Công thức tính nhanh thể tích lăng trụ tam giác đều
|
Thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là: Show
A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
Cách tính thể tích hình lăng trụ tam giác thường dễ được cho là cũng giống như cách tính thể tích hình chóp. Tuy nhiên, hình lăng trụ tam giác là một khối đa diện ba mặt với hai đáy song song hình tam giác và ba mặt hình chữ nhật. Để tính thể tích hình lăng trụ tam giác, bạn chỉ cần tìm diện tích của một trong hai đáy hình tam giác và nhân với chiều cao của hình lăng trụ.
Yêu cầu tìm thể tích của hình lăng trụ tam giác vuông, diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h= AA '= BB' = CC '(Hình 306). Chúng ta vẽ riêng đáy của lăng trụ, tức là tam giác ABC (Hình 307, a), và hoàn thành nó thành một hình chữ nhật, từ đó chúng ta vẽ một đường thẳng KM qua đỉnh B || AC và từ các điểm A và C, chúng tôi thả AF và CE vuông góc xuống đường thẳng này. Ta được hình chữ nhật ACEF. Sau khi vẽ đường cao BD của tam giác ABC, ta sẽ thấy hình chữ nhật ACEF được chia thành 4 tam giác vuông. Hơn nữa, \ (\ Delta \) ALL = \ (\ Delta \) BCD và \ (\ Delta \) BAF = \ (\ Delta \) BAD. Vậy diện tích hình chữ nhật ACEF gấp đôi nhiều khu vực hơn tam giác ABC, tức là bằng 2S. Đối với hình lăng trụ này có đáy là ABC, chúng ta thêm các hình lăng trụ có đáy là ALL và BAF và chiều cao h(Hình 307, b). Ta được một hình chữ nhật có đáy là hình bình hành ACEF. Nếu cắt hình bình hành này bằng một mặt phẳng đi qua các đường thẳng BD và BB ', ta sẽ thấy hình bình hành là hình chữ nhật gồm 4 lăng trụ có các đáy là BCD, ALL, BAD và BAF. Các lăng trụ có đáy là BCD và ALL có thể được kết hợp, vì các đáy của chúng bằng nhau (\ (\ Delta \) BCD = \ (\ Delta \) BCE) và các cạnh bên của chúng, vuông góc với một mặt phẳng, cũng bằng nhau. Do đó, thể tích của các lăng trụ này bằng nhau. Thể tích của các lăng trụ có đáy BAD và BAF cũng bằng nhau. Do đó, suy ra rằng thể tích của một lăng trụ tam giác đã cho có đáy ABC bằng một nửa thể tích hình khối với cơ sở ACEF. Chúng ta biết rằng thể tích của một hình bình hành hình chữ nhật bằng với sản phẩm diện tích của cơ sở của nó với chiều cao, nghĩa là trường hợp này bằng 2S h. Do đó thể tích của khối lăng trụ tam giác vuông này bằng S h. Thể tích của hình lăng trụ tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao. 2. Thể tích của khối lăng trụ đa giác thẳng.Để tìm thể tích của một hình lăng trụ đa giác thẳng, chẳng hạn như một hình ngũ giác, với diện tích đáy là S và chiều cao h, hãy chia nó thành các lăng trụ tam giác (Hình 308).Ký hiệu diện tích đáy của các lăng trụ tam giác qua S 1, S 2, S 3 và thể tích của khối lăng trụ đa giác này qua V, ta được: V = S 1 h+ S2 h+ S 3 h, hoặc V = (S 1 + S 2 + S 3) h. Và cuối cùng: V = S h. Theo cách tương tự, công thức tính thể tích của một lăng trụ thẳng có đa giác đều ở đáy của nó được suy ra. Có nghĩa, Thể tích của một hình lăng trụ thẳng đều bằng tích của diện tích đáy và chiều cao. Khối lượng lăng kínhĐịnh lý. Thể tích của hình lăng trụ bằng diện tích của đáy nhân với chiều cao. Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý này cho một lăng trụ tam giác, và sau đó cho một đa giác. 1) Vẽ (Hình 95) qua cạnh AA 1 của lăng trụ tam giác ABCA 1 B 1 C 1 một mặt phẳng song song với mặt BB 1 C 1 C và qua cạnh CC 1 - mặt phẳng song song với mặt AA 1 B 1 B; sau đó ta tiếp tục các mặt phẳng của cả hai đáy của lăng trụ cho đến khi chúng cắt nhau với các mặt phẳng đã vẽ. Khi đó ta được hình bình hành BD 1, được chia bởi mặt phẳng có đường chéo AA 1 C 1 C thành hai lăng trụ tam giác (một trong hai lăng trụ đã cho). Hãy chứng minh rằng các lăng trụ này bằng nhau. Để làm điều này, chúng tôi vẽ một mặt cắt vuông góc A B C D. Trong phần này, bạn nhận được một hình bình hành, đó là một đường chéo át chủ chia thành hai tam giác bằng nhau. Hình lăng trụ này bằng với hình lăng trụ thẳng, có đáy là \ (\ Delta \) abc, và chiều cao là cạnh AA 1. Khác lăng kính tam giác bằng với một dòng có cơ sở là \ (\ Delta \) adc, và chiều cao là cạnh AA 1. Nhưng hai lăng trụ thẳng có đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì bằng nhau (vì chúng kết hợp với nhau khi nhúng), nghĩa là hai lăng trụ ABCA 1 B 1 C 1 và ADCA 1 D 1 C 1 bằng nhau. Từ đó suy ra rằng thể tích của khối lăng trụ này bằng một nửa thể tích của hình bình hành BD 1; Do đó, biểu thị chiều cao của lăng trụ qua H, ta được: $$ V _ (\ Delta ex) = \ frac (S_ (ABCD) \ cdot H) (2) = \ frac (S_ (ABCD)) (2) \ cdot H = S_ (ABC) \ cdot H $$ 2) Vẽ qua cạnh AA 1 của lăng trụ đa giác (Hình 96) các đường chéo AA 1 C 1 C và AA 1 D 1 D. Sau đó khối lăng trụ này sẽ được cắt thành một số khối lăng trụ tam giác. Tổng thể tích của các lăng trụ này là thể tích mong muốn. Nếu chúng ta biểu thị các khu vực của căn cứ của họ bằng b 1 , b 2 , b 3, và tổng chiều cao qua H, chúng ta nhận được: thể tích của một hình lăng trụ đa giác = b 1H + b 2H + b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H = = (diện tích ABCDE) H. Hậu quả. Nếu V, B và H là các số biểu thị thể tích, diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ theo đơn vị tương ứng thì theo chứng minh đã được chứng minh, ta có thể viết: Vật liệu khácThể tích của khối lăng trụ. Giải quyết vấn đề Hình học là công cụ mạnh mẽ nhất để cải thiện các khả năng tinh thần của chúng ta và cho phép chúng ta suy nghĩ và lập luận một cách chính xác. G. Galileo Mục đích của bài học:
Kiểu bài: bài vận dụng kiến thức, kĩ năng và năng lực. Trang thiết bị: thẻ điều khiển, máy chiếu media, trình chiếu “Bài học. Thể tích lăng kính ”, máy tính. Trong các lớp học
Trao đổi vở, kiểm tra lời giải trên các slide và chấm điểm (đánh dấu 10 nếu bài soạn) Rút ra một vấn đề và giải quyết nó. Học sinh bảo vệ vấn đề mà mình đã soạn thảo ở bảng đen. Hình 6 và Hình 7. Chương 2, §3 Chương 2, §3 Chương 2, § 3 Mục đích: tổng hợp kết quả khởi động lý thuyết (học sinh bỏ điểm nhau), việc nghiên cứu các cách giải quyết vấn đề trong chủ đề. Trên sân khấu này giáo viên tổ chức công việc trực tiếp về việc lặp lại các phương pháp giải các bài toán về độ phẳng, các công thức về độ phẳng. Lớp học được chia thành hai nhóm, một