Cách tìm một số có bao nhiêu ước?

Vận dụng công thức tính số ước trong bài phân tích một số ra các thừa số nguyên tố: Nếu một số M được phân tích ra các thừa số nguyên tố: M = xa . yb . zc… suy ra, số ước của M là: [a + 1].[b + 1].[c + 1] …

Ta có: 3015000 = 23 . 32 . 54  . 67

Vậy, số ước của số 3015000 là: [3 + 1].[2 + 1].[4 + 1].[1 + 1] = 4 . 3 . 5 . 2 = 120 [ước].

Cơ sở lý thuyết.

Dạng bài toán tìm ước hay tìm bội số của một số các bạn được học trong chương trình Toán lớp 6. Bài toán này nằm trong chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6.

Dạng bài toán này sẽ có trong đề thi học kì Toán 6 và là bài gỡ điểm trong đề thi học sinh giỏi Toán 6. Để làm được bài toán này, các bạn phải hiểu ước của một số là gì và những tính chất của nó? Ước của một số A là những số nhỏ hơn A và khi đó A phải chia hết cho ước của nó. Và với những bài toán tìm ước của một số tự nhiên lớn, các bạn phải nắm vững được quy tắc luỹ thừa của một số.

Ngoài ra, để tính được số ước, các bạn phải nắm vững được quy tắc tính số ước. Và với công thức tính số ước, các bạn hãy tham khảo phía trên.

Có thể bạn quan tâm:  Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho [a, b] + [a, b] = 55

Ngoài tính số ước, các bạn sẽ được học các bài về tính số bội. Về cách làm bài tập về tính số bội thì sẽ khác với ước số. Vì khi tìm ước sẽ có khoảng giới hạn dưới, nhưng với tìm bội số thì bài toán sẽ cho giới hạn trên. Sau đó các bạn dựa vào đó để làm bài tập.

Trong bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu cách phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố, qua đó vận dụng vào giải một số dạng bài tập thí dụ để rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này.

1. Số nguyên tố là gì?

Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

* Ví dụ: Ư[5] = {1; 5} nên 5 là số nguyên tố

Ư[17] = {1; 17}nên 17 là số nguyên tố

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn2 ước.

* Ví dụ: Ư[9] = {1; 3; 9} là hợp số [có 3 ước]

Ư[15] = {1; 3; 5; 15} là hợp số [có 4 ước]

2. Cách nhận biết 1 số là số nguyên tố

-Để kết luận số a là số nguyên tố [a>1], chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.

3. Cách phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố

Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

Muốn phân tích một số tự nhiên a lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau:

1- Kiểm tra xem 2 có phải là ước của a hay không. Nếu không ta xét số nguyên tố 3 và cứ như thế đối với các số nguyên tố lớn dần.

2- Giả sử p là ước nguyên tố nhỏ nhất của a, ta chia a cho p được thương b.

3- Tiếp tục thực hiện quy trình trên đối với b.

¤Quá trình trên kéo dài cho đến khi ta được thương là một số nguyên tố.

Cách phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố theo cột dọc.

- Giả sử cần phân tích số ra ra thừa số nguyên tố: Ta chia số a cho một số nguyên tố [xét từ nhỏ đến lớn: 2, 3, 5, 7, 11, 13,...], tiếp tục chia thương tìm được cho một số nguyên tố [cũng xét từ nhỏ đến lớn], cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng 1.

* Lưu ý khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

- Mỗi bước phân tích đều lần lượt xét tính chia hết cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2, 3, 5, 7, 11, 13,...

- Cần vận dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 đã học trong quá trình xét tính chia hết.

- Khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo cột dọc thì các số nguyên tố được viết bên phải cột, các thương được viết bên trái cột.

- Dù phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cũng cho cùng một kết quả.

* Ví dụ: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 160; 300

°Với số160 ta phân tích như sau:

Như vậy: 160 = 2.2.2.2.2.5 = 25.5

°Với số 300ta phân tích như sau:

Như vậy: 300 = 2.2.5.3.5 = 22.3.52

4. Cách tính số lượng các ước của một số m [m>1]

Có thể bạn quan tâm

• Lịch 2023 với số tuần ISO
• Một tấn là bao nhiêu kg?
• Hỗn số 1 1/2 bằng bao nhiêu
• Chuyến lưu diễn châu Âu của Limp Bizkit 2023
• Tăng trưởng kinh tế bình quân hàng năm của tỉnh kon tum giai đoạn 2010-2015 là bao nhiêu?

Ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:

- Nếu m = ax thì m có x + 1 ước

- Nếu m = ax.by thì m có [x + 1][y + 1] ước

- Nếu m = ax.by.cz thì m có [x+ 1][y + 1][z + 1] ước.

