Đề bài
Câu 1. [2 điểm]
1] Tìm tập xác định của hàm số \[f\left[ x \right] = \dfrac{{{x^2} - 3}}{{2{\rm{x}} - 3}} + 2\sqrt {2 - x} \]
2] Cho tập hợp \[A\left[ { - 1;3} \right]\] và \[B = \left[ {m - 2;m + 3} \right]\]. Tìm \[m\] để \[A \cap B = \emptyset \].
Câu 2. [2 điểm]
1] Tìm \[m\] để hàm số \[f[x] = 4mx + 3 - \left[ {5 + 2m} \right]x\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
2] Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[f\left[ x \right] = 2{x^4} - 5x + 3\].
Câu 3. [2 điểm]
1] Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = - {x^2} - 4x\]
2] Tìm \[m\] để phương trình \[ - {x^2} - 4{\rm{x}} = m + 3\] có 2 nghiệm âm phân biệt.
Câu 4. [2 điểm]
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho \[M\left[ {3; - 1} \right],N\left[ {1;2} \right],P\left[ {2; - 4} \right]\].
1] Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác \[MNP\] và tọa độ điểm \[D\] sao cho \[MNGD\] là hình bình hành.
2] Tam giác \[ABC\] nhận \[M,N,P\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,BC,AC\]. Tính tọa độ các điểm \[A,B,C\].
Câu 5. [1 điểm]
Tìm a, b, c để đồ thị hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] là đường Parabol có đỉnh \[I\left[ {2; - 2} \right]\] và đi qua điểm \[A\left[ {0;2} \right]\].
Câu 6. [1 điểm]
1] Cho tam giác \[ABC\] có trọng tâm G và hai điểm \[P,Q\] thỏa mãn \[\overrightarrow {PA} = 2\overrightarrow {PB} \], \[3\overrightarrow {QA} = - 2\overrightarrow {QC} \]. Chứng minh rằng ba điểm \[P,Q,G\] thẳng hàng.
2] Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh a nội tiếp đường tròn \[\left[ O \right]\]. Điểm \[M\] thuộc \[\left[ O \right]\]. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\]
Lời giải chi tiết
Câu 1. [VD]
1] Tìm tập xác định của hàm số \[f\left[ x \right] = \dfrac{{{x^2} - 3}}{{2{\rm{x}} - 3}} + 2\sqrt {2 - x} \]
2] Cho tập hợp \[A\left[ { - 1;3} \right]\] và \[B = \left[ {m - 2;m + 3} \right]\]. Tìm \[m\] để \[A \cap B = \emptyset \].
Phương pháp
1] Hàm \[y = \dfrac{1}{{\sqrt {f\left[ x \right]} }}\] xác định khi và chỉ khi \[f\left[ x \right] > 0\].
Hàm \[y = \sqrt {f\left[ x \right]} \] xác định khi và chỉ khi \[f\left[ x \right] \ge 0\].
2] Hai tập số trong \[\mathbb{R}\] được gọi là giao bằng rỗng nếu chúng rời nhau trên \[\mathbb{R}\].
Cách giải
1] Điều kiện xác định:
\[\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3 > 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x \le 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \]Tập xác định: \[D = \left[ {\dfrac{3}{2};2} \right]\]
2] \[A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 \ge 3\\m + 3 \le - 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le - 4\end{array} \right.\]
Câu 2. [TH]
1] Tìm \[m\] để hàm số \[f[x] = 4mx + 3 - \left[ {5 + 2m} \right]x\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
2] Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[f\left[ x \right] = 2{x^4} - 5x + 3\].
Phương pháp
1] Hàm số \[y = ax + b\] đồng biến trên \[R\] khi và chỉ khi \[a > 0\].
2] Các bước xét tính chẵn- lẻ của hàm số \[y = f\left[ x \right]\]
B1: Tìm tập xác định \[D\] của hàm số.
B2: Kiểm tra điều kiện \[ - x \in D\forall x \in D\]
B3: Kiểm tra điều kiện:
Nếu \[f\left[ { - x} \right] = f\left[ x \right]\forall x \in D\] thì \[f\left[ x \right]\] là hàm số chẵn.
Nếu \[f\left[ { - x} \right] = - f\left[ x \right]\forall x \in D\] thì \[f\left[ x \right]\] là hàm số lẻ.
Nếu \[\exists x \in D:\]\[f\left[ { - x} \right] \ne \pm f\left[ x \right]\] thì hàm số không chẵn không lẻ.
