Công thức Bernoulli dụng để giải bài toán nào

Cho n phép thử được thực hiện đối với sự kiện A. Hãy giới thiệu các sự kiện sau: Аk - sự kiện А được thực hiện trong bài kiểm tra thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $. Khi đó $ \ bar [A] _ [k] $ là sự kiện ngược lại [sự kiện A không xảy ra trong lần thử thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $].

Thử nghiệm đồng đẳng và độc lập là gì

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là cùng loại đối với sự kiện A nếu xác suất của các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ là như nhau: $ P [A1] = P [A2] = \ dot = P [An] $ [nghĩa là xác suất xảy ra sự kiện A trong một lần thử là không đổi trong tất cả các lần thử].

Rõ ràng, trong trường hợp này, các xác suất sự kiện ngược lại cũng khớp: $ P [\ bar [A] _ [1]] = P [\ bar [A] _ [2]] = ... = P [\ bar [A] _ [n]] $.

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là độc lập đối với sự kiện A nếu các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ độc lập.

Trong trường hợp này

Trong trường hợp này, quyền bình đẳng được bảo toàn khi bất kỳ sự kiện nào Ak được thay thế bằng $ \ bar [A] _ [k] $.

Giả sử, liên quan đến sự kiện A, một chuỗi n tương tự kiểm tra độc lập. Ta ký hiệu: p - xác suất của biến cố A trong một phép thử; q là xác suất của biến cố ngược lại. Do đó P [Ak] = p, $ P [\ bar [A] _ [k]] = q $ với k bất kỳ và p + q = 1.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử, sự kiện A sẽ xảy ra đúng k lần [0 ≤ k ≤ n] được tính theo công thức:

$ P_ [n] [k] = C_ [n] ^ [k] p ^ [k] q ^ [n-k] $ [1]

Đẳng thức [1] được gọi là công thức Bernoulli.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử độc lập của cùng một loại sự kiện A sẽ xảy ra ít nhất k1 lần và nhiều nhất k2 lần được tính bằng công thức:

$ P_ [n] [k_ [1] \ le k \ le k_ [2]] = \ sum \ limit _ [k = k_ [1]] ^ [k_ [2]] C_ [n] ^ [k] p ^ [k] q ^ [n-k] $ [2]

Áp dụng công thức Bernoulli cho giá trị lớn n dẫn đến các phép tính rườm rà, vì vậy trong những trường hợp này tốt hơn nên sử dụng các công thức khác - các công thức tiệm cận.

Tổng quát về lược đồ Bernoulli

Hãy xem xét một bản tổng quát của lược đồ Bernoulli. Nếu trong một chuỗi n phép thử độc lập, mỗi phép thử có m kết quả không tương thích từng cặp và có thể có kết quả Ak với xác suất tương ứng Рk = рk [Аk]. Khi đó công thức phân phối đa thức là hợp lệ:

ví dụ 1

Xác suất mắc bệnh cúm trong thời kỳ có dịch là 0,4. Tìm xác suất để trong 6 nhân viên của công ty bị ốm.

1. chính xác là 4 nhân viên;
2. không quá 4 nhân viên.

Quyết định. 1] Rõ ràng, để giải quyết vấn đề này, công thức Bernoulli có thể áp dụng được, trong đó n = 6; k = 4; p = 0,4; q = 1-p = 0,6. Áp dụng công thức [1], ta nhận được: $ P_ [6] [4] = C_ [6] ^ [4] \ cdot 0,4 ^ [4] \ cdot 0,6 ^ [2] \ khoảng 0,138 $.

