Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
A. Phương pháp giải
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng [0; 3000]
A. 954
B.955
C. 956
D. 957
Lời giải
Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0
⇒ 4. banmaynuocnong.com+ 4cosx= 0
⇒ 4cosx. [ sinx+ 1] = 0
Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;3;…;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.
⇒ Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng [0;3000]
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx – cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc [0; 2000].
A.624
B. 652
C. 645
D. 636
Lời giải
Ta có: 2sinx+ 2cosx – cos2x = 0
⇒ [ 2sinx+ 2cosx] – [cos2 x – sin2 x]= 0
⇒ 2[sinx + cosx] – [ cosx- sinx] . [ cosx+ sinx]= 0
⇒ [ sinx+ cosx]. [ 2- cosx + sinx] = 0
Mà k nguyên nên k∈{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng [0; 2000]
Chọn D.
Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x. [2sin2x+ 1] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng[ 10; 1000] ?
A. 1207
B. 1260
C.1261
D. 1208
Lời giải.
Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x
⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = banmaynuocnong.com2x + cos4x
⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x
⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x.sin2x=0
⇒ 2cos 4x. cos2x – 2.cos4x. sin2x= 0
⇒ 2cos 4x.[cos2x – sin2x] = 0
⇒ 12,23 < k < 1272,8
Mà k nguyên nên k∈{ 13;14;…1271;1272}
⇒ có 1260 số thỏa mãn.
Chọn B.
Ví dụ 4. Phương trình
A. 3025
B. 3026
C. 3027
D. Tất cả sai
Lời giải.
Điều kiện: [ 1+2cosx].sinx ≠ 0
Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:
[ 1- 2cosx].[ 1+ cosx] = [ 1+ 2cosx]. sinx
⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx
⇒ 2cos2 x – 1 + cosx+ sinx + banmaynuocnong.com= 0
⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0
Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; ..; 3027}
⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 5. Phương trình
A. 1
B. 2
C.3
D. 4
Lời giải.
Vì x nguyên dương nên [3k- 2]∈Ư [98]={1;2; 7;14;49;98}
Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên.
+ k= 1 ⇒ x= 12
+ k= 3 ⇒ x = 4
+ k= 17 ⇒ x = 12
⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4
Chọn B.
Ví dụ 6. Phương trình:
A.4033
B. 4032
C. 4035
D. 4036
Lời giải.
⇒ [ 1- cos2x]2 + [cosx- sinx]4=1
⇒ 1- 2cos2x + cos22x + [ cos2x + sin2x – 2.cosx. sinx]2= 1
⇒ 1- 2cos2x + cos22x + [1- sin2x]2 – 1= 0
⇒ – 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0
⇒ [cos22x + sin22x ] +1 – 2.[cos2x+ sin2x]= 0
⇒ 2- 2[cos2x + sin2x] = 0
⇒ cos2x + sin2x = 1
Mà k nguyên nên k∈{0;1;2; …; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm
Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.
Chọn A.
Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Lời giải
Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx
⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx
⇒ tan4x – tan2x = 4tanx. [tan 4x. tan2x + 1]
Chọn B.
Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình
A. π/4
B. π/3
C. π
D.Đáp án khác
Lời giải
Điều kiện:
Ta có: tan 3x + cot[π/2+x]=0
⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx
⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ
⇒ x= kπ/2 [ không thỏa mãn điều kiện ]
Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin[cosx] = 0 trên khoảng [0; 4π] ?
A. 2
B.3
C. 4
D. 5
Lời giải
Ta có: sin[cosx]=0
⇒ cosx = kπ [*]
Do với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ [*] suy ra: k= 0
Mà k nguyên nên k∈ {0;1; 2;3}.
⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng [0; 4π]
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + [3- 2m]cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng ?
A. 1 < m < 2
B. 2 < m ≤ 3
C. 1 < m ≤ 2
D. 2 < m < 3
Lời giải.
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho phương trình: [cos4 x- sin4 x].[ 2cos2x+5] – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng [ π;4π]
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình
A.3
B.4
C.5
D. 6
Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên [0; 2π]?
A. 2
B.4
C.3
D.5
Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình
A. 6
B .7
C. 8
D. 9
Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.[tan2 x – cos2x]= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng [0; 6π] ?
A. 9
B. 8
C. 10
D.11
Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x – banmaynuocnong.com – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc [0; 3π/2]. Số các phần tử của tập S là:
A. 4
B. 3
C. 5
D. 6
Câu 7:Cho phương trình: [ cosx+ 1].[4cos 2x – m.cosx]= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: [sinx-1].[2cos2x- [ 2m+1].cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]
A . 1
B. 2
C .3
D .4
Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x – [5m+ 1].sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng
A. m0= – 2
B. m0= 1
C.
D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
- Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
- Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
- Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx
- Phương trình lượng giác đưa về dạng tích
- Phương trình lượng giác không mẫu mực
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại banmaynuocnong.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán 11 có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa 11 có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý 11 có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác