Cho 2 hàm số $y=f[x]$ và $y=g[x]$có đồ thị lần lượt là $\left[ C \right]$ và $\left[ {{C}'} \right]$ :
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của $\left[ C \right]$ và $\left[ {{C}'} \right]$ là $f[x]=g[x]\left[ * \right]$
- Giải phương trình tìm x thay vào $f[x]$hoặc $g[x]$ để suy ra y và tọa độ giao điểm
- Số nghiệm của phương trình $\left[ * \right]$ là số giao điểm của $\left[ C \right]$ và $\left[ {{C}'} \right]$
Bài tập trắc nghiệm tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị có đáp án chi tiết
Bài tập 1: [Đề minh họa THPT QG năm 2017] Biết rằng đường thẳng $y=-2x+2$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+x+2$ tại điểm duy nhất; ký hiệu $\left[ {{x}_{o}};{{y}_{o}} \right]$ là tọa độ của điểm đó. Tìm ${{y}_{o}}$ A. ${{y}_{o}}=4$ B. ${{y}_{o}}=0$ C. ${{y}_{o}}=2$ D. ${{y}_{o}}=-1$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là: $-2x+2={{x}^{3}}+x+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=2$
Vậy tọa độ giao điểm là $\left[ 0;2 \right].$ Chọn C.
Bài tập 2: Biết rằng đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+5$ và đường thẳng $y=9$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A\left[ {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right],B\left[ {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right].$ Tính ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ A. ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$ B. ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0$ C. ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=18$ D. ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là:
${{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+5=9\Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}^{2}}=-1 \\ {} {{x}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{1}}=2 \\ {} {{x}_{2}}=-2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0$
Chọn B.
Bài tập 3: Hỏi đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+1$ và đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-x+3$ có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là ${{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+1={{x}^{2}}-x+3\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2=0$
$\Leftrightarrow [x-1]\left[ {{x}^{2}}+2x+2 \right]=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1.$ Suy ra hai đồ thị có một điểm chung. Chọn C.
Bài tập 4: Số giao điểm của đồ thị hai hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ và $y={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3$ là A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3\Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-4=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}^{2}}=-1 \\ {} {{x}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ 2 đồ thị hàm số có 2 giao điểm. Chọn D.
Bài tập 5: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-1}$ với đường thằng $y=3x-6$ A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left[ C \right]$ và đường thẳng $\left[ d \right]$ là $\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-1}=3x-6$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x-1\ne 0 \\ {} {{x}^{2}}-2x+3=[x-1][3x-6] \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} {{x}^{2}}-2x+3=3{{x}^{2}}-9x+6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} 2{{x}^{2}}-7x+3=0 \\ \end{array} \right.\left[ * \right]$
Hệ phương trình $\left[ * \right]$có hai nghiệm phân biệt nên $\left[ C \right]$ cắt $\left[ d \right]$ tại hai điểm. Chọn D.
Bài tập 6: Hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}\left[ C \right]$ và đường thẳng $d:y=x-2$ là A. $\left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=3 \\ \end{array} \right.$ B. $\left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$ C. $\left[ \begin{array} {} x=1+\sqrt{6} \\ {} x=1-\sqrt{6} \\ \end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left[ C \right]$ và $\left[ d \right]$ là $\frac{2x-1}{x+2}=x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -2 \\ {} 2x-1={{x}^{2}}-4 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -2 \\ {} {{x}^{2}}-2x-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne -2 \\ {} \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=3 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
Bài tập 7: Biết đường thẳng $y=3x+4$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{4x+2}{x-1}$tại hai điểm phân biệt có tung độ ${{y}_{1}}$ và ${{y}_{2}}$. Tính ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}$ A. ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=10$ B. ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=11$ C. ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=9$ D. ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=1$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là $\frac{4x+2}{x-1}=3x+4\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-x-2=0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}=-1 \\ {} {{x}_{2}}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{y}_{1}}=1 \\ {} {{y}_{2}}=10 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=11.$ Chọn B.
Bài tập 8: Gọi A, B là giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=\frac{x-3}{x-1}$ và $y=1-x$ . Diện tích tam giác OAB bằng: A. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ B. 3 C. $\frac{3}{2}$ D. $3\sqrt{2}$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x-3}{x-1}=1-x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 1 \\ {} {{x}^{2}}-x-2=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1\Rightarrow y=2 \\ {} x=2\Rightarrow y=-1 \\ \end{array} \right.$
Khi đó $AB=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ và $d\left[ O;AB \right]=d\left[ O;d:x+y-1=0 \right]=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Do đó ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}d\left[ O;AB \right].AB=\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}.3\sqrt{2}=\frac{3}{2}$ . Chọn C.
Bài tập 9: Đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-x$ và đồ thị hàm số $y=5+\frac{3}{x}$ cắt nhau tại hai điểm A và B. Khi đó độ dài AB là A. $AB=8\sqrt{5}$ B. $AB=25$ C. $AB=4\sqrt{2}$ D. $AB=10\sqrt{2}$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là ${{x}^{2}}-x=5+\frac{3}{x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 0 \\ {} {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-5x-3=0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3\Rightarrow y=6 \\ {} x=-1\Rightarrow y=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} A[3;6] \\ {} B[-1;2] \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB=4\sqrt{2}$ . Chọn C.
Bài tập 10: Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng $y=x+1$ và đường cong $y=\frac{2x+4}{x-1}$ . Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng A. $\frac{5}{2}$ B. $-\frac{5}{2}$ C. 1 D. 2 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là $\frac{2x+4}{x-1}=x+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1+\sqrt{6} \\ {} x=1-\sqrt{6} \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{M}}=1+\sqrt{6} \\ {} {{x}_{N}}=1-\sqrt{6} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{x}_{I}}=1$ . Chọn C.
Bài tập 11: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-1$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-3x+1$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB. A. $AB=3$ B. $AB=2\sqrt{2}$ C. $AB=2$ D. $AB=1$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-1={{x}^{2}}-3x+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-2=0$
$\Leftrightarrow {{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ x-2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array} {} A[1;-1] \\ {} B[2;-1] \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB=1$ . Chọn D.