Định lí: Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.
- Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu
Định lí: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.
Ta có bất đằng thức tam giác: \[\left| {AC - AB} \right| < BC < AC + AB\] hay \[\left| {b - c} \right| < a < b + c\]
4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
Định lí: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \[\dfrac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Nhắc lại: Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.
5. Tính chất tia phân giác của một góc
Định lí: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
Định lí: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.
6. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Định lí: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.
Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó
7. Tính chất đường trung trực
- Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Định nghĩa: Đường trung trực của mọt đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.
Định lí: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Định lí: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Nhận xét:
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
- Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Định lí: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy này.
Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
8. Tính chất ba đường cao của tam giác
Định lí : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Định lí : Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường [đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao] trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Cùng Hoc360.net kiểm tra, hệ thống lại kiến thức môn Toán qua Ôn tập Hình học chương 3 Hình học lớp 7. Hi vọng tài liệu sẽ giúp ích cho các em học sinh trong quá trình học, chuẩn bị cho kỳ thi, kỳ kiểm tra sắp tới. Mời các em tham khảo và tải về. Chúc các em học giỏi!
Sách giải toán 7 Ôn tập chương 3 [Câu hỏi ôn tập – Bài tập] giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Câu hỏi ôn tập chương 3 [trang 86-87 sgk Toán 7 Tập 2]
1. Cho tam giác ABC. Hãy viết kết luận của hai bài toán sau về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
Trả lời
2. Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH, các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu [>, AH; AC > AH.
- Nếu HB > HC thì AB > AC.
hoặc có thể HB < HC thì AB < AC.
- Nếu AB > AC thì HB > HC.
hoặc có thể AB < AC thì HB < HC.
3. Cho tam giác DEF. Hãy viết bất đẳng thức về quan hệ giữa các cạnh của tam giác này.
Trả lời
Với ΔDEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:
DE < EF + DF
DF < EF + DE
EF < DE + DF
DF – EF < DE < DF + EF [với DF > EF]
4. Hãy ghép hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng: …
Trả lời
Ghép a-d’ ; b –a’, c-b’, d-c’
Trong một tam giác
a – d’ đường phân giác xuất phát từ đỉnh A – là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh A và giao điểm của cạnh BC với tia phân giác của góc A.
b – a’ đường trung trực ứng với cạnh BC – là đường vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của nó.
c – b’ đường cao xuất phát từ đỉnh A – là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC.
d – c’ đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A – là đoạn thẳng nối A với trung điểm của cạnh BC.
5. Cũng với yêu cầu như ở câu 4. …
Trả lời
Ghép a-b’, b-a’, c-d’, d-c’
Trong một tam giác
a – b’ trọng tâm – là điểm chung của ba đường trung tuyến
b – a’ trực tâm – là điểm chung của ba đường cao
c – d’ điểm [nằm trong tam giác] cách đều ba cạnh – là điểm chung của ba đường phân giác
d – c’ điểm cách đều ba đỉnh – là điểm chung của ba đường trung trực
6. a] Hãy nêu tính chất trọng tâm của một tam giác; các cách xác định trọng tâm.
- Bạn Nam nói: “Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác”. Bạn Nam nói đúng hay sai? Tại sao?
Trả lời
- – Trọng tâm của một tam giác có tính chất như sau:
“Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.”
– Các cách xác định trọng tâm:
+ Cách 1: Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tùy ý, rồi xác định giao điểm của hai đường trung tuyến đó.
+ Cách 2: Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến thành ba phần bằng nhau rồi xác định một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau.
- Không thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến qua một đỉnh của tam giác và trung điểm một cạnh trong tam giác nên đường trung tuyến phải nằm giữa hai cạnh của một tam giác tức nằm ở bên trong của một tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ có thể nằm bên trong của tam giác.
7. Những tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao?
Trả lời
Tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân.
8. Những tam giác nào có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm [nằm trong tam giác] cách đều ba cạnh?
Trả lời
Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm [nằm trong tam giác] cách đều ba cạnh là tam giác đều.
Ôn tập chương 3
Bài 63 [trang 87 SGK Toán 7 tập 2]: Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đonạ thẳng AD, AE.
- Hãy so sánh góc ADC và góc AEB.
- Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE.
Lời giải:
+ Trong ΔABC có: góc ABC đối diện cạnh AC, góc ACB đối diện cạnh AB.
- ΔAED có:
⇒ AE < AD hay AD > AE
Ôn tập chương 3
Bài 64 [trang 87 SGK Toán 7 tập 2]: Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng:
[yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù].
Lời giải:
+ So sánh NH và PH
MH là đường cao của ΔMNP ⇒ H là hình chiếu của M trên đường thẳng NP.
⇒ NH là hình chiếu của đường xiên NM trên đường thẳng NP
PH là hình chiếu của đường xiên MP trên đường thẳng NP.
Mà NM < PM ⇒ NH < PH [đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn].
• TH1: Xét ΔMNP có góc N nhọn
⇒ góc P nhọn [vì MN < MP nên
].
⇒ H nằm giữa N và P.
• TH2: Xét ΔMNP có góc N tù
suy ra H nằm ngoài cạnh NP.
[vì giả sử H nằm giữa N và P thì ΔMNH có ].
Lại có HN < HP nên N nằm giữa H và P
⇒ Tia MN ở giữa hai tia MH và MP ⇒
Ôn tập chương 3
Bài 65 [trang 87 SGK Toán 7 tập 2]: Có thể vẽ được mấy tam giác [phân biệt] với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm?
Lời giải:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại.
Vậy nên với năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm ta dựng được tam giác với ba cạnh là các đoạn thẳng có độ dài là:
+ Bộ ba 2cm, 3cm, 4cm [3-2 < 4 < 3+2]
Dựng đoạn thẳng bằng 4cm.
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt 2cm và 3cm.
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3.
Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.
+ Bộ ba 3cm, 4cm, 5cm [4-3 < 5 < 4+3]
Dựng đoạn thẳng bằng 4cm.
Dựng đoạn thẳng bằng 5cm.
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt 3cm và 4cm.
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3.
Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.
+ Bộ ba 2cm, 4cm, 5cm [4-2 < 5 < 4+2]
Dựng đoạn thẳng bằng 4cm.
Dựng đoạn thẳng bằng 5cm.
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt 2cm và 4cm.
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3.
Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.
Vậy ta dựng được tất cả 3 tam giác.
Ôn tập chương 3
Bài 66 [trang 87 SGK Toán 7 tập 2]: Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.
Hình 58
Lời giải:
Gọi O là địa điểm đặt nhà máy [O tùy ý]
A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư [A,B, C, D cố định].
Ta luôn có:
OA + OC ≥ AC
OB + OD ≥ BD
⇒ OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD [AC + BD là hằng số]
Vậy để OA + OB + OC + OD nhỏ nhất thì OA + OC = AC và OB + OD = BD.
OA + OC = AC khi O thuộc đoạn AC.
OB + OD = BD khi O thuộc đoạn BD.
Vậy OA + OB + OC + OD nhỏ nhất khi O là giao điểm của hai đoạn AC và BD.
Ôn tập chương 3
Bài 67 [trang 87 SGK Toán 7 tập 2]: Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.
- Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNP và RPQ.
- Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.
- So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.
Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Lời giải:
- Q là trọng tâm của ∆MNP ⟹ Q thuộc đường trung tuyến MR và
Gọi độ dài đường vuông góc kẻ từ P đến MR là h. Khi đó:
- Chứng minh tương tự câu a ta có:
[k là độ dài đường vuông góc kẻ từ N đến MR]
- Gọi m là độ dài đường vuông góc kẻ từ Q đến NP.
Từ [*] và [**] suy ra SMNQ = SMPQ = SNPQ.
Ôn tập chương 3
Bài 68 [trang 88 SGK Toán 7 tập 2]: Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy.
- Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh góc xOy và cách đều hai điểm A, B.
- Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a?
Lời giải:
- Tìm M khi độ OA, OB là bất kì
– Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy [1].
– Vì M cách đều hai điểm A, B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB [2].
Từ [1] và [2] ta xác định được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.
- Tìm M khi OA = OB
Nếu OA = OB thì ∆AOB cân tại O nên tia phân giác góc xOy cũng là trung trực của AB.
Do đó mọi điểm trên tia phân giác góc xOy sẽ cách đều hai cạnh Ox, Oy và cách đều hai điểm A và B.
Vậy khi OA = OB thì có vô số điểm M thỏa mãn các điều kiện ở câu a.
Ôn tập chương 3
Bài 69 [trang 88 SGK Toán 7 tập 2]: Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của a và b.
Theo giả thiết c ⟘ a hay SR ⟘ OQ hay SR là đường cao của ΔOSQ.
d ⟘ b hay PQ ⟘ OS hay QP là đường cao của ΔOSQ.
SR cắt QP tại M ⇒ M là trực tâm của ΔOSQ
⇒ OM ⟘ SQ
Vậy đường thẳng đi qua M và vuông góc với SQ cũng đi qua O [đpcm].
Ôn tập chương 3
Bài 70 [trang 88 SGK Toán 7 tập 2]: Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
- Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chưa điểm A [không kể đường thẳng d]. Gọi là một điểm của PA và M là giaođiểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB.
- Ta kí hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B [không kể d]. Gọi N’ là một điểm của PB. Chứng minh N’B < N’A.