Cực trị của một số hàm thường gặp
Với bài học này, các em hãy nhớ và lưu ý những hàm số dạng nào có thể có cực trị và khi nào thì hàm số đó mới có cực trị, nhằm áp dụng cho các bài toán tìm m cho hàm số có cực trị. Ngoài ra, các em lưu ý cách thức xác định “phương trỉnh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị” đối với hàm số bậc ba và hàm số phân thức bậc 2 …
1. Hàm bậc hai: y = ax2 + bx + c [a ≠ 0]
MXĐ: D = R
y’ = 2ax + b
=> y’ đổi dấu khi x qua
=> hàm số đạt cực trị tại
2. Hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]
MXĐ: D = R
y’ = 3ax2 + 2bx + c
Δ’ = b2 – 3ac
* Δ’ ≤ 0 : y’ không đổi dấu => hàm số không có cực trị
* Δ’ > 0 : y’ đổi dấu 2 lần => hàm số có hai cực trị [1 CĐ và 1 CT]
*Đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:
Ta có thể phân tích : y = f[x] = [Ax + B]f ‘[x] + Cx + D bẳng cách chia đa thức f[x] cho đa thức f ‘[x]
– Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 và x2 – Ta có :
* f[x1] = [Ax1 + B]f ‘[x1] + Cx1 + D
=> f[x1] = Cx1 + D vì f ‘[x1] = 0
*Tương tự: f[x2] = Cx2 + D vì f ‘[x2] = 0
=> Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình : y = Cx + D
3. Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c [a ≠ 0]
MXĐ: D = R
y’ = 4ax3 + 2bx = 2x[2ax2 + b]
=> y’ chỉ đổi dấu 1 lần khi x đi qua xo = 0
=> hàm số đạt cực trị tại xo = 0
=> y’ đổi dấu 3 lần
=> hàm số có 3 cực trị
4. Hàm hữu tỉ: [a ≠ 0]
Đạo hàm không đổi dấu => hàm số không có cực trị
5. Hàm hữu tỉ: [a ≠ 0 , không là nghiệm của tử số ]
Đặt P[x] = Ax2 + Bx + C => Δ = B2 – 4AC
*Δ ≤ 0: y’ không đổi dấu => hàm số không có cực trị
*Δ > 0: y’ đổi dấu 2 lần => hàm số có 2 cực trị x1 và x2
Vậy:
Hàm số có cực trị
**Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2.
Ta có :
Tại điểm cực trị x1, ta sẽ có
Tương tự :
=> đưởng thẳng đi qua hai điểm cực trị M1[x1;f[x1]] và M2[x2;f[x2]]
có phương trình: