14:35:1112/10/2021
Sau khi đã học về bất phương trình bậc nhất một ẩn, nội dung bài này sẽ giới thiệu với các em về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ra sao? chúng ta sẽ có câu trả lời trong bài viết này.
I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax + by ≤ c [1]
[ax + by > c; ax + by ≥ c; ax + by < c]
trong đó a, b, c là các số đã cho với a, b, c không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn số.
Cặp số [x0; y0] sao cho ax0 + by0 ≤ c là một bất đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c.
II. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình [1] được gọi là miền nghiệm của nó.
2. Định lý
- Đường thẳng ax + by ≤ cchia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ là [d]. Một trong hai nửa mặt phẳng đó [kể cả bờ] là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c. Nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≥ c.
3. Cách biểu diễn tập nghiệm [miền nghiệm]
Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của ax + by ≤ c [1] như sau:
- Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng Δ: ax + by = c
- Bước 2: Lấy một điểm M0[x0;y0] không thuộc Δ [ta thường lấy gốc tọa độ]
- Bước 3: Tính ax0 + by0 và so sánh với c.
- Bước 4: Kết luận
° Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ Δ chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c.
Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ Δ KHÔNG chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c.
* Ví dụ [Câu hỏi 1 trang 96 SGK Toán 10 Đại số]: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: -3x + 2y > 0.
> Lời giải:
- Ta vẽ đường thẳng [d]: -3x + 2y = 0.
- Lấy điểm A[1; 1], ta thấy A ∉[d] và có: -3.1 + 2.1 < 0 nên nửa mặt phẳng bờ [d] không chưá A là miền nghiệm của bất phương trình [miền không bị gạch chéo].
III. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
* Ví dụ [Câu hỏi 2 trang 97 SGK Toán 10 Đại số]: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
> Lời giải:
- Ta có:
Vẽ các đường thẳng:
[d1]: 2x – y = 3 hay y = 2x – 3
[d2]: -10x + 5y = 8 hay y = 2x + 8/5
Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, cách biểu diễn tập nghiệm [miền nghiệm]. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Viết các bất phương trình trong hệ dưới dạng phương trình đường thẳng [thay dấu lớn, bé bởi dấu bằng]. Vẽ các đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định một điểm M thỏa các bất phương trình trong hệ. Lần lượt tô đậm các nửa mặt phẳng không chứa M và có bờ là các đường thẳng đã vẽ. Ta được miền nghiệm của hệ. BÀI TẬP DẠNG 2. Ví dụ 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau x + y > 1, x − y < 2. Vẽ các đường thẳng d1 : x + y = 1; d2 : x − y = 2. Vì điểm M[0, 2] có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1, d2 không chứa M. Miền không bị tô đậm trong hình vẽ và không chứa các tia giới hạn miền là miền nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau x + y 1, y > −1. Lời giải. Vẽ các đường thẳng d1 : x + y = 2, d2 : x − y = 1, d3 : y = −1. Vì điểm M có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1, d2, d3 không chứa M. Miền không bị tô đậm trong hình vẽ, không bao gồm các đoạn giới hạn miền là miền nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau 2x + 5y > 2, x − 3y ≥ 1, x + y < 3. Vẽ các đường thẳng d1 : 2x + 5y = 2, d2 : x − 3y = 1, d3 : x + y = 3. Vì điểm M[2, 0] có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1, d2, d3 không chứa M. Miền không bị tô đậm trong hình vẽ có chứa đoạn AC và không chứa các điểm A, C, không chứa các đoạn AB, BC là miền nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ 4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau. Lời giải. Vẽ các đường thẳng d1 : 2x + y = 2, d2 : x − 2y = 1, d3 : y = 2, d4 : x = 3. Vì điểm M[2, 1] có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1, d2, d3, d4 không chứa M. Miền không bị tô đậm trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho bao gồm các đoạn thẳng xác định miền.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau x + 2y ≥ 1, 3x − y ≤ 2. Bài 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau x − 2y −2, −x + y < 2. Bài 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau 3x + y ≤ 5, x + y ≤ 4. x ≥ 0, y ≥ 0. Bài 6. Xác định hình tính của đa giác biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau 2x + y ≥ 1, x − 2y ≥ −2, 2x + y ≤ 5. x ≤ 3. Hướng dẫn: đa giác biểu diễn miền nghiệm là hình thang vuông. Bài 7. Xác định hình tính của đa giác biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau. Hướng dẫn: Đa giác biểu diễn miền nghiệm là hình bình hành.
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.
a] Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b] Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Những câu hỏi liên quan
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.
a] Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b] Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình sau: 2x – y = 3