Để giải quyết vấn đề này, có thể áp dụng công thức [2], trong đó k1 = 0 và k2 = 4. Chúng ta có:

\ [\ begin [array] [l] [P_ [6] [0 \ le k \ le 4] = \ sum \ limit _ [k = 0] ^ [4] C_ [6] ^ [k] p ^ [ k] q ^ [6-k] = C_ [6] ^ [0] \ cdot 0,4 ^ [0] \ cdot 0,6 ^ [6] + C_ [6] ^ [1] \ cdot 0,4 ^ [1] \ cdot 0,6 ^ [5] + C_ [6] ^ [2] \ cdot 0,4 ^ [2] \ cdot 0,6 ^ [4] +] \\ [+ C_ [6] ^ [3] \ cdot 0,4 ^ [3] \ cdot 0,6 ^ [3] + C_ [6] ^ [4] \ cdot 0,4 ^ [4] \ cdot 0,6 ^ [2] \ khoảng 0,959.] \ end [mảng] \]

Cần lưu ý rằng nhiệm vụ này dễ giải quyết hơn khi sử dụng sự kiện ngược lại - hơn 4 nhân viên bị ốm. Sau đó, tính đến công thức [7] về xác suất của các sự kiện ngược lại, chúng ta thu được:

Trả lời: $ \ 0,959.

Ví dụ 2

Một bình đựng 20 viên bi trắng và 10 bi đen. 4 viên bi được lấy ra, và mỗi viên bi lấy ra được trả lại vào bình trước khi người tiếp theo được rút ra và các bóng trong bình được trộn lẫn. Tìm xác suất để trong 4 bi rút ra có 2 bi trắng như hình 1.

Bức tranh 1.

Quyết định. Hãy để sự kiện A bao gồm thực tế là - đã Quả bóng trắng. Khi đó các xác suất $ D [A] = \ frac [2] [3], \, \, D [\ overline [A]] = 1- \ frac [2] [3] = \ frac [1] [3] $.

Theo công thức Bernoulli, xác suất bắt buộc là $ D_ [4] [2] = N_ [4] ^ [2] \ left [\ frac [2] [3] \ right] ^ [2] \ left [\ frac [1] [3] \ right] ^ [2] = \ frac [8] [27] $.

Trả lời: $ \ frac [8] [27] $.

Ví dụ 3

Xác định xác suất để một gia đình có 5 người con, có không quá 3 bạn gái. Xác suất sinh con trai và con gái được giả định là như nhau.

Quyết định. Xác suất sinh con gái $ \ part = \ frac [1] [2], \, q = \ frac [1] [2] $ -xác suất sinh con trai. Trong một gia đình có không quá ba bé gái, nghĩa là một hoặc hai hoặc ba bé gái được sinh ra hoặc tất cả các bé trai trong gia đình.

Tìm xác suất để trong gia đình không có con gái nào sinh ra một, hai hoặc ba con gái: $ D_ [5] [0] = q ^ [5] = \ frac [1] [32] $,

\ \ \

Do đó, xác suất yêu cầu là $ D = D_ [5] [0] + D_ [5] [1] + D_ [5] [2] + D_ [5] [3] = \ frac [13] [16] $ .

Trả lời: $ \ frac [13] [16] $.

Ví dụ 4

Người bắn đầu tiên với một lần bắn có thể bắn trúng tốp 10 với xác suất 0,6, chín với xác suất 0,3 và tốp tám với xác suất 0,1. Xác suất để với 10 lần bắn, anh ta bắn trúng mười sáu lần, chín ba lần và tám lần tám?

Coi như Phân phối nhị thức, tính toán kỳ vọng, phương sai, chế độ toán học của nó. Sử dụng hàm MS EXCEL BINOM.DIST [], chúng ta sẽ vẽ đồ thị hàm phân phối và đồ thị mật độ xác suất. Hãy để chúng tôi ước tính tham số phân phối p, kỳ vọng toán học phân phối và độ lệch chuẩn. Cũng xem xét phân phối Bernoulli.

Sự định nghĩa. Hãy để chúng được giữ N các thử nghiệm, trong mỗi thử nghiệm chỉ có 2 sự kiện có thể xảy ra: sự kiện "thành công" với một xác suất P hoặc sự kiện "thất bại" với xác suất q = 1-p [cái gọi là Đề án Bernoulli,Bernoullithử nghiệm].

Xác suất nhận được chính xác x thành công trong những N các bài kiểm tra tương đương với:

Số lần thành công trong mẫu x là một biến ngẫu nhiên có Phân phối nhị thức[Tiếng Anh] Nhị thứcphân bổ] P và N– là các tham số của phân phối này.

