hệ số tự do bằng cột chứa các số 0] rồi giải lại các hệ phương trình đó.

3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a]

b] c]

d]

e] f]

g]

h]

k]

l]

m]

n]

o]

p] q]

4. Cho

là các số nguyên. Giải hệ phương trình sau:

5. Giải hệ phương trình

6. Chứng minh rằng hệ phương trình sau

trong đó và n lẻ, có nghiệm khác 0.

7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:

a] b]

Đại số tuyến tính 1

Каталог: 2016
2016 -> Tây Nguyên miền đất đỏ ba dan với những văn hóa phi vật thể nổi tiếng, có bản anh hùng sử Đăm Săn
2016 -> []
2016 -> Hình thành và phát triển cho học sinh các kĩ năng sử dụng tiếng Việt
2016 -> Soạn bài: TÀo tháo uống rưỢu luận anh hùNG
2016 -> ĐẠi học huế trưỜng đẠi học khoa học nguyễn thành khánh truyện trinh thám việt nam
2016 -> Tìm hiểu nhật bản hoa anh đào biểu tượng của đất nước Nhật Bản
2016 -> Bộ TÀi nguyên và MÔi trưỜng báo cáo tóm tắt tình hình thực hiệN

tải về 0.56 Mb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn: