Đối với bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thì việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng là điều rất quan trọng. Đây là một trong những điều kiện giúp cho chúng ta có thể tìm được phương trình đường thẳng, tuy nhiên cũng không phải là yêu cầu bắt buộc phải có nó thì mới viết được phương trình đường thẳng. Chúng ta còn có những cách khác nữa và tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.
Trong bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về vectơ pháp tuyến của đường thẳng, đồng thời chỉ ra cho các bạn biết một số trường hợp có thể gặp để xác định được vectơ pháp tuyến.
Bài giảng: Phương trình đường thẳng trong không gian
1. Vectơ pháp tuyến là gì ?
Vectơ pháp tuyến: Vectơ $\vec{n}$ khác vectơ – không, có giá vuông góc với đường thẳng $d$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.
- Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $k.\vec{n}$ [ với k khác 0] cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
- Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm nằm trên nó và một vectơ pháp tuyến của nó
Cụ thể như sau:
Nếu $\vec{n} =[1;2]$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $\vec{n_1} =[2;4] =2\vec{n}$; $\vec{n_2} =[-2;-4] =-2\vec{n}$; $\vec{n_3} =[\frac{1}{4};\frac{1}{2}] =\frac{1}{4}\vec{n}$… cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.
Tham khảo bài giảng:
2. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Dạng 1:
Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng tổng quát $ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\neq 0$ thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ là $\vec{n}=[a;b]$
Dạng 2:
Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng phương trình tham số $\left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. t\in Z; [a^2+b^2\neq 0]$
hoặc ở dạng phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$ $[a\neq 0, b\neq 0]$ thì ta tìm vectơ pháp tuyến thông qua vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng trong trường hợp này là $\vec{u}=[a;b]$, khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ là $\vec{n}=[-b;a]$ hoặc $\vec{n}=[b;-a]$
Dạng 3:
Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:
- Xác định vectơ pháp tuyến của $d’$ là: $\vec{n}[a;b]$
- Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng $d’$ là: $\vec{u}=[-b;a]$ hoặc $\vec{u}=[b;-a]$
- Vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của $d$ chính là vectơ chỉ phương $\vec{u}=[-b;a]$ của $d’$
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thường liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, liên quan tới các đường trong tam giác như: đường cao, đường trung trực, hai đường phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc, đường tiếp tuyến với đường tròn. Tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông
Dạng 4:
Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:
- Xác định vectơ pháp tuyến của $d’$ là: $\vec{n}[a;b]$
- Vì 2 đường thẳng song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng này chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của $d$ chính là vectơ $\vec{n}=[a;b]$ của $d’$
Đường thẳng song song với đường thẳng thường liên quan tới các đường như: đường trung bình trong tam giác, đường trung bình trong hình thang, tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông, tính chất từ vuông góc tới song song.
Xem thêm: Tọa độ trong mặt phẳng
Đó là những phương pháp cơ bản mà chúng ta thường gặp trong việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng khi viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Bài viết này chỉ là tập hợp lại kiến thức rơi vãi ở một số nơi, giúp các bạn có cái nhìn tổng quan hơn trong việc đi tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Điều mà nhiều bạn rất cần để có cái nhìn tổng quan hơn.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Câu 3:
Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox.
A.
[0 ; 1]
B.
[1 ; 0]
C.
[1 ; 1].
D.
[−
1 ; 0]
Đáp án A
Trục Ox có phương trình đường thẳng là y = 0. Đường thẳng này có VTPT là [0; 1].
Các đường thắng song song với nhau sẽ có cùng VTCP và có cùng VTPT nên các đường thẳng song song với trục Ox có VTPT là [0; 1] .
Vectơ pháp tuyến cũng như cách tìm Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là nội dung chương trình trọng tâm của Toán 10, phân môn Hình học. Nếu bạn muốn có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình học tập tốt hơn, hãy chia sẻ ngay bài viết sau đây của THPT Sóc Trăng nhé ! Ở đây chúng tôi đã cập nhật đầy đủ các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này cùng nhiều bài tập vận dụng.
I. LÝ THUYẾT VỀ VECTƠ PHÁP TUYẾN
1. Pháp tuyến là gì ?
Bạn đang xem: Vectơ pháp tuyến là gì? Cách tìm Vectơ pháp tuyến của đường thẳng nhanh nhất
Trong hình học, pháp tuyến [hay trực giao] là một đối tượng như đường thẳng, tia hoặc vectơ, vuông góc với một đối tượng nhất định. Ví dụ, trong hai chiều, đường pháp tuyến của một đường cong tại một điểm nhất định là đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài bằng một [một vectơ pháp tuyến đơn vị] hoặc không. Dấu đại số của nó có thể biểu thị hai phía của bề mặt [bên trong hoặc bên ngoài].
2. Vectơ pháp tuyến là gì ?
Định nghĩa: Vectơ ⃗n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ⃗n ≠ ⃗0 và ⃗n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆
Nhận xét:
– Nếu ⃗n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k⃗n [k≠0]cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
– Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
II. CÁCH TÌM VECTƠ CỦA PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG HAY, CHI TIẾT
1. Phương pháp giải
Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó, một vecto pháp tuyến của đường thẳng d là n→[ a;b].
Một điểm M[x0; y0] thuộc đường thẳng d nếu: ax0 + by0 + c = 0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?
