Phương pháp chứng minh hình học THCS
- Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
- 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song
- 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- 10 cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
- 13 cách chứng minh hai góc bằng nhau
- 8 cách chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xÔy
- 7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
- Phương pháp chứng minh các tam giác đặc biệt
- Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
- Phương pháp chứng minh các tứ giác đặc biệt
- 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
- Phương pháp chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng
- 2 cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
- 4 cách chứng minh hai cung tròn bằng nhau
- 15 cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
- 7 cách chứng minh một đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng khác
- 4 cách chứng minh một góc bằng nửa góc khác
- 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng
- Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác
- Chứng minh một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác
- Chứng minh các quan hệ không bằng nhau [cạnh – góc – cung]
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng các em có thể sử dụng một trong 10 cách dưới đây.
1. Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90.
2. Hai đường thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù.
- 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải
- Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình
- Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số
- Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp
Tính chất: Góc tạo bởi hai tia phân giác của 2 góc kề bù bằng 90 [Hình học Lớp 6]
3. Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông.
4. Tính chất từ vuông góc đến song song : Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai.
5. Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
Tính chất : Mọi điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
- Nếu một hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc với nhau thì đó là hình thoi.
Ví dụ: Cho MNPQ là hình bình hành
MNPQ trở thành hình thoi nếu
+ MN = NP hoặc NP = PQ hoặc PQ = QM
+ Hoặc
1.2. Các tính chất của hình thoi
- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành
- Hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi
» Xem thêm: Tính chất hình thoi cùng các bài tập vận dụng cực hay Các dấu hiệu nhận biết hình thoi chi tiết từ A-Z
2. Cách chứng minh hình thoi
Dựa vào định nghĩa và tính chất của hình thoi, ta có các cách chứng minh hình thoi như sau:
- Cách 1: Chứng minh 4 cạnh của một tứ giác bằng nhau
Ví dụ: Để chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:
MN = NP = PQ = QM
- Cách 2: Chứng minh một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
Ví dụ: Muốn chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:
Gọi I là trung điểm của MP và NQ thì: tại I
- Cách 3: Chứng minh một tứ giác là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Ví dụ: Nếu MNPQ là hình bình hành thì để chứng minh MNPQ cũng là hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:
MN = NP hoặc NP = PQ hoặc PQ = QM
- Cách 4: Chứng minh hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc
Ví dụ: Nếu MNPQ là hình bình hành thì để chứng minh MNPQ cũng là hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:
NQ là phân giác của góc MNP hoặc góc MQP
MP là phân giác của của góc NPQ hoặc góc NMQ
- Cách 5: Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
Ví dụ: Nếu MNPQ là hình bình hành thì để chứng minh MNPQ cũng là hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:
3. Các dạng bài tập về chứng minh hình thoi lớp 8
3.1. Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm củng cố lý thuyết
*Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa, tính chất, các cách chứng minh hình thoi để chọn đáp án đúng
Câu 1: Tứ giác MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi:
- MN = MP = PQ = NQ
- MN = NQ = PQ = QM
- MN = NP = PQ = QM
- MN = NP = PQ = MP
ĐÁP ÁN
Dựa vào định nghĩa, ta chọn đáp án đúng là C
Câu 2: Một hình bình hành là hình thoi khi:
- Có hai đường chéo bằng nhau
- Có hai đường chéo vuông góc với nhau
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
- Hai cạnh đối bằng nhau
ĐÁP ÁN
Dựa vào các cách chứng minh, ta chọn đáp án đúng là B
Câu 3: Một tứ giác là hình thoi khi:
- Hai đường chéo vuông góc với nhau
- Hai đường chéo bằng nhau
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
- Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
ĐÁP ÁN
Dựa vào các cách chứng minh, ta chọn đáp án đúng là D
Câu 4: Một hình bình hành là hình thoi khi:
- Hai cạnh kề bằng nhau
- Hai cạnh đối bằng nhau
- Hai cạnh đối song song với nhau
- Hai cạnh đối song song và bằng nhau
ĐÁP ÁN
Dựa vào định nghĩa và các cách chứng minh, ta chọn đáp án đúng là A
Câu 5: Chọn đáp án sai. Hình bình hành là hình thoi khi
- Hai đường chéo vuông góc với nhau
- Một đường chéo là phân giác của một góc
- Hai đường chéo bằng nhau
- Một đường chéo vuông góc với đường chéo còn lại
ĐÁP ÁN
Dựa vào tính chất và cách chứng minh, ta chọn đáp án C
3.2. Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thoi
*Phương pháp giải:
Dựa vào các cách chứng minh một tứ giác là hình thoi vừa nêu trên để giải bài toán
Bài 1: Cho tứ giác MNPQ có MN // PQ, MN = NP = PQ.
- Chứng minh MNPQ là hình bình hành
- Chứng minh MNPQ là hình thoi
ĐÁP ÁN
- Chứng minh MNPQ là hình bình hành
Xét tứ giác MNPQ có
+ MN // PQ
+ MN = PQ
⇒ MNPQ là hình bình hành [theo dấu hiệu nhận biết]
- Chứng minh MNPQ là hình thoi
Theo a], MNPQ là hình bình hành
mà MN = NP
⇒ MNPQ là hình thoi [theo cách chứng minh 1]
Bài 2: Cho tam giác MNQ cân tại M, có đường cao MA. Lấy điểm P đối xứng với M qua A. Chứng minh rằng:
- NA = AQ
- MNPQ là hình thoi
ĐÁP ÁN
- Chứng minh NA = AQ
Ta có: Tam giác MNQ cân tại M
⇒ MA là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
⇒ NA = AQ [đpcm]
- Chứng minh rằng: MNPQ là hình thoi
hay [1]
P đối xứng với M qua A ⇒ A là trung điểm của MP
MA là đường trung tuyến trong tam giác MNQ ⇒ A là trung điểm của NQ
Mà MP và NQ cắt nhau tại A ⇒ MP, NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường [2]
Từ [1] và [2] ⇒ MNPQ là hình thoi [theo cách chứng minh 2]
Bài 3: Cho tam giác MHK có MH = MK, đường trung tuyến MP, từ P kẻ PQ song song với MH [Q thuộc MK]; kẻ PN song song với MK [N thuộc MH].
- Chứng minh MNPQ là hình bình hành
- Hình bình hành MNPQ là hình thoi
ĐÁP ÁN
- Chứng minh MNPQ là hình bình hành
Ta có:
PQ // MH hay PQ // MN [1]
PN // MK hay PN // MQ [2]
Từ [1] và [2] ⇒ MNPQ là hình bình hành
- Hình bình hành MNPQ là hình thoi
Ta có: MH = MK ⇒ Tam giác MHK cân tại M
⇒ Đường trung tuyến MP đồng thời là đường phân giác
Hình bình hành MNPQ có đường chéo MP là tia phân giác của góc NMQ
⇒ MNPQ là hình thoi
Vậy trên đây là tất cả các cách chứng minh tứ giác là hình thoi hoặc một hình bình hành là hình thoi. Hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn và làm bài tập phần này dễ dàng hơn.