Đại cương đường thẳng và mặtphẳng
I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Mặt phẳng: Không có bề dày và không có giới hạn. Bặt bàn, tờ giấy cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng.
* Để biểu diễn mặt phẳng chúng ta sử dụng hình bình hành hay mọt miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.
* Để kí hiệu mặt phẳng chúng ta sử dụng chữ cái in hoa hoặc chữ Hi Lạp đặt trong dấu [].
Ví dụ. Mặt phẳng [P], mặt phẳng [Q], mặt phẳng . Lúc này ta còn viết tắt: mp[P], mp[Q] hay [P], [Q].
1.2. Điểm thuộc mặt phẳng
Khi điểm A thuộc mặt phẳng ta nói A nằm trên hay chứa điểm A, hay đi qua điểm A. Ta viết:
Khi điểm A không thuộc mặt phẳng ta nói A nằm nằm ngoài hay không chứa điểm A, hay không đi qua điểm A. Ta viết:
1.3 Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. Như vậy nếu trong hình thật có một đoạn thằng thì trong hình biểu diễn không được vẽ thành đoạn cong.
Hình biểu diễn của hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng mà song song [hoặc cắt nhau] là hai đường thẳng song song [hoặc cắt nhau]
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc có trên hình thật. Điều đó có nghĩa là nếu trên hình thật có điểm A nằm trên đường thẳng a, thì trên hình biểu diễn điểm A cũng phải nằm trên đường thẳng a với A và a là lượt là hình biểu diễn của A và đường thẳng a.
Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường thẳng trông thấy và dùng nét đứt để biểu diễn cho đường bị che khuất.
1.4. Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1: qua 2 điểm phân biệt có một đường thẳng và chỉ một mà thôi.
Tính chất 2: qua 3 điểm không thuộc 1 đường thẳng có một mặt phẳng và chỉ một mà thôi.
Như vậy, nếu A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng thì xác định duy nhất một mặt phẳng. Lúc này
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có 2 điểm thuộc 1 mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4: Nếu 2 mặt phẳng phân biệt có 1 điểm chung thì chúng có ít nhất một điểm chung khác nữa
Định lý. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Đường thẳng nói trong định lý trên gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Như vậy, nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng thì ta viết
Tính chất 5: Trong không gian luôn luôn tại bốn điểm không đồng phẳng
* Các điểm đồng phẳng: các điểm gọi là đồng phẳng nếu có một mặt phẳng chứa chúng.
*Các điểm không đồng phẳng: Các điểm gọi là không đồng phẳng nếu không có mặt phẳng nào chứa chúng.
Tính chất 6: Trên mỗi một mặt phẳng trong không gian các tính chất hình học phẳng đều đúng.
1.5. Hình chóp và hình tứ diện
Hình chóp: Trong mặt phẳng [P] cho đa giác lồi . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng [P]. Hình gồm các tam giác , ,.., và đa giác gọi là hình chóp. Kí hiệu
Lúc này, ta bảo rằng S là đỉnh của hình chóp; đa giác là đáy của hình chóp; các tam giác , ,.., và đa giác gọi là các mặt bên của hình chóp; các đoạn , ,.., gọi là các cạnh bên của hình chóp; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp.
Hình chóp đáy ta tam giác, tứ giác, ngũ giác tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác
Hình tứ diện: Hình chóp tam giác gọi là hình tứ diện hay gọi tắt là tứ diện.
Nếu bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng thì chúng tạo thành một hình tứ diện. Các điểm đó gọi là đỉnh của tứ diện.
1.6. Các cách xác định một mặt phẳng
a. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Nếu ba điểm A, B, C phân biệt không thẳng hàng thì ba điểm ccó xác định duy nhất một mặt phẳng. Lúc này ta kí hiệu mặt phẳng đó là mp[ABC] hay [ABC]
b. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và mộ đường thẳng không đi qua điểm đó.
Nếu đường thẳng d không đi qua điểm A thì chúng xác định một mặt phẳng và lúc này ta kí hiệu mặt phẳng đó là mp[A, d] hay [A, d]. hay mp[d, A], [d, A].
c. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng phân biệt cắt nhau.
Nếu mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b thì ta viết mp[a, b] hay mp[a, b], hoặc mp[b, a] hoặc [b, a].
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1: Sử dụng tính chất thừa nhận
Ví dụ : trong mặt phẳng α, cho 2 nửa đường thẳng song song Ax, By, M,N.. là 2 điểm lần lượt thuộc Ax, By; M A, N B.
O là điểm cố định không thuộc α.
a. Điểm M thuộc nhưng mặt phẳng nào ?
b. CM: OA và MN chéo nhau.
c. M,N di động. chứng tở rằng OI nối O với trung điểm I của MN nằm trong mặt phẳng cố định.
d. M,N di động nhưng AM +BN có giá trị không đổi , chứng mình rằng mf [OMN] luôn chứa 1 đường thẳng cố định.
Vấn đề 2: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Phương pháp:
Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng.
Đường thẳng qua 2 điểm chung đó là giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Chú ý: để tìm điểm chung của 2 mặt phẳng ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trên 2 đường thẳng đó, giao điểm [ nếu có] của 2 đường thẳng này chính là điểm chung của 2 mặt phẳng.
Ví dụ 1: cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác ABCD. AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F.
a. Tìm giao tuyến của [SAB] và [SCD]; của [SAC] và [SBD].
b. Tìm giao tuyến của [SEF] với các mặt phẳng [ SAD] và [ SBC].
Ví dụ 2: cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của [ MNP] với các mf [ SAB], [SAD], [SBC] và [SCD].
Vấn đề 3:Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng α, ta tìm trong α một đường thẳng c cắt a tại A nào đó thì A là giao điểm của a và α,
Nếu c chưa có sẵn thì ta dựng một mặt phẳng β qua a và lấy c là giao
tuyến của α và β.
Ví dụ: cho tứ diện ABCD, trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M,N MN không song song với CD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD.
a. Tìm giao tuyến của [ OMN] và [BCD].
b. Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng [OMN].
Ví dụ 2: cho hình chóp S.ABCD, M là 1 điểm trên cạnh bên SC
a. Tìm giao điểm của AM và [SBD].
b. Gọi N là 1 điểm trên BC, tìm giao điểm của SD và [ AMN].
Vấn đề 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp
Muốn CM 3 điểm thẳng hàng ta CM 3 điểm đó là các điểm chung của của 2 mặt phẳng phân biệt. khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.
Vấn đề 5: Chứng minh 3 đường thẳng đồng qui
Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là là điểm chung của 2 mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ 3.
ví dụ: cho hình chóp S.ABCD gọi I, J là 2 điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ> JC., một mf α quay quanh IJ cắt SB tại M , SD tại N,
a. Chứng minh rằng IJ, MN , SO đồng quy; [ O là giao điểm của AC và BD ]. Suy ra cách dựng điểm N khi biết M.
b. AD cắt BC tại E. IN cắt MJ tại F . chứng minh S, E,F thẳng hàng.
Vấn đề 6: thiết diện:
Ta xác định lần lượt các giao tuyến của α với các mặt hình chóp theo các bước sau:
Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của α với một mặt của hình chóp[ có thể là mặt phẳng trung gian].
Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó , ta sẽ được các điểm chung mới của α với các mặt khác, từ đó xác định được các các giao tuyến mới với các mặt này.
Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện,
Ví dụ: cho tứ diện ABCD. Gọi H,K. lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, trên CD lấy M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mf[ HKM]. Phân biệt trường hợp M ở giữa C và D. và M nằm ngoài CD.