Câu hỏi
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 3 và chữ số 4.
Lời giải chi tiết:
Giả sử số cần tìm là \[\overline {abcd} \]$\left[ {a \ne 0} \right]$
TH1: \[a = 3\] \[ \Rightarrow a\] có 1 cách chọn
Chọn một vị trí để sắp xếp số 4 trong 3 vị trí b, c, d \[ \Rightarrow \] Có \[A_3^1 = 3\] cách chọn Chọn 2 số trong 5 số 0, 1, 2, 5, 6 để sắp xếp vào 2 vị trí còn lại có \[A_5^2 = 20\] cách chọn.\[ \Rightarrow \] có \[1.3.20 = 60\] số thoả mãn.
TH2: \[a = 4 \Rightarrow a\] có 1 cách chọn
Chọn 1 trong 3 vị trí b, c, d để sắp xếp số 3 \[ \Rightarrow A_3^1 = 3\] cách chọn Chọn 2 số trong 5 số 0, 1, 2, 5, 6 để sắp xếp vào 2 vị trí còn lại có \[A_5^2 = 20\] cách chọn.\[ \Rightarrow \] có \[1.3.20 = 60\] số thoả mãn.
TH3: \[a \ne 0;3;4\]\[ \Rightarrow a\] có 4 cách chọn
Chọn một vị trí để sắp xếp số 4 trong 3 vị trí b, c, d \[ \Rightarrow \] Có \[A_3^1 = 3\] cách chọn. Chọn 1 vị trí trog 2 vị trí còn lại để sắp xếp có \[A_2^1 = 2\] cách chọn Chọn 1 trong 4 số [ bỏ 3; 4; a] để sắp xếp vào vị trí còn lại \[ \Rightarrow \] có \[C_4^1 = 4\] cách\[ \Rightarrow \] Có \[4.3.2.4 = 96\] số thoả mãn
Vậy có \[60 + 60 + 96 = 216\] số.
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay
adsense
Câu hỏi:
Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
A. 124
B. 132
C. 136
D. 120
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[
\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {a \ne 0} \right]\]
Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.⇒ d∈{0;5}
TH1: d=0, số cần tìm có dạng \[
\overline {abc0}\]
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c⋮3
Ta có các nhóm: \[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\{ 2;5;8\} \equiv 3[mod2]\\
\{ 9 \equiv 3[mod0]\\
\{ 1;4;7\} \equiv 3[mod1]
\end{array} \right.\\
a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {\bmod 1} \right] \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {1;4;7} \right\}
\end{array}\]
⇒ Có 3! cách chọn.
+] \[
a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {\bmod 2} \right] \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\]⇒ Có 3! cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có\[
1.C_3^1.C_3^1.3!\] cách chọn
⇒ Có \[
3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\] số
adsense
TH2: d=5, số cần tìm có dạng \[
\overline {abc5} \]
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c+5⋮3, trong đó 5≡3[mod2]
Ta có các nhóm: \[\left\{ \begin{array}{l}
\{ 0;9\} \equiv 3[mod0]\\
\{ 1;4;7\} \equiv 3[mod1]\\
\{ 2;8\} \equiv 3[mod2]
\end{array} \right.\]
+ Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
⇒ Có \[
C_3^1.3! – C_1^3.2! = 12\] cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
⇒ Có \[C^1_2.3!−2!=10\] cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,ccó 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2
⇒ Có \[C^2_3.C^1_2.3!=36\] cách chọn.
Vậy có tất cả 66+12+10+36=124 số thỏa mãn
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}
TH1: d = 0 có 1 cách chọn . a ∈ {1,2,4,5,6,8} \ {d}
Với mỗi cách chọn d ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}
Với mỗi cách chọn a;d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8} \ {a}
Với mỗi cách chọn a; b; d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8} \ {a,b}
Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.
Với mỗi cách chọn d, do a≠0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8} \ {d}
Với mỗi cách chọn a; d ta có 5 cách chọn b ∈ {0;1,2,4,5,6,8} \ {a; d}
Với mỗi cách chọn a; d; b ta có 4 cách chọn c ∈ {0; 1,2,4,5,6,8} \ {a,b; d}
Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4 = 400 số.
Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.
Chọn D.
a] Chẵn và có 4 chữ số khác nhau;
b] Có 7 chữ số khác nhau và phải có mặt 3 chữ số 0, 1, 2 và 3 chữ số này
đứng cạnh nhau