5.Một số dạng bài tập phân tích ra thừa số nguyên tố thường gặp

° Dạng 1: Phân tích 1 số cho trước ra thừa số nguyên tố

* Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố theo cột dọc ở trên.

* Ví dụ 1 [Bài 125 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1]: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:

a] 60 b] 84 c] 285

d] 1035 e] 400 g] 1000000

° Lời giải:

a] Phân tích số 60 ra thừa số nguyên tố:

Như vậy: 60 = 2.2.3.5 = 22.3.5

- Hoặc viết gọn: 60 = 2.30 = 2.2.15 = 2.2.3.5 = 22.3.5;

Tương tự ta có:

b] 84 = 2.42 = 2.2.21 = 2.2.3.7 = 22.3.7

c] 285 = 3.95 = 3.5.19

d] 1035 = 3.345 = 3.3.115 = 3.3.5.23 = 32.5.23

e] 400 = 2.200 = 2.2.100 = 2.2.2.50 = 2.2.2.2.25 = 2.2.2.2.5.5 = 24.52

g] - Cách 1 [sử dụng pp cột dọc như thông thường:

1 000 000 = 2.500 000 = 2.2.250 000 = 2.2.2.125 000

= 2.2.2.2.62500= 2.2.2.2.2.31250 = 2.2.2.2.2.2.15625

= 26.5.3125 = 26.5.5.625= 26.5.5.5.125 = 26.5.5.5.5.25

= 26.5.5.5.5.5.5 = 26.56

- Cách 2 [vận dụng tính chất lũy thừa]:1 000 000 = 106= [2.5]6= 26.56

* Ví dụ 2 [Bài 126 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1]:An phân tích các số 120; 306; 567 ra thừa số nguyên tố như sau:

120 = 2.3.4.5; 306 = 2.3.51; 567 = 92.7

An làm như trên có đúng không? Hãy sửa lại trong trường hợp An làm không đúng?

° Lời giải:

-An làm như trên không đúng. Vì phép phân tích 120 còn chứa thừa số 4; 306 còn chứa thừa số 51; 567 còn chứa thừa số 9 đều không phải số nguyên tố.

- Ta sửa lại như sau [bằng cách tiếp tục phân tích các thừa số chưa nguyên tố ra các thừa số nguyên tố]:

120 = 2.3.4.5 = 2.3.[2.2].5 = 23.3.5;

306 = 2.3.51 = 2.3.[3.17] = 2.32.17;

567 = 92.7 = 9.9.7 = 32.32.7 = 34.7;

* Ví dụ 3 [Bài 127 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1]:Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi cho biết các số sau chia hết cho các số nguyên tố nào?

a] 225 ; b] 1800 ; c] 1050 ; d] 3060

° Lời giải:

a] 225 = 5.45 = 5.5.9 = 5.5.3.3 = 32.52.

hoặc 225 = 152= [3.5]2= 15 = 32.52.

Vậy 225 chia hết cho các số nguyên tố 3 và 5.

b] 1800 = 2.900 = 2.2.450 = 2.2.2.225 = 23.32.52[vì 225 = 32.52ở câu a].

hoặc 1800 = 30.60 = [2.15].[4.15] = [2.3.5].[22.3.5] = 2.22.3.3.5.5 = 23.32.52.

Vậy 1800 chia hết cho các số nguyên tố 2; 3; 5.

c] 1050 = 2.525 = 2.3.175 = 2.3.5.35 = 2.3.5.5.7 = 2.3.52.7

Vậy 1050 chia hết cho các số nguyên tố 2; 3; 5; 7.

d] 3060 = 2.1530 = 2.2.765 = 2.2.5.153 = 2.2.5.3.51 = 2.2.5.3.3.17 = 22.32.5.17

Vậy 3060 chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5, 17.

° Dạng 2: Phân tích 1 số cho trước ra thừa số nguyên tố để tìm ước số của nó

* Phương pháp giải:Sử dụng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố theo cột dọc ở trên.

- Phân tích số cho trước ra thừa số nguyên tố

- Nếu c = a.b thì a và b là 2 ước của c

* Cần nhớ: a = b.q a B[b] và b Ư[a] [với a, b, q N và b 0].

* Ví dụ 1 [Bài 128 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1]: Cho số a = 23.52.11. Mỗi số 4, 8, 16, 11, 20 có là ước của a hay không?

° Lời giải:

a = 23.52.11 = 22.2.52.11 = 4.2.52.11 4 do đó 4 là ước của a.

a = 23.52.11 = 8.52.11 8 do đó 8 là ước của a.

16 không phải ước của a vì nếu 16 là ước của a thì a = 16.k = 24.k, nghĩa là khi phân tích a thành thừa số nguyên tố thì bậc của 2 phải 4. [trái với đề bài vì bậc của 2 chỉ bằng 3].