số giải quyết vấn đề, một số khác làm việc trên máy tính. Sau đó, họ thay đổi. Mời học sinh giải tất cả các câu số 8 (bằng miệng), số 9 (bằng miệng). Sau khi họ được chia thành các nhóm và vượt qua để giải quyết các vấn đề số 14, số 30, số 32. Chương 2, §3, trang 66-67 Bài 8. Tất cả các cạnh của hình lăng trụ tam giác đều bằng nhau. Tìm thể tích của khối lăng trụ nếu diện tích thiết diện của mặt phẳng đi qua cạnh của đáy dưới và chính giữa mặt bên của đáy trên là cm (Hình 11). Chương 2, §3, trang 66-67 Chương 2, §3, trang 66-67 Chương 2, §3, trang 66-67 Chương 2, §3, trang 66-67 Trong khi giải quyết vấn đề, học sinh so sánh câu trả lời của mình với câu trả lời của giáo viên. Đây là một giải pháp mẫu cho vấn đề với các nhận xét chi tiết ... Công việc cá nhân giáo viên với học sinh “mạnh” (10 phút). 1. Mặt bên của hình lăng trụ tam giác đều và chiều cao là 5. Tìm thể tích của khối lăng trụ. 1) 152) 45 3) 104) 125) 18 2. Chọn câu phát biểu đúng. 1) Thể tích của hình lăng trụ vuông có đáy là tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao. 2) Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều được tính theo công thức V \ u003d 0,25a 2 h - trong đó a là cạnh của đáy, h là chiều cao của lăng trụ. 3) Thể tích của hình lăng trụ thẳng bằng nửa tích của diện tích đáy và chiều cao. 4) Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều được tính bằng công thức V \ u003d a 2 h-trong đó a là cạnh của đáy, h là chiều cao của lăng trụ. 5) Thể tích của khối lăng trụ lục giác đều được tính bằng công thức V \ u003d 1,5a 2 h, trong đó a là cạnh bên, h là chiều cao của lăng trụ. 3. Cạnh bên của hình lăng trụ tam giác đều bằng. Một mặt phẳng được vẽ qua mặt bên của đế dưới và đỉnh đối diện của đáy trên, đi với mặt phẳng một góc 45o so với mặt đáy. Tìm thể tích của khối lăng trụ. 1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125 4. Mặt đáy của hình lăng trụ thẳng là hình thoi, cạnh bên là 13 và một trong các đường chéo là 24. Tìm thể tích của khối lăng trụ nếu đường chéo của mặt bên là 14. TẠI chương trình giáo dục Trong quá trình hình học đặc, việc nghiên cứu các hình ba chiều thường bắt đầu với một cơ thể hình học đơn giản - một khối đa diện lăng trụ. Vai trò của các cơ sở của nó được thực hiện bởi 2 đa giác bằng nhau nằm trong mặt phẳng song song. Trường hợp đặc biệt là hình lăng trụ tứ giác đều. Các đáy của nó là 2 tứ giác đều, các cạnh bên vuông góc với nhau, có dạng là hình bình hành (hoặc hình chữ nhật nếu hình lăng trụ không nghiêng). Một lăng kính trông như thế nàoHình lăng trụ tứ giác đều là hình lục giác đều có 2 đáy là hình vuông và các mặt bên được biểu diễn bằng hình chữ nhật. Một cái tên khác cho cái này hình học- một đoạn thẳng song song.