Cách giải
1] Ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = 4mx + 3 - \left[ {5 + 2m} \right]x\\ = \left[ {2m - 5} \right]x + 3\end{array}\]
\[f\left[ x \right]\] đồng biến trên \[R\] khi và chỉ khi \[2m - 5 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{5}{2}\]
2] TXĐ: \[D = R\]
Ta có: \[ - x \in R\forall x \in R\]
\[\begin{array}{l}f\left[ { - x} \right] = 2{\left[ { - x} \right]^4} - 5\left[ { - x} \right] + 3\\ = 2{x^4} + 5x + 3 \ne \pm f\left[ x \right]\end{array}\]
Do đó hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 3. [VD]
1] Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = - {x^2} - 4x\]
2] Tìm \[m\] để phương trình \[ - {x^2} - 4x = m + 3\] có 2 nghiệm âm phân biệt.
Phương pháp
1] Hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\left[ {a \ne 0} \right]\] có đỉnh \[I\left[ { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right]\] nhận trục \[x = - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}\] làm trục đối xứng.
Nếu \[a > 0\] thì hàm số đồng biến trên \[\left[ { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; + \infty } \right]\], nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ; - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}} \right]\] và đồ thị có bề lõm hướng lên trên.
Nếu \[a < 0\] thì hàm số đồng biến trên \[\left[ { - \infty ; - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}} \right]\], nghịch biến trên \[\left[ { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; + \infty } \right]\] và đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới.
2] Nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\] là hoành độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\].
Cách giải
1] Ta có: \[a = - 1 < 0\], \[ - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = - 2\] và \[ - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}} = 4\].
\[ \Rightarrow \]Hàm số đồng biến trên \[\left[ { - \infty ; - 2} \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ { - 2; + \infty } \right]\].
Bảng biến thiên:
\[a = - 1 < 0\], bề lõm hướng xuống dưới.
Đồ thị có đỉnh \[I\left[ { - 2;4} \right]\], nhận đường thẳng \[x = - 2\] làm trục đối xứng.
Đồ thị đi qua điểm \[O\left[ {0;0} \right],A\left[ { - 4;0} \right]\]
Đồ thị:
2] Hoành độ giao điểm của đồ thị \[y = f\left[ x \right]\] và đường thẳng \[y = m + 3\] là nghiệm của phương trình \[ - {x^2} - 4x = m + 3\].
Do đó phương trình \[ - {x^2} - 4x = m + 3\] có 2 nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \[y = m + 3\] cắt đồ thị tại 2 điểm có hoành độ âm phân biệt.
Từ đồ thị ta có đường thẳng \[y = m + 3\] cắt đồ thị tại 2 điểm có hoành độ âm phân biệt khi và chỉ khi \[0 < m + 3 < 4 \Leftrightarrow - 3 < m < 1\].
Vậy \[ - 3 < m < 1\].
Câu 4. [VD]
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho \[M\left[ {3; - 1} \right],N\left[ {1;2} \right],P\left[ {2; - 4} \right]\].
1] Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác \[MNP\] và tọa độ điểm \[D\] sao cho \[MNGD\] là hình bình hành.
2] Tam giác \[ABC\] nhận \[M,N,P\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,BC,AC\]. Tính tọa độ các điểm \[A,B,C\].
Phương pháp
1] Trọng tâm G của tam giác MNP là \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3}\end{array} \right.\]
\[MNGD \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {DG} \]
2] Sử dụng tính chất trung điểm \[M\] là trung điểm của \[AB\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MB} \].
Hiệu của hai vectơ: \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \].
Cách giải
1] Trọng tâm G của tam giác MNP nên tọa độ của G là:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = 2\\{y_G} = \dfrac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = - 1\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}MNGD \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {DG} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = {x_G} - {x_N} + {x_M} = 4\\{y_D} = {y_G} - {y_N} + {y_M} = - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow D\left[ {4; - 4} \right]\end{array}\]
2] \[M,N,P\] lần lượt là trung điểm của \[AB,BC,AC\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {PC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MP} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow {BN} \]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = {x_N} + {x_M} - {x_P} = 2\\{y_B} = {y_N} + {y_M} - {y_P} = 5\end{array} \right.\]
M là trung điểm của AB nên \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2{{\rm{x}}_M} - {x_B}\\{y_A} = 2{y_M} - {y_B}\end{array} \right. \Rightarrow A\left[ {4; - 7} \right]\]
N là trung điểm của BC nên \[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{{\rm{x}}_N} - {x_B}\\{y_C} = 2{y_N} - {y_B}\end{array} \right. \Rightarrow C\left[ {0; - 1} \right]\]
Vậy \[A\left[ {4; - 7} \right],B\left[ {2;5} \right],C\left[ {0; - 1} \right]\].