A. n→[ 1; 1] B. n→[0; 1] C. n→[1;0] D. n→[ 1; -1]
Lời giải
Đường phân giác của góc phần tư [II] có phương trình là x + y= 0. Đường thẳng này có VTPT là n→[ 1; 1]
Chọn A.
Ví dụ 2. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 1. B. 2. C. 4. D. Vô số.
Lời giải
Một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến. Các vecto đó cùng phương với nhau.
Chọn D.
Ví dụ 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 2x- 19y+ 2098= 0?
A. n1→ = [2;0]. B. n1→ = [2;2098] C. n1→ = [2; -19] D. n1→ = [-19;2098]
Lời giải
Đường thẳng ax+ by+ c= 0 có VTPT là n→[ a; b] .
Do đó; đường thẳng d có VTPT n→[ 2; -19].
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: x- 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. A[3; 0] B. B[1;2] C. C[1;2] D. D[2;-1]
Lời giải
Ta xét các phương án :
+ Thay tọa độ điểm A ta có: 3 – 2.0 + 3 = 0 vô lí
⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.
+ thay tọa độ điểm B ta có: 1 – 2.2 + 3 = 0
⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
+ Tương tự ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A[- 3;0] B. B[0;2] C. [3;4] D. D[1;2]
Lời giải
+ Thay tọa độ điểm A ta được: 2.[-3] – 3.0 + 6 = 0
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 – 3.2 + 6 = 0
⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm C ta có: 2.3 – 3.4 + 6 = 0
⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm D ta được : 2.1 – 3.2 + 6 = 2 ≠ 0
⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.
Chọn D
Ví dụ 6: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x- 3y+ 7= 0 là :
A. n4→ = [2; -3] B. n2→ = [2; 3] C. n3→ = [3; 2] D. n1→ = [-3; 2]
Lời giải
Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó; đường thẳng d nhận vecto [ a; b] làm VTPT.
⇒ đường thẳng d nhận vecto n→[ 2;-3] là VTPT.
Chọn A.
Ví dụ 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?
A. n→[ 1; 1] B. n→[ 0; -1] C. n→[1; 0] D. n→[ -1; 1]
Lời giải
Đường thẳng song song với Ox có phương trình là : y + m= 0 [ với m ≠ 0] .
Đường thẳng này nhận vecto n→[ 0; 1] làm VTPT.
Suy ra vecto n’→[ 0; -1 ] cũng là VTPT của đường thẳng[ hai vecto n→ và n’→ là cùng phương] .
Chọn B.
Ví dụ 8: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?
A. n→[ 1; 1] B. n→[ 0; -1] C. n→[2; 0] D. n→[ -1; 1]
Lời giải
Đường thẳng song song với Oy có phương trình là : x + m= 0 [ với m ≠ 0] .
Đường thẳng này nhận vecto n→[1;0] làm VTPT.
Suy ra vecto n’→[ 2; 0 ] cũng là VTPT của đường thẳng[ hai vecto n→ và n’→ là cùng phương] .
Chọn D.
Ví dụ 9. Cho đường thẳng ∆: x- 3y- 2= 0. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của ∆?
A. n1→ = [1; -3] . B. n2→ = [-2; 6] . C. n3→ = [ ; -1]. D. n4→ = [3; 1].
Lời giải
Một đường thẳng có vô số VTPT và các vecto đó cùng phương với nhau.
Nếu vecto n→ ≠ 0→ là một VTPT của đường thẳng ∆ thì k.n→ cũng là VTPT của đường thẳng ∆.
∆ : x – 3y – 2 = 0 → nd→ = [1; -3] →
=> Vecto [ 3; 1] không là VTPT của đường thẳng ∆.
Chọn D
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Đường thẳng d: 12x – 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?
A. M[1; 1] B. N[ -1; -1] C. P[- ; 0] D. Q[1; ] .
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có A[ 1; 2] ; B[ 2;4]. Tìm một VTPT của đường thẳng AC?
A. n→[ 1; -2] B. n→[ 2; 4] C. n→[-2; 1] D. n→[2; 1]
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A[ 1; -4] và M[ -2; 3] là trung điểm của BC. Tìm một VTPT của đường thẳng BC?
A. n→[ 1; -4] B. n→[ 3;5] C. n→[3;-7] D. n→[5;-3]
Câu 4: Cho đường thẳng d: 2x – 5y – 10 = 0. Trong các điểm sau; điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A[5; 0] B. B[0; -2] C. C[-5; -4] D. D[-2; 3]
Câu 5: Cho đường thẳng d: 2x + 3y – 8 = 0. Trong các vecto sau; vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?
A. n1→[ 4; 6] B. n2→[-2;-3] C. n3→[ 4; -6] D. n4→[-6;-9]
Câu 6: Cho đường thẳng d:
A. n→[ 2;3] B. n→[ 3;2] C. n→[ 2; -3] D. n→[ -2;3]
Câu 7: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x – 4y + 2018 = 0
A. n1→ = [1; 4]. B. n1→ = [4;1] C. n1→ = [2;8] D. n1→ = [-2;8]
Câu 8: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. d có vectơ pháp tuyến n→ = [3; 5]
B. d có vectơ chỉ phương u→ = [5; -3]
C. d có hệ số góc k =
D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y + 9080 = 0.
Trên đây THPT Sóc Trăng đã giới thiệu đến các bạn lý thuyết về Vectơ pháp tuyến và cách tìm Vectơ pháp tuyến của đường thẳng cực hay. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng tại đường link này bạn nhé !
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo dục