Nhớ lại điều đó để áp dụng Đề án Bernoulli và tương ứng phân phối nhị thức, các điều kiện sau phải được đáp ứng:

• mỗi thử nghiệm phải có đúng hai kết quả, có điều kiện gọi là "thành công" và "thất bại".
• kết quả của mỗi thử nghiệm không được phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm trước đó [tính độc lập của thử nghiệm].
• tỉ lệ thành công P nên không đổi cho tất cả các thử nghiệm.

Phân phối nhị thức trong MS EXCEL

Trong MS EXCEL, bắt đầu từ phiên bản 2010, cho Phân phối nhị thức có một hàm BINOM.DIST [], tên tiêng Anh- BINOM.DIST [], cho phép bạn tính xác suất để mẫu là chính xác X"thành công" [tức là hàm mật độ xác suất p [x], xem công thức ở trên], và hàm phân phối tích phân[xác suất rằng mẫu sẽ có x hoặc ít hơn "thành công", bao gồm cả 0].

Trước MS EXCEL 2010, EXCEL có hàm BINOMDIST [], hàm này cũng cho phép bạn tính toán Chức năng phân phối và mật độ xác suất p [x]. BINOMDIST [] được để lại trong MS EXCEL 2010 để tương thích.

Tệp ví dụ chứa đồ thị mật độ phân phối xác suất và .

Phân phối nhị thức có chỉ định B[N; P] .

Ghi chú: Đối với tòa nhà hàm phân phối tích phân loại biểu đồ phù hợp hoàn hảo Lịch trình, vì mật độ phân phối – Biểu đồ với nhóm. Để biết thêm thông tin về cách xây dựng biểu đồ, hãy đọc bài viết Các loại biểu đồ chính.

Ghi chú: Để thuận tiện cho việc viết công thức trong tệp ví dụ, Tên cho các tham số đã được tạo Phân phối nhị thức: n và p.

Tệp ví dụ hiển thị các phép tính xác suất khác nhau bằng cách sử dụng các hàm MS EXCEL:

Như đã thấy trong hình trên, người ta giả định rằng:

• Tập hợp vô hạn mà từ đó mẫu được tạo ra chứa 10% [hoặc 0,1] phần tử tốt [tham số P, đối số hàm thứ ba = BINOM.DIST []]
• Để tính xác suất trong một mẫu có 10 phần tử [tham số N, đối số thứ hai của hàm] sẽ có đúng 5 phần tử hợp lệ [đối số thứ nhất], bạn cần viết công thức: = BINOM.DIST [5, 10, 0,1, FALSE]
• Phần tử cuối cùng, thứ tư được đặt = FALSE, tức là giá trị hàm được trả về mật độ phân phối.

Nếu giá trị của đối số thứ tư = TRUE, thì hàm BINOM.DIST [] trả về giá trị hàm phân phối tích phân hoặc đơn giản Chức năng phân phối. Trong trường hợp này, chúng ta có thể tính xác suất để số phần tử tốt trong mẫu sẽ là phạm vi nhất định, ví dụ: 2 hoặc ít hơn [bao gồm cả 0].

Để làm điều này, bạn cần viết công thức:
= BINOM.DIST [2, 10, 0,1, TRUE]

Ghi chú: Với giá trị không nguyên của x,. Ví dụ: các công thức sau sẽ trả về cùng một giá trị:
= BINOM.DIST [ 2 ; mười; 0,1; THÀNH THẬT]
= BINOM.DIST [ 2,9 ; mười; 0,1; THÀNH THẬT]

Ghi chú: Trong tệp ví dụ mật độ xác suất và Chức năng phân phối cũng được tính bằng định nghĩa và hàm COMBIN [].

Các chỉ số phân phối

TẠI tập tin ví dụ trên trang tính Ví dụ có các công thức tính một số chỉ tiêu phân phối:

• = n * p;
• [độ lệch chuẩn bình phương] = n * p * [1-p];
• = [n + 1] * p;
• = [1-2 * p] * ROOT [n * p * [1-p]].

Chúng tôi suy ra công thức kỳ vọng toán học Phân phối nhị thức sử dụng Đề án Bernoulli.