Bạn cũng có thể xem trong hình yếu tố cần thiết, trong đó nó bao gồm cơ thể hình học . Chúng thường được gọi là: Đôi khi trong các bài toán về hình học, bạn có thể tìm thấy khái niệm về mặt cắt. Định nghĩa sẽ giống như sau: một mặt cắt là tất cả các điểm của một vật thể tích thuộc mặt phẳng cắt. Mặt cắt vuông góc (cắt các cạnh của hình một góc 90 độ). Vì lăng kính hình chữ nhật phần đường chéo cũng được coi là ( số tiền tối đa các mặt cắt có thể dựng - 2) đi qua 2 cạnh và đường chéo của mặt đáy. Nếu mặt cắt được vẽ theo cách mà mặt phẳng cắt không song song với mặt đáy hoặc mặt bên, thì kết quả là một hình lăng trụ bị cắt. Các tỉ lệ và công thức khác nhau được sử dụng để tìm các phần tử của lăng trụ đã rút gọn. Một số trong số chúng được biết đến từ khóa học về phép đo phẳng (ví dụ, để tìm diện tích của đáy của một hình lăng trụ, chỉ cần nhớ lại công thức về diện tích của một hình vuông là đủ). Diện tích và thể tích bề mặtĐể xác định thể tích của một lăng trụ bằng công thức, bạn cần biết diện tích của \ u200b \ u200bits cơ sở và chiều cao: V = Sprim h Vì đáy của hình lăng trụ tứ diện đều là hình vuông có cạnh một, Bạn có thể viết công thức ở dạng chi tiết hơn: V = a² h Nếu chúng ta đang nói về một khối lập phương - một lăng trụ đều với chiều dài bằng nhau, chiều rộng và chiều cao, khối lượng được tính như sau: Để hiểu cách tìm diện tích mặt bên của hình lăng trụ, bạn cần hình dung độ quét của nó. Có thể thấy từ bản vẽ rằng bề mặt bên tạo thành từ 4 hình chữ nhật bằng nhau. Diện tích của nó được tính bằng tích của chu vi của cơ sở và chiều cao của hình: Sside = Pos h Vì chu vi hình vuông là P = 4a, công thức có dạng: Sside = 4a h Đối với khối lập phương: Sside = 4a² Để tính tổng diện tích bề mặt của hình lăng trụ, hãy thêm 2 diện tích đáy vào diện tích mặt bên: Sfull = Sside + 2Sbase Khi áp dụng cho hình lăng trụ đều tứ giác, công thức có dạng: Sfull = 4a h + 2a² Đối với diện tích bề mặt của một khối lập phương: Sfull = 6a²
Tìm các yếu tố của lăng kínhThông thường có những bài toán trong đó thể tích được cho trước hoặc giá trị của diện tích bề mặt bên, trong đó cần xác định độ dài của cạnh của đáy hoặc chiều cao. Trong những trường hợp như vậy, các công thức có thể được suy ra:
Sdiag = ah√2 Để tính đường chéo của lăng trụ, công thức được sử dụng: dprize = √ (2a² + h²) Để hiểu cách áp dụng các tỷ lệ trên, bạn có thể thực hành và giải một vài công việc đơn giản. Ví dụ về các vấn đề với giải phápDưới đây là một số nhiệm vụ xuất hiện trong các kỳ thi cuối cấp tiểu bang về môn toán. Bài tập 1. Cho cát vào hộp có dạng hình lăng trụ tứ giác đều. Chiều cao của đáy là 10 cm. Hỏi mức cát sẽ như thế nào nếu chuyển nó vào một thùng có cùng hình dạng nhưng chiều dài đáy lớn hơn 2 lần? Nó nên được lập luận như sau. Lượng cát trong thùng thứ nhất và thùng thứ hai không thay đổi, tức là thể tích của chúng trong thùng chứa là như nhau. Bạn có thể xác định chiều dài của cơ sở là một. Trong trường hợp này, đối với hộp thứ nhất, thể tích của chất sẽ là: V₁ = ha² = 10a² Đối với hộp thứ hai, chiều dài của cơ sở là 2a, nhưng độ cao của mực cát là không xác định: V₂ = h (2a) ² = 4ha² Vì V₁ = V₂, các biểu thức có thể được coi là: 10a² = 4ha² Sau khi giảm cả hai vế của phương trình đi a², ta nhận được: Kết quả là cấp độ mới cát sẽ được h = 10/4 = 2,5 cm. Nhiệm vụ 2. ABCDA₁B₁C₁D₁ là hình lăng trụ đều. Biết rằng BD = AB₁ = 6√2. Tìm tổng diện tích bề mặt của vật thể.
