Lời giải của GV Vungoi.vn
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 1 \Leftrightarrow y-1=0$
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 3\Leftrightarrow x-3=0$
Giả sử $M\left[ {{x_0};\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}}} \right]$ thuộc đồ thị hàm số.
Từ đề bài ta có phương trình
$5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}} - 1} \right| \Leftrightarrow 5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{5}{{{x_0} - 3}}} \right| \Leftrightarrow {\left[ {{x_0} - 3} \right]^2} = 1 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = - 1 \hfill \\ x - 3 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_0} = 2 \hfill \\ {x_0} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là $\left[ {2; - 4} \right]$ và $\left[ {4;6} \right]$
Một số bài toán vận dụng cao liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số,bám sát đề thi THPT QG
Một số bài toán vận dụng cao liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số,bám sát đề thi THPT QG
Một số bài toán vận dụng cao liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số
| Xét hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\,\,\left[ ad-bc\ne 0 \right]\,\left[ C \right]$ Gọi $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $\left[ C \right]$ khi đó $M\left[ {{x}_{0}};\frac{a{{x}_{0}}+b}{c{{x}_{0}}+d} \right]$ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$ Khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận là: ${{d}_{1}}=\left| {{x}_{0}}+\frac{d}{c} \right|=\left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|$ [ khoảng cách đến tiệm cận đứng] ${{d}_{2}}=\left| {{y}_{0}}-\frac{a}{c} \right|=\left| \frac{ab-dc}{c\left[ c{{x}_{0}}+d \right]} \right|$ [ khoảng cách đến tiệm cận ngang] Khi đó: ${{d}_{1}}.{{d}_{2}}=\left| \frac{ad-bc}{{{c}^{2}}} \right|=p$ |
Bài 1: Cho M là giao điểm của đồ thị hàm số với $\left[ C \right]y=\frac{2x-1}{2x+3}$ với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là:
Đáp án D
| Bài toán 1: Tìm điều kiện sao cho tổng khoảng cách từ $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất. Hướng dẫn giải $\sum{kc={{d}_{1}}+{{d}_{2}}\ge 2\sqrt{{{d}_{1}}.{{d}_{2}}}=2\sqrt{p}}$ [ áp dụng bất đẳng thức cosi] Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${{d}_{1}}={{d}_{2}}\Leftrightarrow {{\left| c{{x}_{0}}+d \right|}^{2}}=\left| ad-bc \right|\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{d}{c}\pm \sqrt{p}$ |
Bài 1: [THPT Trần Phú- Hải Phòng-2017] Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}$ có đồ thị $\left[ C \right]$ . Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc $\left[ C \right]$ sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
Bài 2: Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x-3}$ có đồ thị $\left[ C \right]$ . Gọi S là tổng khoảng cách từ A đến hai đường tiệm cận của $\left[ C \right]$. Giá trị nhỏ nhất của S là:
Bài 3: Số điểm thuộc đồ thị hàm số $\left[ H \right]:y=\frac{2x-1}{x+1}$ có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của $\left[ H \right]$ nhỏ nhất là:
| Bài 1: D | Bài 2: B | Bài 3: B |
| Bài toán 2: Tìm$M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng k lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Hướng dẫn giải ${{d}_{1}}=\left| {{x}_{0}}+\frac{d}{c} \right|=\left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|$ ${{d}_{2}}=\left| {{y}_{0}}-\frac{a}{c} \right|=\left| \frac{ab-dc}{c\left[ c{{x}_{0}}+d \right]} \right|$ ${{d}_{1}}=k{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|=k\left| \frac{ad-bc}{c\left[ c{{x}_{0}}+d \right]} \right|\Leftrightarrow {{\left[ c{{x}_{0}}+d \right]}^{2}}=k\left| ad-bc \right|$ |
Bài 1:Cho hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ có đồ thị là $\left[ C \right]$. Tìm điểm M thuộc đồ thị $\left[ C \right]$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
|
|
|
|
Đáp án C
| Bài toán 3: Tìm$M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ sao cho khoảng cách từ M đến I là ngắn nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số [ I là giao điểm của hai đường tiệm cận]. Hướng dẫn giải $M\left[ {{x}_{0}};\frac{a{{x}_{0}}+b}{c{{x}_{0}}+d} \right]$; $I\left[ -\frac{d}{c};\frac{a}{c} \right]$ $\Rightarrow IM\ge \sqrt{2p}$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${{d}_{1}}={{d}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{d}{c}\pm \sqrt{p}$ |
| Tính chất: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị $\left[ C \right]$, tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận tại hai điểm A và B. Khi đó M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị[ giao điểm của hai đường tiệm cận]. |