A-priory giá trị ngẫu nhiên X trong Đề án Bernoulli[Biến ngẫu nhiên Bernoulli] có Chức năng phân phối:

Phân phối này được gọi là Phân phối Bernoulli.

Ghi chú: Phân phối Bernoulli – trương hợp đặc biệt Phân phối nhị thức với tham số n = 1.

Hãy tạo 3 mảng gồm 100 số với xác suất khác nhau thành công: 0,1; 0,5 và 0,9. Để làm điều này, trong cửa sổ Tạo số ngẫu nhiênđặt các tùy chọn sau với mỗi xác suất p:

Ghi chú: Nếu bạn đặt tùy chọn Phân tán ngẫu nhiên [Hạt giống ngẫu nhiên], sau đó bạn có thể chọn một tập hợp ngẫu nhiên số được tạo. Ví dụ: bằng cách đặt tùy chọn này = 25, bạn có thể tạo các bộ số ngẫu nhiên giống nhau trên các máy tính khác nhau [tất nhiên, nếu các tham số phân phối khác giống nhau]. Giá trị tùy chọn có thể nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 32,767. Tên tùy chọn Phân tán ngẫu nhiên có thể nhầm lẫn. Sẽ tốt hơn nếu dịch nó thành Đặt số với các số ngẫu nhiên.

Kết quả là ta sẽ có 3 cột gồm 100 số, dựa vào đó chẳng hạn ta có thể ước lượng xác suất thành công P theo công thức: Số lần thành công / 100[cm. trang tệp ví dụ Tạo Bernoulli].

Ghi chú: Vì Bản phân phối của Bernoulli với p = 0,5, bạn có thể sử dụng công thức = RANDBETWEEN [0; 1], tương ứng với.

Sinh số ngẫu nhiên. Phân phối nhị thức

Giả sử có 7 mặt hàng bị lỗi trong mẫu. Điều này có nghĩa là "rất có thể" tỷ lệ sản phẩm bị lỗi đã thay đổi. P, đó là một đặc điểm của quy trình sản xuất của chúng tôi. Mặc dù tình huống này là "rất có thể xảy ra", nhưng có khả năng xảy ra [rủi ro alpha, lỗi loại 1, "báo động sai"] P không thay đổi, và số lượng sản phẩm bị lỗi tăng lên là do lấy mẫu ngẫu nhiên.

Như có thể thấy trong hình dưới đây, 7 là số sản phẩm bị lỗi có thể chấp nhận được cho một quá trình với p = 0,21 ở cùng một giá trị Alpha. Điều này minh họa rằng khi vượt quá ngưỡng các mặt hàng bị lỗi trong một mẫu, P"Có thể" tăng lên. Cụm từ "nhiều khả năng" có nghĩa là chỉ có 10% cơ hội [100% -90%] rằng độ lệch của tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trên ngưỡng chỉ là do các nguyên nhân ngẫu nhiên.

Do đó, vượt quá ngưỡng số lượng sản phẩm bị lỗi trong mẫu có thể coi là một tín hiệu cho thấy quá trình đã trở nên khó khăn và bắt đầu tạo ra b Về tỷ lệ sản phẩm bị lỗi cao hơn.

Ghi chú: Trước MS EXCEL 2010, EXCEL có một hàm CRITBINOM [], tương đương với BINOM.INV []. CRITBINOM [] vẫn còn trong MS EXCEL 2010 trở lên để tương thích.

Mối quan hệ của phân phối Nhị thức với các phân phối khác

Nếu tham số N Phân phối nhị thức có xu hướng vô cùng và P có xu hướng về 0, thì trong trường hợp này Phân phối nhị thức có thể được gần đúng.
Có thể hình thành các điều kiện khi tính gần đúng Phân phối Poisson hoạt động tốt:

• P[ít P và hơn thế nữa N, ước tính càng chính xác];
• P>0,9 [xem xét điều đó q=1- P, các phép tính trong trường hợp này phải được thực hiện bằng cách sử dụng q[một X cần được thay thế bằng N- x]. Do đó, càng ít q và hơn thế nữa N, ước tính càng chính xác].

Tại 0,1> n hoặc n / N