Hàm số y ax 3 bx 2 cx+d có tối đa bao nhiêu cực trị

Cực trị của một số hàm thường gặp

Với bài học này, các em hãy nhớ và lưu ý những hàm số dạng nào có thể có cực trị và khi nào thì hàm số đó mới có cực trị, nhằm áp dụng cho các bài toán tìm m cho hàm số có cực trị. Ngoài ra, các em lưu ý cách thức xác định “phương trỉnh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị” đối với hàm số bậc ba và hàm số phân thức bậc 2 …

1. Hàm bậc hai: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

MXĐ: D = R

y’ = 2ax + b

=> y’ đổi dấu khi x qua
=> hàm số đạt cực trị tại

2. Hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

MXĐ: D = R
y’ = 3ax2 + 2bx + c
Δ’ = b2 – 3ac * Δ’ ≤ 0 : y’ không đổi dấu => hàm số không có cực trị

* Δ’ > 0 : y’ đổi dấu 2 lần => hàm số có hai cực trị (1 CĐ và 1 CT)

*Đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:

Ta có thể phân tích : y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bẳng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f ‘(x)
– Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 và x2 – Ta có :

* f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D

=> f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0
*Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f ‘(x2) = 0
=> Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình : y = Cx + D

3. Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

MXĐ: D = R
y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

=> y’ chỉ đổi dấu 1 lần khi x đi qua xo = 0
=> hàm số đạt cực trị tại xo = 0

=> y’ đổi dấu 3 lần

=> hàm số có 3 cực trị

4. Hàm hữu tỉ: (a ≠ 0)

Đạo hàm không đổi dấu => hàm số không có cực trị

5. Hàm hữu tỉ: (a ≠ 0 , không là nghiệm của tử số )

Đặt P(x) = Ax2 + Bx + C => Δ = B2 – 4AC

*Δ ≤ 0: y’ không đổi dấu => hàm số không có cực trị
*Δ > 0: y’ đổi dấu 2 lần => hàm số có 2 cực trị x1 và x2

Vậy:

Hàm số có cực trị

**Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2.
Ta có :
Tại điểm cực trị x1, ta sẽ có

Tương tự :
=> đưởng thẳng đi qua hai điểm cực trị M1(x1;f(x1)) và M2(x2;f(x2))
có phương trình: