Cách Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong lăng trụ

I.Phương pháp giải

Từ góc giữa hai mặt phẳng ta suy rađược góc giữa haiđường thẳng quađó ta tìmđược chiều cao và diện tíchđáy từđó tínhđược thể tích khối lăng trụ.

II,Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho lăng trụđứng tam giác $ABCA^{'}B^{'}C^{'}$ cóđáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a, biết $[A^{'}BC]$ hợp vớiđáy [ABC] một góc$60^{\circ}$. Tính thể tích lăng trụ.

Bài giải

Ta có : $A^{'}A\perp [ABC]\Rightarrow A^{'}A\perp BC , BC\perp AB\Rightarrow BC\perp [A^{'}AB]\Rightarrow BC\perp A^{'}B$

Mà $[A^{'}BC]$ và [ABC] cắt nhau tại BC, $BC\perp A^{'}B$, $AB\perp BC$ nên $\widehat{[[A^{'}BC],[ABC]]}=\widehat{[AB, A^{'}B]}=\widehat{ABA^{'}}=30^{\circ}$.

Xét tam giác $AA^{'}B$ vuông tại A có: $AA^{'}=ABtan.60^{\circ}=a\sqrt{3}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}BA.BA=\frac{a^{2}}{2}$

$V=S_{ABC}.AA^{'}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$.

Bài tập 2: Cho lăng trụ tứ giácđều $ABCDA^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$' có cạnhđáy a và mặt phẳng $[BDC^{'}]$ hợp vớiđáy một góc $60^{\circ}$. Tính thể tich khối hộp chữ nhật.

Bài giải

Gọi O là tâm củađáy ABCD. Ta có ABCD là tâm của hình vuông nên$OC\perp BD$.

Mà: $CC^{'}\perp [ABCD]\Rightarrow CC^{'}\perp BD$

$\Rightarrow BD\perp OC^{'}$ [định lí 3đường vuông góc].

Dođó$\widehat{[[BDC^{'}],[ABCD}]]=\widehat{COC^{'}}=60^{\circ}$.

Xét tam giác $COC^{'}$ vuông tại C: $CC^{'}$=OC.tan.$60^{\circ}$=$\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

$S_{ABCD} = AB,BC = a^{2}$

Vậy$V = S_{ABCD}$. $CC^{'}$= $a^{2}. \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{2}$