Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp
Show
Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a,BC=4a,SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122 Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên. Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó. Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng
Phương pháp chung:
Dạng 1: Hình chóp đều.
Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$. Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho. => Hướng dẫn giải Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: $r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a. Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a \sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $. Bài tập áp dụng Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên. => Hướng dẫn giải Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Giải: Giao tuyến của (SAB) với (ABCD) là AB. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$. Bài tập áp dụng: Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. => Hướng dẫn giải Page 2
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra $SO \perp (ABCD)$. $AO= \frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$ Xét tam giác SAO vuông tại O ta có $SO= \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a \sqrt{34}}{2}.$ Áp dụng công thức $R=\frac{SA^{2}}{2. SO}=\frac{9a \sqrt{34}}{34}$.
Hướng dẫn học sinh nắm vững, áp dụng các công thức và dạng bài tập về tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp đa diện.
Hướng dẫn học sinh nắm vững, áp dụng các công thức và dạng bài tập về tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp đa diện.
Chuyên đề: Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp của đa diện A. Lý thuyết I. Cạnh bên vuông góc với đáy
II. Chóp có các cạnh bên bằng nhau
Đặc biệt:
III. Mặt bên vuông góc với đáy
IV. Mặt cầu tổng quát
V. Mặt cầu nội tiếp
B. Bài tập I. Bài tập minh họa
Lời giải: Chọn A. Đây là bài thuộc dạng 1. ABCD là hình chữ nhật. \[AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}\]. \[{{R}_{D}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]. Nên \[{{R}^{2}}=R_{D}^{2}+\frac{S{{A}^{2}}}{4}={{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+\frac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}{4}={{a}^{2}}\Rightarrow R=a\].
Lời giải: Chọn C. Ta thấy bài trên thuộc dạng 2. Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Nên \[R=\frac{S{{A}^{2}}}{2\text{S}O}=\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}{2\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{C}^{2}}}}=\frac{3{{\text{a}}^{2}}}{2\sqrt{3{{\text{a}}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\frac{3\text{a}\sqrt{2}}{4}\].
Lời giải: Chọn A. Ta thấy bài toán trên thuộc dạng 3. Tam giác đều ABC cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \[{{R}_{1}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\] và đáy ABCD có bán kính đường tòn ngoại tiếp là \[{{R}_{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\]. Nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là \[R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{2\text{a}\sqrt{3}}{3}\].
Lời giải: Chọn B. Gọi E, F là trung điểm AB, CD. Khi đó \[\left( SEF \right)\bot \left( ABCD \right)\]. Kẻ \[SH\bot EF\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\]. Nên SH là đường cao của chóp. Ta có \[SE=\frac{a}{2}\] và \[SF=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]. Xét tam giác SEF có độ dài ba cạnh nên theo công thức Hê – rông ta tính được \[S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\frac{1}{2}EF.SH\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\]. Nên \[OH=OE-EH=\frac{a}{2}-\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{a}{4}\]. Ta có phương trình: \[{{\left( SH-x \right)}^{2}}+O{{H}^{2}}={{x}^{2}}+R_{D}^{2}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{4}-x \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}\]\[\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow R=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\].
Lời giải: Chọn A. Ta thấy bài toán thuộc dạng 5. Ta có: \[HA=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=HA.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a\]. \[SK=\sqrt{H{{K}^{2}}+S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{39}}{6}\]. Nên tổng diện tích 4 mặt của tứ diện là: \[S={{S}_{ABC}}+{{S}_{SAB}}+{{S}_{SBC}}+{{S}_{SAC}}={{S}_{ABC}}+3{{\text{S}}_{SBC}}\]\[=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}+3.\frac{1}{2}.BC.SK=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}+3.\left( \frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{39}}{6} \right)=\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}\]. Mà \[V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\]. Nên \[r=\frac{3V}{S}=\frac{3.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}}=\frac{-1+\sqrt{13}}{12}a\]. II. Bài tập tự luyện
Đáp án bài tập tự luyện Bài viết gợi ý: |