Câu 5. [VD]
Tìm a, b, c để đồ thị hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] là đường Parabol có đỉnh \[I\left[ {2; - 2} \right]\] và đi qua điểm \[A\left[ {0;2} \right]\].
Phương pháp
Đồ thị hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đỉnh \[I\left[ { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right]\].
\[A\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] thuộc đồ thị \[ \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b{x_0} + c\].
Cách giải
Đồ thị hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đỉnh \[I\left[ { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right]\] nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = 2\\ - 2 = a{.2^2} + b.2 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4{\rm{a}}\\4{\rm{a}} + 2b + c = - 2\end{array} \right.\left[ 1 \right]\]
\[A\left[ {0;2} \right]\] thuộc đồ thị nên \[c = 2\]. Thay vào [1] ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}b + 4{\rm{a}} = 0\\4{\rm{a}} + 2b = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\end{array} \right.\].
Vậy \[a = 1,b = - 4,c = 2\]
Câu 6. [VDC]
1] Cho tam giác \[ABC\] có trọng tâm G và hai điểm \[P,Q\] thỏa mãn \[\overrightarrow {PA} = 2\overrightarrow {PB} \], \[3\overrightarrow {QA} = - 2\overrightarrow {QC} \]. Cứng minh rằng ba điểm \[P,Q,G\] thẳng hàng.
2] Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh a nội tiếp đường tròn \[\left[ O \right]\]. Điểm \[M\] thuộc \[\left[ O \right]\]. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\]
Phương pháp
1] P, Q, G thẳng hàng khi và chỉ khi \[\exists k \ne 0:\overrightarrow {PG} = k\overrightarrow {PQ} \].
2]
B1: Gọi N là trung điểm của AB, O là điểm đối xứng O qua N, M' đối xứng M qua N.
B2: Tìm quỹ tích điểm M.
B3: \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right| = CM'\] . Đánh giá CM tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cần tìm.
Cách giải
1]
\[\overrightarrow {PA} = 2\overrightarrow {PB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AP} \]
\[\begin{array}{l}3\overrightarrow {QA} = - 2\overrightarrow {QC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {QC} \\ = \overrightarrow {AQ} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AQ} = \dfrac{5}{2}\overrightarrow {AQ} \end{array}\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AQ} - \overrightarrow {AP} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \]
\[\overrightarrow {PG} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AG}\]
\[\begin{array}{l} = - 2\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right]\\ = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{3}\overrightarrow {AB} = \dfrac{5}{6}\left[ {\dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} } \right]\\ = \dfrac{5}{6}\overrightarrow {PQ} \end{array}\]
Suy ra \[\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PG} \] cùng phương. Hay P, Q, G thẳng hàng.
2]
Gọi N là trung điểm của AB, O là điểm đối xứng O qua N, M đối xứng M qua N. Khi đó:
\[\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MC} } \right|\\ = \left| {\overrightarrow {MM'} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CM'} } \right| = CM'\end{array}\]
Ta có tam giác \[ABC\] đều cạnh a nội tiếp đường tròn \[\left[ O \right]\] nên \[\left[ O \right]\] có bán kính \[\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\].
Mặt khác, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {O'N} = \overrightarrow {NO} \\\overrightarrow {M'N} = \overrightarrow {NM} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {O'M'} = \overrightarrow {MO} \]
\[ \Rightarrow O'M' = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\].
Do O, N cố định nên M luôn thuộc đường tròn tâm O, bán kính \[\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\].
\[ \Rightarrow CO \le CM' \le CC'\] [C đối xứng C qua N].
\[ \Rightarrow \min \left[ {\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|} \right] = a\] khi \[CM' = a = CO \Leftrightarrow M' \equiv O\]. Suy ra O là điểm đối xứng M qua N. Hay M, C, O thẳng hàng.
\[\begin{array}{l}\max \left[ {\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|} \right] = CC'\\ = 2CN = 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow C' \equiv M' \Leftrightarrow C \equiv M\end{array}\]