Đề bài - bài 28 trang 9 sbt hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \,\). Lấy các điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(\overrightarrow {CA'} = m\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {CB'} = n\overrightarrow b \,\,\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(BA\). Hãy biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {CI} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow a \,\) và \(\overrightarrow b \,\).

Lời giải chi tiết

Vì \(I\) nằm trên \(AB\) và \(AB\) nên có các số \(x, y\) sao cho:

\(\overrightarrow {CI} = x\overrightarrow {CA'} + (1 - x)\overrightarrow {CB}\)

\( = y\overrightarrow {CA} + (1 - y)\overrightarrow {CB'} \)

hay

\(x.m\overrightarrow a + (1 - x)\overrightarrow b \)

\(= y\overrightarrow a + (1 - y)n\overrightarrow b \).

Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) không cùng phương nên từ đẳng thức cuối cùng ta suy ra

\(mx = y\) và \((1-x) = n(1-y)\).

Từ đó ta có \(1- x = n(1-mx) = n-mnx\) hay\(x = \dfrac{{1 - n}}{{1 - mn}}\).

Vậy\(\overrightarrow {CI} = \dfrac{{m(1 - n)}}{{1 - mn}}\overrightarrow a + \left( {1 - \dfrac{{1 - n}}{{1 - mn}}} \right)\overrightarrow b \)

\(= \dfrac{{m(1 - n)}}{{1 - mn}}\overrightarrow a + \dfrac{{n(1 - m)}}{{1 - mn}}\overrightarrow b .\)