Đề bài
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \[\displaystyle Ox\] của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[\displaystyle y = {\sin ^{\frac{3}{2}}}x,y = 0,x = 0\] và \[\displaystyle x = \frac{\pi }{2}\] bằng
A. \[\displaystyle 1\] B. \[\displaystyle \frac{2}{7}\]
C. \[\displaystyle 2\pi \] D. \[\displaystyle \frac{2}{3}\pi \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính thể tích \[\displaystyle V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left[ x \right]dx} \].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\displaystyle V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {{{\sin }^{\frac{3}{2}}}x} \right]}^2}dx} \] \[\displaystyle = \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}xdx} \] \[\displaystyle = \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right]\sin xdx} \]
\[\displaystyle = - \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right]d\left[ {\cos x} \right]} \] \[\displaystyle = - \pi .\left. {\left[ {\cos x - \frac{{{{\cos }^3}x}}{3}} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\] \[\displaystyle = - \pi \left[ { - 1 + \frac{1}{3}} \right] = \frac{{2\pi }}{3}\]
Chọn D.