Vì chúng ta đang nói về một lăng trụ đều, chúng ta có thể kết luận rằng đáy là một hình vuông với đường chéo bằng 6√2. Đường chéo của mặt bên có cùng giá trị, do đó, mặt bên cũng có dạng hình vuông, bằng cơ sở. Nó chỉ ra rằng cả ba kích thước - chiều dài, chiều rộng và chiều cao - đều bằng nhau. Ta có thể kết luận rằng ABCDA₁B₁C₁D₁ là một hình lập phương. Chiều dài của bất kỳ cạnh nào được xác định thông qua đường chéo đã biết: a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6 Tổng diện tích bề mặt được tìm thấy theo công thức của khối lập phương: Đầy đủ = 6a² = 6 6² = 216 Nhiệm vụ 3. Căn phòng đang được sửa sang lại. Được biết, nền nhà của nó có dạng hình vuông với diện tích 9 m². Chiều cao của căn phòng là 2,5 m. Chi phí đóng tường thấp nhất cho một căn phòng là bao nhiêu nếu 1 m² có giá 50 rúp? Vì sàn nhà và trần nhà là hình vuông, tức là hình tứ giác đều, và các bức tường của nó vuông góc với các mặt nằm ngang, nên chúng ta có thể kết luận rằng nó là một hình lăng trụ đều. Cần xác định diện tích bề mặt bên của nó. Chiều dài của căn phòng là a = √9 = 3 m. Hình vuông sẽ được bao phủ bởi giấy dán tường Sside = 4 3 2,5 = 30 m². Chi phí thấp nhất của giấy dán tường cho căn phòng này sẽ là 50 30 = 1500 rúp. Như vậy, để giải các bài toán về hình lăng trụ chữ nhật, chỉ cần tính được diện tích và chu vi của hình vuông, hình chữ nhật cũng như biết các công thức tính thể tích và diện tích bề mặt là đủ. Cách tìm diện tích của một khối lập phươngTrong vật lý, một lăng kính tam giác làm bằng thủy tinh thường được dùng để nghiên cứu quang phổ ánh sáng trắng, bởi vì nó có thể phân hủy nó thành các thành phần riêng biệt. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét công thức khối lượng Hình lăng trụ tam giác là gì?Trước khi đưa ra công thức thể tích, hãy xem xét các tính chất của hình này. Để có được điều này, bạn cần lấy một hình tam giác có hình dạng tùy ý và di chuyển nó song song với chính nó trong một khoảng cách nhất định. Các đỉnh của tam giác ở vị trí ban đầu và cuối cùng nên được nối với nhau bằng các đoạn thẳng. Nhận con số thể tích gọi là lăng trụ đứng tam giác. Nó có năm mặt. Hai trong số chúng được gọi là cơ sở: chúng song song và bằng nhau. Các đáy của hình lăng trụ đang xét là các hình tam giác. Ba cạnh còn lại là hình bình hành. Ngoài các mặt bên, hình lăng trụ đang xét được đặc trưng bởi sáu đỉnh (ba đối với mỗi đáy) và chín cạnh (6 cạnh nằm trong mặt phẳng của các mặt đáy và 3 cạnh được tạo thành bởi giao của các mặt). Nếu các cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì hình lăng trụ như vậy được gọi là hình chữ nhật. Sự khác biệt giữa hình lăng trụ tam giác và tất cả các hình khác thuộc loại này là nó luôn lồi (bốn, năm, ..., hình lăng trụ n cũng có thể lõm). nó hình chữ nhật, dựa trên một tam giác đều. Thể tích của khối lăng trụ tam giác loại tổng quátLàm thế nào để tìm thể tích của một hình lăng trụ tam giác? công thức trong nhìn chung tương tự như đối với lăng kính thuộc bất kỳ loại nào. Nó có ký hiệu toán học sau: Ở đây h là chiều cao của hình, tức là khoảng cách giữa các đáy của nó, S o là diện tích của tam giác. Giá trị của S o có thể được tìm thấy nếu biết một số tham số cho tam giác, ví dụ, một cạnh và hai góc, hoặc hai cạnh và một góc. Diện tích hình tam giác bằng một nửa tích chiều cao và độ dài cạnh hạ chiều cao này. Còn chiều cao h của hình bên để hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật dễ tìm nhất. TẠI trường hợp cuối cùng h trùng với độ dài cạnh bên. Thể tích của lăng trụ tam giác đềuCông thức chung Có thể sử dụng thể tích của khối lăng trụ tam giác ở phần trước của bài viết để tính giá trị tương ứng của khối lăng trụ tam giác đều. Vì đáy của nó là một tam giác đều nên diện tích của nó là: Bất kỳ ai cũng có thể nhận được công thức này nếu họ nhớ rằng trong Tam giác đều tất cả các góc bằng nhau và bằng 60 o. Ở đây ký hiệu a là độ dài cạnh của tam giác. Chiều cao h là chiều dài của cạnh. Nó không liên quan gì đến nền tảng. lăng kính bên phải và có thể nhận giá trị tùy ý. Kết quả là, công thức về thể tích của lăng trụ tam giác đúng loại trông giống như vậy: Sau khi tính toán gốc, chúng ta có thể viết lại công thức này như sau: Do đó, để tìm thể tích của một lăng trụ đều có đáy là tam giác, cần phải bình phương cạnh của đáy, nhân giá trị này với chiều cao rồi nhân giá trị thu được với 0,433. |
