Lim 3 n bằng bao nhiêu

Toán

27/11/2021

By Clara

1. Giới hạn hàm số của dãy số sau đây bằng bao nhiêu: lim 3/n – 2
2. lim 7^n – 2/2^n – 2.7^n
3. lim(2n – 3n^3)
4. lim 3^n – 1/2^n – 2.3^n +1
Giải dùng e

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
1.DẠNG 1: $\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}}$ (Trong đó $P(n)$, $Q(n)$ là các đa thức có chứa biến $n$)
  Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$.
  Chú ý: $\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = \left\{ \begin{array}{l}
k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,\text{bậc của}\,\, (P(n)) = \text{bậc của}\,\, (Q(n))\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\, \text{bậc của}\,\, (P(n)) < \text{bậc của}\,\, (Q(n))\,\\
\pm \infty \,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,\text{bậc của}\,\, (P(n)) > \text{bậc của}\,\, (Q(n))
\end{array} \right.$
VD1:
a) $\lim \frac{{n + 1}}{{2n + 3}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{1}{2}$
b) $\lim \frac{{n + 1}}{{2{n^2} + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{2} = 0$
c) $\lim \frac{{{n^2} + 1}}{{2n + 3}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} =  + \infty $
Do: $\left\{\begin{array}{l}
\lim(1+\frac{1}{n^2})=1\\
\lim(\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}=0\\
\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}=0, \forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$

d) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n}  - 3n}}{{1 - 2n}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  - 3}}{{\frac{1}{n} - 2}} = 1$
e) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n}  - n}}{{n + \sqrt {4{n^2} + n - 2} }} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  - 1}}{{1 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} }} = \frac{0}{3} = 0$
f) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n}  - 3n}}{{1 - 2n + \sqrt {4{n^2} + n - 2} }} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  - 3}}{{\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} }} =  - \infty $
  Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\lim (\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  - 3) =  - 2 < 0\\
\lim (\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} ) = 0\\
\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}  > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$
g)$\lim ({n^3} - n + 3) = \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}}}{{\frac{1}{n}}} =  + \infty $
  Do: $\left\{\begin{array}{l}
\lim(1-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3})=-2<0\\
\lim\frac{1}{n}=0\\
\frac{1}{n}>0, \forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$

2.DẠNG 2:  $\lim \frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}}$ (Trong đó Do: $P({a^n}),\,\,Q({b^n})$ là các đa thức chứa Do: $a^n$ và ${b^n}$)
Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho số lớn nhất có chứa mũ $n$.
Chú ý: $\lim \frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}} = \left\{ \begin{array}{l}
k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,a = b\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,a < b\,\\
\pm \infty \,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,a > b
\end{array} \right.$
 VD2: a) $\lim \frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2 + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}$
   b) $\lim \frac{{{2^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2 + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{0}{2} = 0$
   c) $\lim \frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.2}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} =  + \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\lim (1 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}) = 1\\
\lim (2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}) = 0\\
2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$
3.DẠNG 3: Nhân lượng liên hợp:
Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức
$\begin{array}{l}
\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) = a - b; &  & \\
\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a - b\\
\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a + b
\end{array}$
  VD3: 

a) $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  - n} \right)= \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  + n} \right)}}= \lim \frac{{ - 3n}}{{\sqrt {{n^2} - 3n}  + n}}= - \frac{3}{2}$