Điều kiện của giá trị lượng giác
DẠNG TOÁN 3: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN. + Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. 2. CÁC VÍ DỤ c) Cho $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 $, tính giá trị lượng giác còn lại. a) Vì ${90^0} < \alpha < {180^0}$ nên $\cos \alpha < 0$ mặt khác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra: $\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } $ $ = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} $ $ = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$ Do đó: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}$ $ = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$ b) Vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ nên $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } $ $ = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ và $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}.$ c) Vì $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 < 0$ $ \Rightarrow \cos \alpha < 0$ mặt khác ${\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.$ Nên $\cos \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2} + 1}}} $ $ = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}.$ Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha $ $ = – 2\sqrt 2 .\left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$ $ \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$ Ví dụ 2: a) Cho $\cos \alpha = \frac{3}{4}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}$. Tính $A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}.$ b) Cho $\tan \alpha = \sqrt 2 .$ Tính $B = \frac{{\sin \alpha – \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}.$ a) Ta có $A = \frac{{\tan \alpha + 3\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}$ $ = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}$ $ = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}$ $ = 1 + 2{\cos ^2}\alpha .$ Suy ra $A = 1 + 2.\frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}.$ b) $B = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{3{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}$ $ = \frac{{\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right) – \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}.$ Suy ra $B = \frac{{\sqrt 2 (2 + 1) – (2 + 1)}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 (2 + 1)}}$ $ = \frac{{3(\sqrt 2 – 1)}}{{3 + 8\sqrt 2 }}.$ Ví dụ 3: Biết $\sin x + \cos x = m.$ a) Tìm $\sin x\cos x$ và $\left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$ b) Chứng minh rằng $|m| \le \sqrt 2 .$ a) Ta có ${(\sin x + \cos x)^2}$ $ = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x$ $ = 1 + 2\sin x\cos x$ $(*).$ Mặt khác $\sin x + \cos x = m$ nên ${m^2} = 1 + 2\sin x\cos x.$ Hay $\sin x\cos x = \frac{{{m^2} – 1}}{2}.$ Đặt $\dot A = \left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$ Ta có: $A = \left| {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right)} \right|$ $ = |(\sin x + \cos x)(\sin x – \cos x)|.$ $ \Rightarrow {A^2} = {(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x – \cos x)^2}$ $ = (1 + 2\sin x\cos x)(1 – 2\sin x\cos x).$ $ \Rightarrow {A^2} = \left( {1 + {m^2} – 1} \right)\left( {1 – {m^2} + 1} \right)$ $ = 2{m^2} – {m^4}.$ Vậy $A = \sqrt {2{m^2} – {m^4}} .$ b) Ta có: $2\sin x\cos x$ $ \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ kết hợp với $(*)$ suy ra: ${(\sin x + \cos x)^2} \le 2$ $ \Rightarrow |\sin x + \cos x| \le \sqrt 2 .$ Vậy $|m| \le \sqrt 2 .$ 3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP d) $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ và $\sin \alpha = \frac{1}{5}.$ a) $\cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}.$ b) $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$, $\tan \alpha = 2$, $\cot \alpha = \frac{1}{2}.$ c) $\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, $\cos \alpha = – \frac{{\sqrt 6 }}{3}$, $\tan \alpha = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$ d) Ta có $\tan \alpha \cot \alpha = 1 > 0$ mà $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ suy ra $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0.$ $\cot \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} – 1} $ $ = – 2\sqrt 6 $ $ \Rightarrow \tan \alpha = – \frac{1}{{2\sqrt 6 }}$, $\cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha $ $ = – \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.$ Bài 2: a) Cho $\sin a = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < a < {180^0}.$ Tính $B = \frac{{3\cot a + 2\tan a + 1}}{{\cot a + \tan a}}.$ b) Cho $\cot a = 5.$ Tính $D = 2{\cos ^2}a + 5\sin a\cos a + 1.$ a) Từ giả thiết suy ra: $\cos a = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$, $\tan a = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$, $\cot a = – 2\sqrt 2 $ $ \Rightarrow B = \frac{{26 – 2\sqrt 2 }}{9}.$ b) $\frac{D}{{{{\sin }^2}a}}$ $ = 2{\cot ^2}a + 5\cot a + \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}$ $ \Rightarrow \left( {{{\cot }^2}a + 1} \right)D$ $ = 3{\cot ^2}a + 5\cot a + 1.$ Suy ra $D = \frac{{101}}{{26}}.$ Bài 3: Biết $\tan x + \cot x = m.$ a) Tìm ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x.$ b) $\frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}.$ a) ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {m^2} – 2.$ b) ${\tan ^4}x + {\cot ^4}x$ $ = {\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)^2} – 2$ $ = {\left( {{m^2} – 2} \right)^2} – 2$ $ = {m^4} – 4{m^2} + 2.$ $ \Rightarrow \frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}$ $ = \frac{{\left( {{m^2} – 2} \right)\left( {{m^4} – 4{m^2} + 1} \right)}}{{{m^4} – 4{m^2} + 2}}.$ Bài 4: Cho $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}.$ Tính ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha .$ ${(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}}$ $ \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}$ (do $\cos \alpha > 0$). Reader Interactions
Với Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại cực hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10. ● Để làm dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác. ● Các bước làm bài: - Bước 1: Áp dụng công thức thích hợp để tính giá trị các tỉ số tiếp theo (chú ý các công thức lượng giác cơ bản) - Bước 2: Ứng với miền đã cho của cung α để xét dấu giá trị lượng giác và chọn kết quả đúng. - Bước 3: Tính các giá trị lượng giác còn lại Ví dụ 1: Hướng dẫn giải: Vì Ví dụ 2: Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu: Hướng dẫn giải: a, Ta có: Vì b, Ta có: Vì Vì Vì Ví dụ 3: Biết Hướng dẫn giải: Vì Ví dụ 4: Chọn đáp án đúng. Cho Hướng dẫn giải: Đáp án D Ví dụ 5: Chọn đáp án đúng. Cho Hướng dẫn giải: Đáp án B |